Torsion d’une barre circulaire
Comprendre la torsion d’une barre circulaire
Dans le cadre de la conception des ponts suspendus, en tant qu’ingénieur en génie civil, il est crucial de comprendre les forces auxquelles les composants critiques sont soumis. Le câble principal d’un pont suspendu joue un rôle essentiel dans la sustentation du tablier du pont et la répartition des charges. Par conséquent, une analyse approfondie de la torsion subie par ce câble est indispensable pour assurer la sécurité de la structure.
Pour comprendre le cacul de la Torsion dans une Poutre en T, cliquez sur le lien.
Caractéristiques du câble étudié :
- Matériau : Acier
- Module d’Élasticité : 200 GPa
- Module de Cisaillement : 80 GPa
- Diamètre : 0,2 m
- Longueur : 10 m
- Charge appliquée : 500 kN
- Variation de température : 30°C
Questions:
1. Moment de torsion dû à la charge : Calculer le moment de torsion \(T\) dû à la charge appliquée, en considérant la force \(F = 500\, \text{kN}\) et le rayon \(r = 0.1\, \text{m}\).
2. Moment de torsion dû à la variation de température : En tenant compte d’une variation de température de 30°C, du coefficient de dilatation thermique linéique de l’acier (\(\alpha = 12 \times 10^{-6} / ^\circ\text{C}\)), et du module de cisaillement (\(G = 80\, \text{GPa}\)), recalculer le moment de torsion \(T_\theta\) dû à cette variation de température.
3. Moment de torsion total : Additionner les moments de torsion calculés dans les questions 1 et 2 pour obtenir le moment de torsion total \(T_{\text{total}}\).
4. Contrainte de torsion : Utiliser le moment de torsion total et le moment quadratique calculé pour la section circulaire pleine afin de recalculer la contrainte de torsion \(\tau\) subie par le câble.
Correction : Torsion d’une barre circulaire:
Pour la section circulaire pleine, le moment polaire d’inertie est calculé par la formule :
\[ J = \frac{\pi \, d^4}{32} \]
avec \(d = 0,2 \, \text{m}\).
Calculons \(J\) :
\[ J = \frac{\pi \times (0,2)^4}{32} \] \[ J = \frac{\pi \times 0,0016}{32} \] \[ J \approx \frac{0,00502655}{32} \] \[ J \approx 0,00015708 \, \text{m}^4 \]
1. Moment de torsion dû à la charge
Le moment de torsion dû à la charge est obtenu par le produit de la force appliquée par le bras de levier (le rayon de la section circulaire).
Formule
\[ T = F \times r \]
Données
- \(F = 500\,000 \, \text{N}\)
- \(r = 0,1 \, \text{m}\)
Calcul
\[ T = 500\,000 \, \text{N} \times 0,1 \, \text{m} \] \[ T = 50\,000 \, \text{N}\cdot\text{m} \]
Résultat
Le moment de torsion dû à la charge est :
\[ T = 50\,000 \, \text{N}\cdot\text{m} \]
2. Moment de torsion dû à la variation de température
La variation de température induit une dilatation (ou contraction) qui, lorsqu’elle est contrainte, génère un moment de torsion. Ici, on utilise une relation qui associe le module de cisaillement, le moment polaire d’inertie, le coefficient de dilatation thermique et la variation de température.
Formule
\[ T_\theta = \frac{G \, J \, \alpha \, \Delta T}{L} \]
Données
- \(G = 80 \times 10^9 \, \text{Pa}\)
- \(J \approx 0,00015708 \, \text{m}^4\)
- \(\alpha = 12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\)
- \(\Delta T = 30 \, ^\circ\text{C}\)
- \(L = 10 \, \text{m}\)
Calcul
1. Calcul du produit \(G \times J\) :
\[ G \times J = 80 \times 10^9 \, \text{Pa} \times 0,00015708 \, \text{m}^4 \] \[ \approx 12\,566\,400 \, \text{N}\cdot\text{m}^2 \]
2. Calcul du produit \(\alpha \times \Delta T\) :
\[ \alpha \times \Delta T = 12 \times 10^{-6} \times 30 \] \[ = 0,00036 \]
3. Calcul du numérateur :
\[ G \, J \, \alpha \, \Delta T = 12\,566\,400 \times 0,00036 \] \[ \approx 4\,523,904 \, \text{N}\cdot\text{m} \]
4. Division par \(L\) :
\[ T_\theta = \frac{4\,523,904}{10} \approx 452,39 \, \text{N}\cdot\text{m} \]
Résultat
Le moment de torsion dû à la variation de température est :
\[ T_\theta \approx 452,39 \, \text{N}\cdot\text{m} \]
3. Moment de torsion total
Le moment total subi par la barre est la somme du moment dû à la charge et du moment induit par la variation de température.
Formule
\[ T_{\text{total}} = T + T_\theta \]
Calcul
\[ T_{\text{total}} = 50\,000 \, \text{N}\cdot\text{m} + 452,39 \, \text{N}\cdot\text{m} \] \[ T_{\text{total}} \approx 50\,452,39 \, \text{N}\cdot\text{m} \]
Résultat
Le moment de torsion total est :
\[ T_{\text{total}} \approx 50\,452,39 \, \text{N}\cdot\text{m} \]
4. Contrainte de torsion
La contrainte de torsion (ou contrainte de cisaillement) dans une barre circulaire est obtenue en répartissant le moment de torsion sur la section, en tenant compte du rayon extérieur et du moment polaire d’inertie.
Formule
\[ \tau = \frac{T_{\text{total}} \times r}{J} \]
Données
- \(T_{\text{total}} \approx 50\,452,39 \, \text{N}\cdot\text{m}\)
- \(r = 0,1 \, \text{m}\)
- \(J \approx 0,00015708 \, \text{m}^4\)
Calcul
1. Produit \(T_{\text{total}} \times r\) :
\[ = 50\,452,39 \, \text{N}\cdot\text{m} \times 0,1 \, \text{m} \] \[ = 5\,045,239 \, \text{N}\cdot\text{m}^2 \]
2. Calcul de \(\tau\) :
\[ \tau = \frac{5\,045,239}{0,00015708} \approx 32\,114\, \text{N/m}^2 \]
On peut exprimer ce résultat en mégapascals (MPa) sachant que \(1 \, \text{MPa} = 10^6 \, \text{N/m}^2\) :
\[ \tau \approx 32,11 \, \text{MPa} \]
Résultat
La contrainte de torsion subie par le câble est d’environ :
\[ \tau \approx 32,11 \, \text{MPa} \]
Torsion d’une barre circulaire
D’autres exercices de Rdm :
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