Torsion d’une barre circulaire

Comprendre la torsion d’une barre circulaire

Dans le cadre de la conception des ponts suspendus, en tant qu’ingénieur en génie civil, il est crucial de comprendre les forces auxquelles les composants critiques sont soumis. Le câble principal d’un pont suspendu joue un rôle essentiel dans la sustentation du tablier du pont et la répartition des charges. Par conséquent, une analyse approfondie de la torsion subie par ce câble est indispensable pour assurer la sécurité de la structure.

Pour comprendre le cacul de la Torsion dans une Poutre en T, cliquez sur le lien.

Caractéristiques du câble étudié :

Matériau : Acier
- Module d’Élasticité : 200 GPa
- Module de Cisaillement : 80 GPa
Diamètre : 0,2 m
Longueur : 10 m
Charge appliquée : 500 kN
Variation de température : 30°C

Questions:

1. Moment de torsion dû à la charge : Calculer le moment de torsion \(T\) dû à la charge appliquée, en considérant la force \(F = 500\, \text{kN}\) et le rayon \(r = 0.1\, \text{m}\).

2. Moment de torsion dû à la variation de température : En tenant compte d’une variation de température de 30°C, du coefficient de dilatation thermique linéique de l’acier (\(\alpha = 12 \times 10^{-6} / ^\circ\text{C}\)), et du module de cisaillement (\(G = 80\, \text{GPa}\)), recalculer le moment de torsion \(T_\theta\) dû à cette variation de température.

3. Moment de torsion total : Additionner les moments de torsion calculés dans les questions 1 et 2 pour obtenir le moment de torsion total \(T_{\text{total}}\).

4. Contrainte de torsion : Utiliser le moment de torsion total et le moment quadratique calculé pour la section circulaire pleine afin de recalculer la contrainte de torsion \(\tau\) subie par le câble.

Correction : Torsion d’une barre circulaire:

1. Moment de torsion dû à la charge

Le moment de torsion dû à une charge est calculé en multipliant la force appliquée par le rayon perpendiculaire à la direction de la force jusqu’au point de rotation.

Formule :

\[ T = F \times r \]

Données :

Force \(F = 500 \, \text{kN} = 500,000 \, \text{N}\)
Rayon \(r = \frac{\text{Diamètre}}{2} = \frac{0.2 \, \text{m}}{2} = 0.1 \, \text{m}\)

Calcul :

\[ T = 500,000 \, \text{N} \times 0.1 \, \text{m} \] \[ T = 50,000 \, \text{Nm} \]

2. Moment de torsion dû à la variation de température

La variation de température peut causer une expansion ou contraction du matériau, générant un moment de torsion si le matériau est contraint ou restreint.

Formule :

\[ T_{\theta} = \alpha \times G \times A \times \Delta T \]

Données :

Coefficient de dilatation \(\alpha = 12 \times 10^{-6} / {}^\circ\text{C}\)
Module de cisaillement \(G = 80 \times 10^{9} \, \text{N/m}^2\)
Rayon \(r = 0.1 \, \text{m}\)
Aire de la section transversale \(A = \pi \times r^2 = \pi \times (0.1 \, \text{m})^2\)
Variation de température \(\Delta T = 30 \, {}^\circ\text{C}\)

Calcul :

\[ A = \pi \times (0.1 \, \text{m})^2 \] \[ A \approx 0.0314 \, \text{m}^2 \]

\[ T_{\theta} = 12 \times 10^{-6} \times 80 \times 10^{9} \times 0.0314 \times 30 \] \[ T_{\theta} = 904,779 \, \text{Nm} \]

3. Moment de torsion total

Le moment de torsion total est la somme des moments de torsion dus à la charge et à la variation de température.

Formule :

\[ T_{total} = T + T_{\theta} \]

Calcul :

\[ T_{total} = 50,000 \, \text{Nm} + 904,779 \, \text{Nm} \] \[ T_{total} = 954,779 \, \text{Nm} \]

4. Contrainte de torsion

La contrainte de torsion est calculée en divisant le moment de torsion total par le produit du moment quadratique de la section et le rayon de la section.

Formule :

\[ \tau = \frac{T_{total} \times r}{J} \]

Calcul du moment quadratique pour une section circulaire pleine :

\[ J = \frac{\pi \times r^4}{2} \] \[ J = \frac{\pi \times (0.1 \, \text{m})^4}{2} \] \[ J \approx 0.00015708 \, \text{m}^4 \]

Calcul de la contrainte :

\[ \tau = \frac{954,779 \, \text{Nm} \times 0.1 \, \text{m}}{0.00015708 \, \text{m}^4} \] \[ \tau \approx 607,831,989 \, \text{N/m}^2 \] \[ \tau = 607.83 \, \text{MPa} \]

Conclusion:

La contrainte de torsion calculée de 607.83 MPa doit être comparée à la résistance à la torsion du matériau pour évaluer si le câble peut résister à ces contraintes sans subir de dommages. Ce type de calcul est essentiel pour garantir la sécurité et la durabilité des structures telles que les ponts suspendus.

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