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Torsion d’une barre circulaire

Torsion d’une Barre Circulaire

Torsion d’une Barre Circulaire

Comprendre la Torsion des Barres Circulaires

La torsion est une sollicitation courante pour les éléments de machine tels que les arbres de transmission, mais aussi pour des éléments structuraux. Lorsqu'une barre de section circulaire est soumise à un couple de torsion autour de son axe longitudinal, elle subit des contraintes de cisaillement et une déformation angulaire. Pour les sections circulaires (pleines ou creuses), la distribution des contraintes de cisaillement est linéaire, partant de zéro au centre et atteignant son maximum à la surface extérieure. L'angle de torsion dépend du couple appliqué, de la longueur de la barre, de la rigidité du matériau (module de cisaillement) et de la géométrie de la section (moment d'inertie polaire).

Données de l'étude

Une barre cylindrique pleine en acier est encastrée à une extrémité et soumise à un couple de torsion \(M_t = 300 \, \text{N} \cdot \text{m}\) à son extrémité libre.

Caractéristiques de la barre et du matériau :

  • Longueur de la barre (\(L\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
  • Diamètre de la section circulaire (\(D\)) : \(30 \, \text{mm}\)
  • Module de cisaillement de l'acier (\(G\)) : \(77 \, \text{GPa}\)

Objectif : Déterminer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) dans la barre et l'angle de torsion total (\(\theta\)) à l'extrémité libre.

Schéma : Barre Circulaire en Torsion
Mt Mt = 300 Nm x L = 1.0 m D=30mm \(\theta\)

Barre circulaire encastrée soumise à un couple de torsion Mt.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment d'inertie polaire (\(J\)) de la section circulaire de la barre.
  2. Calculer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) dans la barre.
  3. Calculer l'angle de torsion total (\(\theta\)) de la barre en degrés.

Correction : Calcul de la Torsion d’une Barre Circulaire

Question 1 : Moment d'Inertie Polaire (\(J\))

Principe :

Le moment d'inertie polaire (\(J\)) d'une section circulaire pleine de diamètre \(D\) est donné par la formule \(J = \frac{\pi D^4}{32}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[J = \frac{\pi D^4}{32}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre (\(D\)) : \(30 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} J &= \frac{\pi \cdot (30 \, \text{mm})^4}{32} \\ &= \frac{\pi \cdot 810000 \, \text{mm}^4}{32} \\ &= \pi \cdot 25312.5 \, \text{mm}^4 \\ &\approx 79521.56 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment d'inertie polaire est \(J \approx 79522 \, \text{mm}^4\).

Question 2 : Contrainte de Cisaillement Maximale (\(\tau_{max}\))

Principe :

La contrainte de cisaillement (\(\tau\)) due à la torsion dans une barre de section circulaire varie linéairement depuis le centre (où elle est nulle) jusqu'à la surface extérieure (où elle est maximale). Elle est donnée par la formule \(\tau = \frac{M_t \cdot r}{J}\), où \(r\) est la distance radiale par rapport au centre. La contrainte maximale se produit donc à \(r = R = D/2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau_{max} = \frac{M_t \cdot R}{J} = \frac{M_t \cdot (D/2)}{J}\]
Données spécifiques (unités cohérentes : N, mm) :
  • Couple de torsion (\(M_t\)) : \(300 \, \text{N} \cdot \text{m} = 300 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Rayon extérieur (\(R = D/2\)) : \(30 \, \text{mm} / 2 = 15 \, \text{mm}\)
  • Moment d'inertie polaire (\(J\)) : \(25312.5\pi \, \text{mm}^4 \approx 79521.56 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_{max} &= \frac{(300 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{mm}) \cdot (15 \, \text{mm})}{25312.5\pi \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{4.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}^2}{25312.5\pi \, \text{mm}^4} \\ &\approx \frac{4500000}{79521.56} \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 56.588 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 56.59 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte de cisaillement maximale est \(\tau_{max} \approx 56.59 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Angle de Torsion Total (\(\theta\))

Principe :

L'angle de torsion (\(\theta\)) est la déformation angulaire totale de la barre sur sa longueur \(L\) due au couple de torsion \(M_t\). Il est donné par la formule \(\theta = \frac{M_t L}{G J}\), où \(G\) est le module de cisaillement et \(J\) le moment d'inertie polaire. L'angle est obtenu en radians et peut être converti en degrés.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\theta = \frac{M_t L}{G J}\]
Données spécifiques (unités cohérentes : N, mm) :
  • Couple de torsion (\(M_t\)) : \(300 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Longueur de la barre (\(L\)) : \(1.0 \, \text{m} = 1000 \, \text{mm}\)
  • Module de cisaillement (\(G\)) : \(77 \, \text{GPa} = 77 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2\)
  • Moment d'inertie polaire (\(J\)) : \(25312.5\pi \, \text{mm}^4 \approx 79521.56 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \theta &= \frac{(300 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{mm}) \cdot (1000 \, \text{mm})}{(77 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2) \cdot (25312.5\pi \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{300 \times 10^6}{77 \times 10^3 \cdot 25312.5\pi} \, \text{rad} \\ &= \frac{300 \times 10^3}{77 \cdot 25312.5\pi} \, \text{rad} \\ &\approx \frac{300000}{6123159.9} \, \text{rad} \\ &\approx 0.048994 \, \text{rad} \end{aligned} \]

Conversion en degrés : \(\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\)

\[ \begin{aligned} \theta_{\text{deg}} &\approx 0.048994 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \\ &\approx 0.048994 \cdot 57.2958^\circ \\ &\approx 2.8069^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'angle de torsion total est \(\theta \approx 0.0490 \, \text{rad} \approx 2.81^\circ\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le module de cisaillement G du matériau était plus faible, l'angle de torsion \(\theta\) (toutes autres choses étant égales) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

4. La contrainte de cisaillement due à la torsion dans une barre circulaire pleine est nulle :

5. Le moment d'inertie polaire \(J\) est une mesure de la :

6. L'angle de torsion \(\theta\) est directement proportionnel à :

Glossaire

Torsion
Sollicitation d'un corps soumis à un couple de forces (moment de torsion) qui tend à le faire tourner autour de son axe longitudinal.
Couple de Torsion (\(M_t\) ou \(T\))
Moment appliqué à une barre ou un arbre qui provoque sa torsion. Unité : N·m.
Moment d'Inertie Polaire (\(J\))
Caractéristique géométrique d'une section qui mesure sa résistance à la torsion. Unité : mm\(^4\) ou m\(^4\).
Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Contrainte interne agissant tangentiellement (parallèlement) à la section d'un corps. En torsion d'une barre circulaire, elle est maximale à la surface extérieure.
Angle de Torsion (\(\theta\))
Déformation angulaire d'une section transversale d'une barre par rapport à une autre, due à un couple de torsion. Unité : radians (rad) ou degrés (°).
Module de Cisaillement (\(G\))
Aussi appelé module de rigidité ou module de Coulomb. C'est une propriété du matériau qui mesure sa résistance à la déformation par cisaillement. Il est relié au module d'Young \(E\) et au coefficient de Poisson \(\nu\) par \(G = E / (2(1+\nu))\).
Torsion d’une Barre Circulaire - Exercice d'Application

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