Calcul de l’Énergie de Déformation
Comprendre le Calcul de l’Énergie de Déformation
Un ingénieur est chargé de concevoir un support en acier pour une machine dans une usine. Le support est modélisé comme une poutre encastrée-libre (c’est-à-dire fixée à une extrémité et libre à l’autre) soumise à une charge concentrée à son extrémité libre. L’ingénieur doit s’assurer que l’énergie de déformation stockée dans la poutre sous la charge ne dépasse pas une certaine valeur pour garantir la sécurité et la durabilité du support.
Pour comprendre le calcul du Déplacement de l’Extrémité Libre d’une poutre, cliquez sur le lien.
Données
- Longueur de la poutre, \( L \): 2 mètres
- Charge concentrée à l’extrémité libre, \( P \): 500 N
- Module d’élasticité de l’acier, \( E \): 210 GPa (GigaPascals)
- Moment d’inertie de la section transversale de la poutre, \( I \): \( 4 \times 10^{-6} \, m^4 \) (considérez une section transversale carrée pour la simplicité du calcul)

Questions
1. Calculez le moment fléchissant (\( M \)) dans la poutre en fonction de la position \( x \) le long de la poutre.
2. Utilisez le moment fléchissant pour déterminer l’énergie de déformation (\( U \)) de la poutre due à la flexion.
3. Vérifiez si l’énergie de déformation dépasse la valeur limite pour la sécurité, considérons pour cet exercice une valeur limite de 10 Joules.
Correction : Calcul de l’Énergie de Déformation
1. Calcul du moment fléchissant \( M(x) \)
Pour une poutre encastrée à une extrémité et libre à l’autre, soumise à une charge \( P \) appliquée à l’extrémité libre, le moment fléchissant à une distance \( x \) (mesurée depuis l’encastrement) est dû à la charge \( P \) agissant à une distance \( L – x \).
Formule
\[ M(x) = P \times (L – x) \]
Remarque : Le signe négatif peut apparaître selon la convention de signe choisie, mais ici nous travaillerons avec la valeur absolue du moment pour le calcul de l’énergie de déformation.
Substitution des données
\[ M(x) = 500 \, \text{N} \times (2 \, \text{m} – x) \]
Conclusion
\[ M(x) = 500(2-x) \quad \text{(en N·m)} \]
2. Calcul de l’énergie de déformation \( U \) due à la flexion
L’énergie de déformation stockée dans une poutre en flexion est donnée par l’intégrale de la densité d’énergie le long de la poutre. La formule générale est :
\[ U = \int_0^L \frac{M(x)^2}{2EI} \, dx \]
Formule
\[ U = \int_{0}^{L} \frac{[M(x)]^2}{2EI} \, dx \]
Substitution des données
Nous connaissons :
- \( M(x) = 500(2-x) \)
- \( E = 210 \times 10^9 \) Pa
- \( I = 4 \times 10^{-6} \) m\(^4\)
- \( L = 2 \) m
Ainsi,
\[ U = \int_{0}^{2} \frac{\left[500(2-x)\right]^2}{2 \times (210 \times 10^9) \times (4 \times 10^{-6})} \, dx \]
Calcul détaillé
1. Calcul du numérateur :
\[ [500(2-x)]^2 = 500^2 (2-x)^2 \] \[ = 250\,000 (2-x)^2 \]
2. Calcul du dénominateur constant :
\[ 2EI = 2 \times (210 \times 10^9) \times (4 \times 10^{-6}) \]
Calculons étape par étape :
- \(210 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6} = 210 \times 4 \times 10^{9-6} = 840 \times 10^3 = 840\,000\)
- Puis,\(2 \times 840\,000 = 1\,680\,000\)
Donc,
\[ 2EI = 1.68 \times 10^6 \quad (\text{en unités SI}) \]
3. Expression de l’intégrale :
\[ U = \frac{250\,000}{1.68 \times 10^6} \int_{0}^{2} (2-x)^2 \, dx \]
4. Calcul de l’intégrale \( \int_{0}^{2} (2-x)^2 \, dx \) :
Effectuons le changement de variable ou intégrons directement :
Soit \( u = 2-x \) alors \( du = -dx \). Lorsque \( x=0 \), \( u=2 \) et lorsque \( x=2 \), \( u=0 \).
On a :
\[ \int_{x=0}^{2} (2-x)^2 dx = \int_{u=2}^{0} u^2 (-du) = \int_{u=0}^{2} u^2 \, du \]
Calculons :
\[ \int_{0}^{2} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
5. Substitution dans l’expression de \( U \) :
\[ U = \frac{250\,000}{1.68 \times 10^6} \times \frac{8}{3} \]
6. Calcul numérique :
D’abord, calculons le rapport :
\[ \frac{250\,000}{1.68 \times 10^6} \approx 0.14881 \]
Puis :
\[ U = 0.14881 \times \frac{8}{3} \] \[ U \approx 0.14881 \times 2.66667 \] \[ U \approx 0.3968 \, \text{J} \]
Conclusion
\[ U \approx 0.397 \, \text{J} \]
3. Vérification de l’énergie de déformation par rapport à la limite de sécurité
Donnée
- Valeur limite pour la sécurité : 10 J
Comparaison
Nous avons trouvé :
\[ U \approx 0.397 \, \text{J} \]
Comparons :
\[ 0.397 \, \text{J} < 10 \, \text{J} \]
Conclusion
L’énergie de déformation calculée est bien en dessous de la valeur limite de 10 J, ce qui garantit que le support en acier est dans des conditions de sécurité acceptables.
Calcul de l’Énergie de Déformation
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