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Résistance au Cisaillement d’un Sol

Résistance au Cisaillement d’un Sol en Géotechnique

Résistance au Cisaillement d’un Sol

Contexte : La stabilité des fondations, un enjeu majeur.

En géotechnique, la résistance au cisaillementC'est la contrainte de cisaillement maximale qu'un sol peut supporter avant de rompre. Elle est gouvernée par la cohésion et le frottement interne du sol. est sans doute la propriété mécanique la plus importante d'un sol. Elle détermine sa capacité à supporter des charges sans se rompre, que ce soit sous une fondation, le long d'un talus ou derrière un mur de soutènement. L'essai de cisaillement direct à la boîte de Casagrande est une méthode de laboratoire classique pour mesurer les deux composantes de cette résistance : la cohésionL'attraction interne entre les particules du sol. C'est la résistance au cisaillement lorsque la contrainte normale est nulle. Typique des argiles. (c) et l'angle de frottement interneCaractérise la résistance due au frottement et à l'imbrication des grains du sol. C'est le paramètre principal pour les sables et graviers. (φ). Cet exercice vous guidera dans l'analyse des résultats d'un tel essai.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre parfaitement la démarche de l'ingénieur géotechnicien. À partir de données brutes de laboratoire, nous allons tracer une "loi de comportement" (la droite de Coulomb) qui nous permettra de caractériser le sol. Cette loi sera ensuite utilisée pour des calculs de dimensionnement concrets, comme la vérification de la stabilité d'un ouvrage.

Objectifs Pédagogiques

  • Interpréter les résultats d'un essai de cisaillement direct.
  • Tracer la droite de rupture de Mohr-Coulomb et en déduire les paramètres de sol (c et φ).
  • Écrire l'équation de la résistance au cisaillement pour un sol donné.
  • Calculer la contrainte de cisaillement admissible pour un état de contrainte donné.
  • Appliquer la notion de coefficient de sécurité au cisaillement d'un sol.

Données de l'étude

Un essai de cisaillement rectiligne a été réalisé en laboratoire sur des éprouvettes d'un même limon sableux. L'essai est mené à l'aide d'une boîte de Casagrande de section 60 mm x 60 mm. Trois éprouvettes ont été soumises à différentes contraintes normales (\(\sigma_{\text{n}}\)) et cisaillées jusqu'à la rupture pour mesurer la contrainte de cisaillement à la rupture (\(\tau_{\text{f}}\)).

Schéma de principe de la boîte de Casagrande
Plan de rupture N (Force Normale) T (Force de Cisaillement) Mouvement relatif
Éprouvette Contrainte Normale Appliquée, \(\sigma_{\text{n}}\) (\(\text{kPa}\)) Contrainte de Cisaillement à la Rupture, \(\tau_{\text{f}}\) (\(\text{kPa}\))
1 50 45
2 100 68
3 150 92

Questions à traiter

  1. Représenter graphiquement les points de rupture (\(\sigma_{\text{n}}, \tau_{\text{f}}\)) et tracer la droite de rupture de Mohr-Coulomb.
  2. À partir du graphique, déterminer la cohésion \(c'\) et l'angle de frottement interne \(\phi'\) du sol.
  3. Écrire l'équation de la loi de Mohr-Coulomb pour ce sol.
  4. Pour un point dans le massif de sol où la contrainte normale sur un plan est \(\sigma_{\text{n}} = 120 \, \text{kPa}\), quelle est la résistance au cisaillement \(\tau_{\text{f}}\) ? Si la contrainte de cisaillement agissante est \(\tau_{\text{ag}} = 55 \, \text{kPa}\), calculer le coefficient de sécurité.

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant de corriger l'exercice, rappelons le critère de rupture de Mohr-Coulomb, qui est la pierre angulaire de la stabilité des géostructures.

Le Critère de Rupture de Mohr-Coulomb :
Ce critère postule que la rupture d'un sol par cisaillement se produit lorsque la contrainte de cisaillement \(\tau\) sur un plan atteint une valeur limite \(\tau_{\text{f}}\). Cette valeur limite dépend de la contrainte normale \(\sigma_{\text{n}}\) qui s'exerce sur ce même plan, ainsi que des propriétés intrinsèques du sol : sa cohésion \(c\) et son angle de frottement interne \(\phi\).

L'équation qui relie ces paramètres est une droite, appelée "droite de rupture" :

\[ \tau_{\text{f}} = c + \sigma_{\text{n}} \cdot \tan(\phi) \]
  • La cohésion (c) est l'ordonnée à l'origine de cette droite. Elle représente la résistance du sol même sans contrainte normale (ex: l'argile "colle").
  • L'angle de frottement (\(\phi\)) définit la pente de la droite. Il représente l'augmentation de la résistance avec l'augmentation de la contrainte normale (l'effet "d'engrènement" des grains de sable).

Correction : Résistance au Cisaillement d'un Sol

Question 1 : Tracer la droite de rupture de Mohr-Coulomb

Principe (le concept physique)

Le critère de Mohr-Coulomb est modélisé par une relation linéaire entre la contrainte de cisaillement à la rupture et la contrainte normale. En reportant les points expérimentaux dans un graphique (\(\tau\) en ordonnée, \(\sigma_{\text{n}}\) en abscisse), ces points doivent s'aligner sur une droite. Cette droite est la "signature" de la résistance du sol. Tout état de contrainte en dessous de cette droite est stable ; si un état de contrainte atteint la droite, le sol se rompt.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La représentation graphique d'une loi empirique est une étape fondamentale en sciences de l'ingénieur. Elle permet de visualiser la relation entre deux variables et de valider un modèle théorique. Ici, le modèle est une droite d'équation \(y = ax + b\), où \(y=\tau\), \(x=\sigma_{\text{n}}\), la pente \(a=\tan(\phi')\) et l'ordonnée à l'origine \(b=c'\). La méthode des moindres carrés (ou régression linéaire) est l'outil mathématique formel pour trouver la droite qui minimise l'écart avec les points de mesure.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est crucial de comprendre que cette droite est un modèle, une simplification du comportement réel du sol qui est souvent plus complexe. Cependant, pour la majorité des applications en génie civil, ce modèle linéaire est suffisamment précis et sécuritaire. Le but du graphique est de "faire parler" les données brutes du laboratoire.

Normes (la référence réglementaire)

La conduite des essais de cisaillement et l'interprétation des résultats sont encadrées par des normes précises, comme la norme NF P94-071 en France ou l'ASTM D3080 au niveau international. Ces normes garantissent que les essais sont reproductibles et que les paramètres déterminés sont fiables pour le calcul des ouvrages.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'objectif est de tracer la droite qui représente l'équation :

\[ \tau_{\text{f}} = c' + \sigma'_{\text{n}} \cdot \tan(\phi') \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol est homogène et isotrope, que la surface de rupture est un plan parfait imposé par la boîte de cisaillement, et que le comportement à la rupture du sol peut être modélisé par une loi linéaire dans la plage de contraintes étudiée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les trois points de rupture issus du tableau de l'énoncé :

  • Point 1 : (\(\sigma_{\text{n}}=50 \text{ kPa}\), \(\tau_{\text{f}}=45 \text{ kPa}\))
  • Point 2 : (\(\sigma_{\text{n}}=100 \text{ kPa}\), \(\tau_{\text{f}}=68 \text{ kPa}\))
  • Point 3 : (\(\sigma_{\text{n}}=150 \text{ kPa}\), \(\tau_{\text{f}}=92 \text{ kPa}\))
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un tracé rapide à la main, utilisez un papier millimétré. Choisissez des échelles simples pour les axes (par exemple, 1 cm pour 20 kPa) pour faciliter le positionnement des points et la lecture des paramètres graphiques (pente et ordonnée à l'origine).

Schéma (Avant les calculs)
Graphique vierge pour la droite de Mohr-Coulomb
σ'n (kPa)τ (kPa)050100150200050100150
Calcul(s) (l'application numérique)

L'action ici consiste à placer les points (\(50, 45\)), (\(100, 68\)), et (\(150, 92\)) sur le graphique et à tracer la droite de régression qui passe au plus près de ces points. Le graphique interactif ci-dessous réalise cette opération.

Schéma (Après les calculs)
Droite de Rupture de Mohr-Coulomb
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le graphique montre que les points expérimentaux sont bien alignés, ce qui valide l'utilisation du modèle de Mohr-Coulomb pour ce sol. La droite tracée représente la frontière entre un état stable et un état de rupture pour n'importe quelle combinaison de \(\sigma_{\text{n}}\) et \(\tau\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'inverser les axes. La contrainte normale \(\sigma_{\text{n}}\) est toujours en abscisse (variable indépendante que l'on impose) et la contrainte de cisaillement \(\tau\) est toujours en ordonnée (variable dépendante que l'on mesure). Dans la réalité, les points ne sont jamais parfaitement alignés ; il faut alors éviter de forcer la droite à passer par un point particulier (surtout l'origine).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au cisaillement d'un sol est représentée par une droite dans le plan (\(\sigma_{\text{n}}, \tau\)).
  • Les résultats d'essais de cisaillement direct permettent de tracer cette droite.
  • Cette droite est la frontière de rupture du matériau.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour certains matériaux comme les enrochements ou les sols très compacts, la droite de rupture peut en réalité être une courbe (l'angle de frottement diminue lorsque la contrainte normale augmente). Les ingénieurs utilisent alors des modèles plus complexes (comme le critère de Hoek-Brown pour les roches) ou linéarisent le comportement par morceaux.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si un point est très éloigné de la droite ?

Cela peut indiquer une erreur de mesure, une hétérogénéité dans l'échantillon de sol, ou que le comportement du sol n'est pas parfaitement linéaire. L'ingénieur doit alors juger si ce point "aberrant" doit être écarté de l'analyse ou s'il révèle un comportement spécifique à prendre en compte.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les points de rupture ont été placés sur le graphique et la droite de Mohr-Coulomb a été tracée, montrant une bonne corrélation linéaire.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si un quatrième essai donnait un point de rupture à (\(\sigma_{\text{n}}=200 \, \text{kPa}\), \(\tau_{\text{f}}=114 \, \text{kPa}\)), ce point serait-il aligné avec les autres ?

Question 2 : Déterminer la cohésion (c') et l'angle de frottement (φ')

Principe (le concept physique)

Les deux paramètres qui définissent la droite de rupture ont une signification physique directe. L'ordonnée à l'origine (\(c'\)) est la cohésion : la résistance intrinsèque du sol, qui ne dépend pas du serrage entre les grains. La pente de la droite est liée à l'angle de frottement (\(\phi'\)) : elle quantifie à quel point le sol gagne en résistance lorsqu'il est comprimé (serrage des grains).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La détermination des paramètres d'une droite (\(y = ax+b\)) à partir de points de mesure est un problème classique de régression linéaire. La pente \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\) sont calculées pour minimiser la somme des carrés des distances verticales entre les points et la droite. Dans notre cas, \(a = \tan(\phi')\) et \(b = c'\). Le calcul manuel en utilisant deux points extrêmes est une bonne approximation si les points sont bien alignés.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Donnez un sens physique aux valeurs que vous trouvez. Une cohésion de 21 kPa est typique d'un sol légèrement argileux ou limoneux. Un angle de frottement de 25° est modéré, caractéristique d'un limon sableux. Un sable pur aurait \(c' \approx 0\) et \(\phi' > 30°\), tandis qu'une argile pure aurait \(c' > 0\) et un \(\phi'\) plus faible.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes géotechniques comme l'Eurocode 7 insistent sur le fait que les paramètres de sol doivent être des "valeurs caractéristiques", c'est-à-dire une estimation prudente de la moyenne. Cela signifie que l'ingénieur ne doit pas seulement tracer la meilleure droite, mais aussi juger de la dispersion des résultats pour choisir des valeurs sécuritaires pour le dimensionnement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La pente \(a\) de la droite de régression est égale à \(\tan(\phi')\). L'ordonnée à l'origine \(b\) est égale à la cohésion \(c'\).

\[ a = \tan(\phi') \Rightarrow \phi' = \arctan(a) \] \[ b = c' \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la droite de régression linéaire est le modèle le plus approprié pour représenter les données expérimentales dans la plage de contraintes testée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les coordonnées des points de rupture, en particulier les points extrêmes (50, 45) et (150, 92) pour le calcul manuel de la pente.

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une estimation rapide, utilisez les deux points les plus éloignés l'un de l'autre. Cela minimise l'impact des petites erreurs de lecture sur le calcul de la pente. Une fois la pente \(a\) trouvée, ne recalculez pas l'ordonnée à l'origine, mais prolongez simplement votre droite jusqu'à l'axe des ordonnées pour la lire graphiquement.

Schéma (Avant les calculs)
Interprétation graphique de c' et φ'
σ'nτc' = ?Δσ'nΔτφ' = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la pente (a) : On peut la calculer entre les points 1 et 3 pour une meilleure précision.

\[ \begin{aligned} a &= \frac{\Delta\tau}{\Delta\sigma_{\text{n}}} \\ &= \frac{92 - 45}{150 - 50} \\ &= \frac{47}{100} \\ &= 0.47 \end{aligned} \]

2. Calcul de l'angle de frottement (\(\phi'\)) :

\[ \begin{aligned} \phi' &= \arctan(0.47) \\ &\approx 25.2^\circ \end{aligned} \]

3. Calcul de l'ordonnée à l'origine (c') : On utilise l'équation de la droite \(\tau = a \cdot \sigma_{\text{n}} + c'\) avec un des points, par exemple le point 2 (\(\sigma_{\text{n}}=100, \tau=68\)).

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{f}} &= a \cdot \sigma_{\text{n}} + c' \\ 68 &= 0.47 \cdot 100 + c' \\ c' &= 68 - 47 \\ &= 21 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Paramètres de sol déterminés
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les valeurs trouvées (\(c' = 21\) kPa, \(\phi' = 25.2^\circ\)) sont cohérentes avec la description d'un "limon sableux". Le sol possède à la fois une composante cohésive (due aux limons) et une composante de frottement (due aux sables). Ces deux paramètres vont maintenant gouverner tous les calculs de stabilité pour ce matériau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés" pour le calcul de l'arc tangente. Une erreur fréquente est d'oublier cette conversion et d'obtenir une valeur en radians. De plus, une détermination purement graphique peut manquer de précision ; un calcul de régression linéaire est toujours préférable pour des résultats fiables.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La cohésion \(c'\) est l'ordonnée à l'origine de la droite de rupture.
  • L'angle de frottement \(\phi'\) est obtenu à partir de la pente de la droite (\(\phi' = \arctan(\text{pente})\)).
  • Ces deux valeurs sont les "cartes d'identité" de la résistance du sol.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les argiles saturées en condition non drainée (chargement rapide), on utilise une approche différente : la résistance est considérée comme indépendante de la contrainte normale (\(\phi_{\text{u}} = 0\)) et est définie uniquement par une cohésion non drainée, notée \(c_{\text{u}}\). La droite de rupture est alors horizontale.

FAQ (pour lever les doutes)
La cohésion peut-elle être négative ?

Physiquement, la cohésion ne peut pas être négative. Cependant, lors d'une régression linéaire sur des données d'un sol purement frottant (sable), il est possible d'obtenir une très légère ordonnée à l'origine négative due à la dispersion des mesures. Dans ce cas, l'ingénieur l'interprète comme une cohésion nulle (\(c' = 0\)).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les paramètres de résistance du sol sont : Cohésion \(c' = 21 \, \text{kPa}\) et Angle de frottement interne \(\phi' \approx 25.2^\circ\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la contrainte de rupture pour \(\sigma_{\text{n}} = 150 \, \text{kPa}\) avait été de \(100 \, \text{kPa}\) (et celle pour \(\sigma_{\text{n}}=50 \, \text{kPa}\) restait à \(45 \, \text{kPa}\)), quel aurait été le nouvel angle de frottement \(\phi'\) (en degrés) ?

Question 3 : Écrire l'équation de la loi de Mohr-Coulomb

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous avons déterminé les constantes physiques \(c'\) et \(\phi'\) qui caractérisent notre sol, nous pouvons écrire l'équation mathématique qui le décrit. Cette équation est une "loi de comportement" qui nous permettra de prédire la résistance au cisaillement du sol pour n'importe quelle contrainte normale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En ingénierie, de nombreux phénomènes sont modélisés par des lois empiriques ou semi-empiriques comme celle de Mohr-Coulomb. Ces lois ne sont pas des vérités mathématiques absolues, mais des modèles qui ont démontré leur capacité à décrire un phénomène physique avec une précision suffisante pour les besoins de la conception. L'écriture de l'équation finale est la synthèse de tout le travail expérimental et d'analyse.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prenez l'habitude de toujours préciser les unités dans lesquelles votre équation est valable. Ici, \(\tau_{\text{f}}\) et \(\sigma'_{\text{n}}\) sont en kPa. Utiliser cette équation avec des contraintes en Pa ou MPa sans conversion conduirait à des résultats complètement faux. La rigueur sur les unités est une qualité essentielle de l'ingénieur.

Normes (la référence réglementaire)

Les rapports géotechniques (conformes à la norme NF P94-500) doivent présenter clairement les paramètres de sol et les lois de comportement utilisées pour les calculs. L'équation de Mohr-Coulomb est l'une des informations les plus fondamentales de ces rapports.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La forme générale de l'équation est :

\[ \tau_{\text{f}} = c' + \sigma'_{\text{n}} \cdot \tan(\phi') \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les paramètres \(c'\) et \(\phi'\) déterminés à partir des essais sont représentatifs du comportement du sol en place et qu'ils restent constants dans la plage des contraintes d'intérêt pour le projet.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Cohésion, \(c' = 21 \, \text{kPa}\)
  • Angle de frottement, \(\phi' = 25.2^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Il est souvent pratique de conserver à la fois la valeur de l'angle \(\phi'\) et la valeur de la pente \(\tan(\phi')\). Pour les calculs rapides, utiliser la pente (0.47) est plus direct que de recalculer la tangente de l'angle à chaque fois.

Schéma (Avant les calculs)
Modèle d'équation à compléter
τ_f = + σ'n · tan()
Calcul(s) (l'application numérique)

On remplace \(c'\) et \(\phi'\) par les valeurs trouvées à la question 2.

\[ \tau_{\text{f}} = 21 \, \text{kPa} + \sigma'_{\text{n}} \cdot \tan(25.2^\circ) \]

Comme \(\tan(25.2^\circ) \approx 0.47\), l'équation peut aussi s'écrire :

\[ \tau_{\text{f}} = 21 + 0.47 \cdot \sigma'_{\text{n}} \quad (\text{avec } \tau_{\text{f}} \text{ et } \sigma'_{\text{n}} \text{ en kPa}) \]
Schéma (Après les calculs)
Équation finale de la loi de comportement
\[ \tau_{\text{f}} = 21 + \sigma'_{\text{n}} \cdot \tan(25.2^\circ) \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette équation est un outil prédictif puissant. Elle résume tout le comportement du sol à la rupture en cisaillement. Un ingénieur peut maintenant l'utiliser pour vérifier la sécurité de ses ouvrages sans avoir à réaliser un essai pour chaque valeur de contrainte normale rencontrée sur le terrain.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas les primes sur c' et \(\phi'\) si vous travaillez en contraintes effectives. Omettre le prime peut créer une confusion avec les paramètres en contraintes totales, qui sont différents et utilisés dans d'autres contextes (calculs à court terme).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'équation de Mohr-Coulomb est la "loi de résistance" du sol.
  • Elle permet de calculer la résistance maximale au cisaillement \(\tau_{\text{f}}\) pour n'importe quelle \(\sigma'_{\text{n}}\).
  • Il est impératif de toujours préciser les unités de l'équation.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les logiciels de calcul géotechnique par éléments finis, des lois de comportement beaucoup plus complexes sont utilisées (comme le "modèle de sol dur" ou "Cam-Clay"). Cependant, ces modèles avancés nécessitent plus de paramètres et sont souvent initialisés à partir des valeurs de base \(c'\) et \(\phi'\) issues d'essais classiques.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette équation est-elle toujours valable, même pour de très fortes contraintes ?

Pas nécessairement. La loi de Mohr-Coulomb est une approximation linéaire. Pour de très fortes contraintes (comme à la base d'un très grand barrage), la courbe de rupture réelle peut s'incurver. L'équation n'est donc strictement valable que dans la plage de contraintes pour laquelle les essais ont été réalisés.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'équation de la droite de rupture pour ce sol est : \(\tau_{\text{f}} = 21 + 0.47 \cdot \sigma'_{\text{n}}\) (en kPa).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En utilisant l'équation, quelle est la résistance au cisaillement \(\tau_{\text{f}}\) si la contrainte normale est nulle (\(\sigma'_{\text{n}} = 0\)) ?

Question 4 : Calculer la résistance et le coefficient de sécurité

Principe (le concept physique)

Cette question est une application directe de la loi de comportement. On nous donne un état de contrainte dans le sol (\(\sigma_{\text{n}}\)) et on nous demande de calculer la résistance maximale disponible à cet endroit (\(\tau_{\text{f}}\)). Ensuite, on compare cette résistance à la contrainte de cisaillement réellement appliquée (\(\tau_{\text{ag}}\)) pour définir un coefficient de sécurité. Ce coefficient nous indique "de combien" nous sommes en sécurité par rapport à la rupture.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le concept de coefficient de sécurité (FoS, pour Factor of Safety) est central en génie civil. Il vise à couvrir toutes les incertitudes : sur les charges appliquées, sur les propriétés des matériaux, sur les imperfections de construction et sur les limites du modèle de calcul. Un FoS n'est pas une "marge d'erreur", mais un facteur de confiance délibéré pour garantir la pérennité de l'ouvrage.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez le coefficient de sécurité sur le graphique de Mohr-Coulomb. Le point (\(\sigma'_{\text{n}}, \tau_{\text{ag}}\)) représente l'état actuel. La résistance \(\tau_{\text{f}}\) est le point sur la droite de rupture situé à la verticale de l'état actuel. Le FoS est simplement le rapport des hauteurs (ordonnées) de ces deux points. Plus le point de contrainte est loin sous la droite de rupture, plus le FoS est élevé.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 définit des approches de calcul où l'on applique des facteurs de sécurité partiels soit sur les actions (les charges), soit sur les résistances des matériaux (\(c'\) et \(\phi'\)), soit sur les deux. L'objectif est d'atteindre un niveau de sécurité global équivalent à un coefficient de sécurité global traditionnel (comme celui calculé ici) de 1.5 à 2.0 ou plus, selon la fiabilité des données et les conséquences d'une rupture.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul de la résistance au cisaillement :

\[ \tau_{\text{f}} = c' + \sigma'_{\text{n}} \cdot \tan(\phi') \]

2. Calcul du coefficient de sécurité (FoS) :

\[ \text{FoS} = \frac{\text{Résistance disponible}}{\text{Sollicitation agissante}} = \frac{\tau_{\text{f}}}{\tau_{\text{ag}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'état de contrainte (\(\sigma'_{\text{n}} = 120\) kPa, \(\tau_{\text{ag}} = 55\) kPa) a été correctement calculé à partir des charges de l'ouvrage et du poids des terres, et qu'il représente l'état le plus défavorable pour le point considéré.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte normale agissante, \(\sigma'_{\text{n}} = 120 \, \text{kPa}\)
  • Contrainte de cisaillement agissante, \(\tau_{\text{ag}} = 55 \, \text{kPa}\)
  • Loi de comportement : \(\tau_{\text{f}} = 21 + 0.47 \cdot \sigma'_{\text{n}}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant tout calcul, placez mentalement le point (\(120, 55\)) sur votre graphique. Vous verrez immédiatement qu'il est sous la droite de rupture, ce qui signifie que le sol est stable (FoS > 1). Cela vous donne une première vérification qualitative de votre futur résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Position du point de contrainte par rapport à la rupture
σ'nτDroite de RupturePoint (120, 55)Marge de sécurité = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance disponible (\(\tau_{\text{f}}\)) pour \(\sigma'_{\text{n}} = 120 \, \text{kPa}\) :

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{f}} &= 21 + 0.47 \cdot 120 \\ &= 21 + 56.4 \\ &= 77.4 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

2. Calcul du coefficient de sécurité (FoS) :

\[ \begin{aligned} \text{FoS} &= \frac{\tau_{\text{f}}}{\tau_{\text{ag}}} \\ &= \frac{77.4}{55} \\ &\approx 1.41 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Analyse de sécurité du point de contrainte
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance maximale du sol à cet endroit est de 77.4 kPa. La contrainte appliquée n'est que de 55 kPa. Le coefficient de sécurité de 1.41 signifie que la contrainte de cisaillement pourrait augmenter de 41% avant que la rupture ne se produise. En géotechnique, un FoS de 1.5 est souvent un minimum requis pour les talus. Une valeur de 1.41 serait donc considérée comme acceptable mais à surveiller.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais inverser \(\tau_{\text{f}}\) et \(\tau_{\text{ag}}\) dans le calcul du FoS. Le coefficient de sécurité doit être supérieur à 1 pour que la structure soit stable. Si vous trouvez un FoS < 1, cela signifie que la rupture s'est déjà produite ou que le projet n'est pas viable !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La loi de Mohr-Coulomb permet de calculer la résistance \(\tau_{\text{f}}\) pour n'importe quelle \(\sigma'_{\text{n}}\).
  • Le coefficient de sécurité est le rapport \(\text{FoS} = \tau_{\text{f}} / \tau_{\text{ag}}\).
  • Un FoS > 1 est indispensable pour la stabilité.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La plupart des glissements de terrain se déclenchent lorsque la pression de l'eau dans le sol (\(u\)) augmente (par exemple, après de fortes pluies). Cette pression d'eau réduit la contrainte normale effective (\(\sigma' = \sigma - u\)), ce qui diminue la résistance au cisaillement (\(\tau_{\text{f}}\)) et peut faire chuter le coefficient de sécurité en dessous de 1.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi un coefficient de sécurité de 1.0 n'est-il pas suffisant ?

Parce que nos calculs reposent sur de nombreuses hypothèses et des données qui comportent des incertitudes. Le sol n'est jamais parfaitement homogène, les charges ne sont jamais parfaitement connues, et les modèles de calcul sont des simplifications. Le coefficient de sécurité est là pour couvrir toutes ces incertitudes et garantir la sécurité malgré elles.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Pour une contrainte normale de 120 kPa, la résistance au cisaillement est de 77.4 kPa. Le coefficient de sécurité par rapport à une contrainte agissante de 55 kPa est de 1.41.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la contrainte de cisaillement agissante \(\tau_{\text{ag}}\) était de \(80 \, \text{kPa}\) (par exemple à cause d'un séisme), quel serait le nouvel état du sol ?

Outil Interactif : Stabilité d'un Point de Sol

Modifiez les paramètres du sol et les contraintes pour voir leur influence sur le coefficient de sécurité.

Paramètres d'Entrée
21 kPa
25.2°
120 kPa
55 kPa
Résultats Clés
Résistance \(\tau_{\text{f}}\) (\(\text{kPa}\)) -
Coefficient de Sécurité -
État du sol -

Le Saviez-Vous ?

Le critère de Mohr-Coulomb a été formulé par l'ingénieur français Charles-Augustin Coulomb en 1773, initialement pour des problèmes de frottement en mécanique. C'est l'ingénieur allemand Otto Mohr qui, plus d'un siècle plus tard, a généralisé la théorie pour des états de contrainte complexes. Karl von Terzaghi, le "père de la mécanique des sols", a ensuite adapté et popularisé ce critère pour l'appliquer aux sols.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi note-t-on c' et φ' avec un prime ?

Le prime (') indique qu'il s'agit de "paramètres effectifs". Cela signifie qu'ils sont déterminés en utilisant la contrainte effective (\(\sigma'\)), qui est la contrainte totale moins la pression de l'eau dans les pores du sol (\(u\)). La contrainte effective est celle qui contrôle réellement la résistance du squelette solide du sol. Les essais présentés ici sont supposés "drainés", où la pression d'eau est nulle.

Est-ce que c et φ sont constants pour un sol ?

Pour un sol donné, ils sont considérés comme des constantes intrinsèques dans une plage de contraintes donnée. Cependant, ils peuvent varier avec la densité du sol, sa teneur en eau, et l'histoire de son chargement. Un sable très dense aura un angle de frottement plus élevé qu'un sable lâche.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un sable pur, propre et sec aura typiquement...

2. Si on augmente la contrainte normale sur un sol, sa résistance au cisaillement...

Cohésion (c')
Partie de la résistance au cisaillement d'un sol qui est indépendante de la contrainte normale. Elle est due aux forces d'attraction électrochimiques entre les particules fines (argiles).
Angle de Frottement Interne (φ')
Paramètre qui décrit la résistance au cisaillement due au frottement et à l'imbrication des grains du sol. Sa contribution à la résistance est proportionnelle à la contrainte normale.
Critère de Mohr-Coulomb
Modèle mathématique linéaire qui définit la condition de rupture d'un sol en fonction de la contrainte normale et de la contrainte de cisaillement sur un plan.
Résistance au Cisaillement d’un Sol en Géotechnique

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