Études de cas pratique

EGC

Calcul des Contraintes Principales

Calcul des Contraintes Principales

Comprendre le calcul des Contraintes Principales

Dans un projet de construction d’un pont, les ingénieurs doivent évaluer la sécurité de la structure sous différentes charges. Un élément structurel clé, une poutre en acier, est soumis à des contraintes dues à la charge du trafic et aux conditions environnementales.

Pour comprendre l’Analyse des Contraintes par le Cercle de Mohr, cliquez sur le lien.

Données

  • Dimensions de la poutre : Longueur = 10 m, Largeur = 0.3 m, Hauteur = 0.5 m.
  • Matériau : Acier, avec une limite d’élasticité de 250 MPa.
  • Charge appliquée : 5000 N répartis uniformément sur toute la longueur de la poutre.
  • Contraintes supplémentaires dues aux conditions environnementales : 20 MPa en traction et 15 MPa en cisaillement.
  • Coordonnées des contraintes dans le système global : \(
    \sigma_x = 30 \, \text{MPa}, \quad \sigma_y = -20 \, \text{MPa}, \quad \tau_{xy} = 10 \, \text{MPa}.
    \)

Questions:

Déterminer les contraintes principales (\(\sigma_1\) et \(\sigma_2\)) et les directions principales dans la poutre.

Correction : calcul des Contraintes Principales

Remarque sur le contexte :

Bien que l’énoncé mentionne d’autres données (dimensions, charge uniformément répartie, et contraintes environnementales supplémentaires de 20 MPa en traction et 15 MPa en cisaillement), nous travaillerons ici sur le système de contraintes global donné par (σₓ, σᵧ, τₓᵧ). On considère donc que ces valeurs résultent de la combinaison des effets mécaniques (trafic) et environnementaux.

1. Rappel des formules de l’analyse de Mohr (état plan)

Pour un état de contrainte en deux dimensions, les contraintes principales sont données par :

\[ \sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x – \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}. \]

L’orientation (angle \(\theta\)) des axes principaux par rapport à l’axe \(x\) se détermine par :

\[ \tan(2\theta) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x – \sigma_y}. \]

2. Application numérique

a) Calcul de la moyenne des contraintes

On calcule la moyenne des contraintes normales :

\[ \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{30 + (-20)}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ MPa}. \]

b) Calcul du terme de différence

Calcul de la moitié de la différence entre \(\sigma_x\) et \(\sigma_y\) :

\[ \frac{\sigma_x – \sigma_y}{2} = \frac{30 – (-20)}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ MPa}. \]

c) Calcul de la valeur sous la racine

On calcule :

\[ \sqrt{(25)^2 + (10)^2} = \sqrt{625 + 100} \] \[ = \sqrt{725} \approx 26,93 \text{ MPa}. \]

d) Détermination des contraintes principales

En substituant dans la formule :

  • Contrainte principale maximale (\(\sigma_1\)) :

\[ \sigma_1 = 5 + 26,93 \approx 31,93 \text{ MPa}. \]

  • Contrainte principale minimale (\(\sigma_2\)) :

\[ \sigma_2 = 5 – 26,93 \approx -21,93 \text{ MPa}. \]

e) Calcul de l’angle des axes principaux

L’angle double (\(2\theta\)) est donné par :

\[ \tan(2\theta) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x – \sigma_y} \] \[ \tan(2\theta) = \frac{2 \times 10}{30 – (-20)} = \frac{20}{50} = 0,4. \]

On en déduit :

\[ 2\theta = \arctan(0,4) \approx 21,8^\circ, \]

d’où :

\[ \theta \approx \frac{21,8^\circ}{2} \approx 10,9^\circ. \]

Ainsi, l’axe principal associé à \(\sigma_1\) est orienté à environ \(10,9^\circ\) par rapport à l’axe \(x\) positif.

Synthèse et interprétation

  • Contraintes principales :

    • σ₁ ≈ 31,93 MPa (tension)
    • σ₂ ≈ –21,93 MPa (compression)
  • Orientation des axes principaux :
    L’axe principal associé à la contrainte maximale (σ₁) est incliné d’environ 10,9° par rapport à l’axe x. L’axe perpendiculaire à ce premier axe correspond à l’orientation de σ₂.

Interprétation pratique :
Dans l’élément structurel étudié (la poutre en acier), la contrainte maximale (en traction) est d’environ 31,93 MPa et la contrainte minimale (en compression) est d’environ –21,93 MPa. Ces valeurs, bien inférieures à la limite d’élasticité de 250 MPa de l’acier, indiquent, sous cet état de contrainte, que le matériau reste dans le domaine élastique. De plus, l’orientation des axes principaux permet aux ingénieurs de mieux comprendre la distribution des efforts internes et d’ajuster le dimensionnement ou la conception si nécessaire.

Calcul des Contraintes Principales

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