Études de cas pratique

EGC

Calcul de l’Énergie de Déformation

Calcul de l’Énergie de Déformation

Comprendre l'Énergie de Déformation

Lorsqu'une force externe est appliquée à un corps élastique et provoque sa déformation, un travail est effectué par cette force. Ce travail est emmagasiné dans le corps sous forme d'énergie potentielle interne, appelée énergie de déformation (\(U\)). Si le matériau se comporte de manière élastique linéaire (loi de Hooke), cette énergie peut être récupérée lorsque la charge est retirée. L'énergie de déformation est un concept important en mécanique des matériaux, notamment pour l'analyse de la résilience (capacité d'un matériau à absorber de l'énergie et à la restituer élastiquement) et pour certaines méthodes de calcul des déplacements structuraux (théorèmes énergétiques).

Données de l'étude

Une barre cylindrique en laiton est soumise à un effort de traction axial progressif \(N\).

Caractéristiques de la barre et du matériau :

  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(300 \, \text{mm}\)
  • Diamètre de la section circulaire (\(D\)) : \(10 \, \text{mm}\)
  • Module d'Young du laiton (\(E\)) : \(100 \, \text{GPa}\)
  • La barre est chargée jusqu'à ce que l'allongement atteigne \(\Delta L = 0.45 \, \text{mm}\). On suppose que le comportement reste dans le domaine élastique.

Objectif : Calculer l'énergie de déformation emmagasinée dans la barre lorsque l'allongement atteint \(0.45 \, \text{mm}\).

Schéma : Barre en Traction et Diagramme Force-Allongement
N N Barre en traction ΔL Diagramme N-ΔL ΔL N 0 Énergie (U) ΔLmax Nmax

Barre en traction et représentation de l'énergie de déformation sur un diagramme Force-Allongement.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) de la section transversale de la barre.
  2. Calculer la déformation axiale (\(\epsilon\)) correspondant à l'allongement \(\Delta L = 0.45 \, \text{mm}\).
  3. Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) dans la barre pour cet allongement.
  4. Calculer la force de traction (\(N\)) correspondante.
  5. Calculer l'énergie de déformation (\(U\)) emmagasinée dans la barre.

Correction : Calcul de l’Énergie de Déformation

Question 1 : Calcul de l'Aire (\(A\)) de la Section Transversale

Principe :

L'aire d'une section circulaire pleine de diamètre \(D\) est donnée par la formule \(A = \pi D^2 / 4\). Cette aire est nécessaire pour calculer la contrainte dans la barre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{\pi D^2}{4}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre (\(D\)) : \(10 \, \text{mm}\)
Calcul de l'aire :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \cdot (10 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 100 \, \text{mm}^2}{4} \\ &= 25\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 78.5398 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale est \(A \approx 78.54 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Calcul de la Déformation Axiale (\(\epsilon\))

Principe :

La déformation axiale (\(\epsilon\)), ou allongement relatif, est le rapport de l'allongement total (\(\Delta L\)) à la longueur initiale (\(L_0\)). Elle représente le changement de longueur par unité de longueur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}\]
Données spécifiques :
  • Allongement (\(\Delta L\)) : \(0.45 \, \text{mm}\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(300 \, \text{mm}\)
Calcul de la déformation axiale :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{0.45 \, \text{mm}}{300 \, \text{mm}} \\ &= 0.0015 \end{aligned} \]

La déformation est adimensionnelle.

Résultat Question 2 : La déformation axiale est \(\epsilon = 0.0015\).

Question 3 : Calcul de la Contrainte Normale (\(\sigma\))

Principe :

Dans le domaine élastique linéaire, la contrainte normale (\(\sigma\)) est proportionnelle à la déformation axiale (\(\epsilon\)) selon la loi de Hooke : \(\sigma = E \epsilon\), où \(E\) est le module d'Young du matériau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = E \cdot \epsilon\]
Données spécifiques :
  • Module d'Young (\(E\)) : \(100 \, \text{GPa} = 100 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2\)
  • Déformation axiale (\(\epsilon\)) : \(0.0015\)
Calcul de la contrainte normale :
\[ \begin{aligned} \sigma &= (100 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2) \cdot 0.0015 \\ &= 150 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 150 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La contrainte normale dans la barre est \(\sigma = 150 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Calcul de la Force de Traction (\(N\))

Principe :

La force de traction axiale (\(N\)) est le produit de la contrainte normale (\(\sigma\)) et de l'aire de la section transversale (\(A\)) de la barre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[N = \sigma \cdot A\]
Données spécifiques :
  • Contrainte normale (\(\sigma\)) : \(150 \, \text{N/mm}^2\)
  • Aire (\(A\)) : \(25\pi \, \text{mm}^2 \approx 78.5398 \, \text{mm}^2\)
Calcul de la force de traction :
\[ \begin{aligned} N &= (150 \, \text{N/mm}^2) \cdot (25\pi \, \text{mm}^2) \\ &= 3750\pi \, \text{N} \\ &\approx 11780.97 \, \text{N} \\ &\approx 11.78 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La force de traction correspondante est \(N \approx 11.78 \, \text{kN}\).

Question 5 : Calcul de l'Énergie de Déformation (\(U\))

Principe :

Pour un matériau élastique linéaire soumis à une charge axiale, l'énergie de déformation (\(U\)) emmagasinée est égale au travail effectué par la force externe. Elle peut être calculée de plusieurs manières : \(U = \frac{1}{2} N \Delta L\) (aire du triangle dans le diagramme Force-Allongement) ou \(U = \frac{1}{2} \sigma \epsilon V_0\), où \(V_0 = A L_0\) est le volume initial de la barre. ou \(U = \frac{N^2 L_0}{2AE}\) ou \(U = \frac{\sigma^2 A L_0}{2E}\) ou \(U = \frac{E A (\Delta L)^2}{2L_0}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[U = \frac{1}{2} N \Delta L\]
Données spécifiques :
  • Force de traction (\(N\)) : \(\approx 11780.97 \, \text{N}\)
  • Allongement (\(\Delta L\)) : \(0.45 \, \text{mm} = 0.45 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Calcul de l'énergie de déformation :
\[ \begin{aligned} U &= \frac{1}{2} \cdot (11780.97 \, \text{N}) \cdot (0.45 \times 10^{-3} \, \text{m}) \\ &\approx \frac{1}{2} \cdot 5.3014365 \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &\approx 2.6507 \, \text{J} \end{aligned} \]

Utilisons une autre formule pour vérifier, par exemple \(U = \frac{E A (\Delta L)^2}{2L_0}\) avec \(\Delta L = 0.45 \, \text{mm}\), \(L_0=300 \, \text{mm}\), \(A=25\pi \, \text{mm}^2\), \(E=100 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2\):

\[ \begin{aligned} U &= \frac{(100 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2) \cdot (25\pi \, \text{mm}^2) \cdot (0.45 \, \text{mm})^2}{2 \cdot (300 \, \text{mm})} \\ &= \frac{10^5 \cdot 25\pi \cdot 0.2025}{600} \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &\approx \frac{1590431.28}{600} \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &\approx 2650.7188 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &\approx 2.65 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'énergie de déformation emmagasinée dans la barre est \(U \approx 2.65 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la longueur initiale \(L_0\) de la barre était doublée, mais que l'allongement \(\Delta L\) restait le même sous une certaine charge, comment l'énergie de déformation \(U = \frac{1}{2} N \Delta L\) changerait-elle (en supposant que N reste la même) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. L'énergie de déformation est :

7. Pour un matériau élastique linéaire, si la force appliquée est doublée, l'énergie de déformation emmagasinée est :

8. L'unité de l'énergie de déformation dans le Système International (SI) est :

Glossaire

Énergie de Déformation (\(U\))
Énergie potentielle interne emmagasinée dans un corps lorsqu'il est déformé élastiquement par l'application de forces externes. Elle correspond au travail effectué par ces forces.
Loi de Hooke
Relation linéaire entre la contrainte (\(\sigma\)) et la déformation (\(\epsilon\)) pour un matériau élastique : \(\sigma = E \epsilon\).
Module d'Young (\(E\))
Module d'élasticité longitudinale, mesurant la rigidité d'un matériau.
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne agissant perpendiculairement par unité de surface d'une section transversale.
Déformation Axiale (\(\epsilon\))
Mesure du changement relatif de longueur d'un corps sous l'effet d'une contrainte axiale.
Allongement (\(\Delta L\))
Variation absolue de la longueur d'un objet due à une sollicitation de traction.
Domaine Élastique
Plage de contrainte et de déformation dans laquelle un matériau reprend sa forme et ses dimensions initiales après la suppression de la charge.
Résilience
Capacité d'un matériau à absorber de l'énergie lorsqu'il est déformé élastiquement et à restituer cette énergie lors de la décharge.
Calcul de l’Énergie de Déformation - Exercice d'Application

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