Études de cas pratique

EGC

Contraintes en fibres extrêmes et intermédiaires

Contraintes en Fibres Extrêmes et Intermédiaires

Contraintes en Fibres Extrêmes et Intermédiaires

Comprendre les Contraintes Normales dues à la Flexion

Lorsqu'une poutre est soumise à un moment fléchissant (\(M\)), des contraintes normales (\(\sigma\)) se développent dans sa section transversale. Ces contraintes varient linéairement sur la hauteur de la section, étant nulles à l'axe neutre et maximales aux fibres les plus éloignées de cet axe (fibres extrêmes). La formule de la flexion, \(\sigma = \frac{My}{I}\), permet de calculer ces contraintes, où \(y\) est la distance de la fibre considérée à l'axe neutre et \(I\) est le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe neutre. Comprendre cette distribution est essentiel pour s'assurer que la poutre ne dépasse pas la contrainte admissible du matériau.

Données de l'étude

Une poutre en acier de section rectangulaire est simplement appuyée sur une portée \(L = 4 \, \text{m}\). Elle est soumise à une charge ponctuelle \(P = 20 \, \text{kN}\) appliquée en son milieu (\(L/2\)).

Dimensions de la section rectangulaire :

  • Base (\(b\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(150 \, \text{mm}\)

Propriétés du matériau (Acier) :

  • Module de Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\) (non directement utilisé pour le calcul des contraintes, mais contextuel)
  • Contrainte admissible en flexion (\(\sigma_{adm}\)) : \(165 \, \text{MPa}\)
Schéma : Poutre Rectangulaire avec Charge Ponctuelle
A B RA RB P = 20 kN L/2 = 2 m L/2 = 2 m L = 4 m
Section Transversale Rectangulaire
A.N. b=80mm h=150mm y_int

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui \(R_A\) et \(R_B\).
  2. Déterminer le moment fléchissant maximal (\(M_{max}\)) dans la poutre et sa localisation.
  3. Calculer le moment d'inertie (\(I\)) de la section rectangulaire par rapport à son axe neutre.
  4. Calculer la contrainte normale maximale (\(\sigma_{max}\)) dans les fibres extrêmes (supérieure et inférieure) de la poutre, à la section où le moment fléchissant est maximal. Préciser si ces contraintes sont de traction ou de compression.
  5. Calculer la contrainte normale (\(\sigma_{int}\)) à une distance \(y_{int} = 37.5 \, \text{mm}\) de l'axe neutre (vers la fibre supérieure), à la section où le moment fléchissant est maximal.
  6. Vérifier si la poutre résiste en flexion en comparant la contrainte maximale à la contrainte admissible.

Correction : Contraintes en Fibres Extrêmes et Intermédiaires

Question 1 : Calcul des Réactions d'Appui (\(R_A\) et \(R_B\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge ponctuelle \(P\) appliquée en son milieu, les réactions aux appuis sont égales et valent chacune \(P/2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_A = R_B = \frac{P}{2} \]
Données spécifiques :
  • Charge ponctuelle (\(P\)) : \(20 \, \text{kN}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_A = R_B &= \frac{20 \, \text{kN}}{2} \\ &= 10 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont \(R_A = 10 \, \text{kN}\) et \(R_B = 10 \, \text{kN}\).

Question 2 : Moment Fléchissant Maximal (\(M_{max}\)) et Localisation

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge ponctuelle \(P\) en son milieu (à \(L/2\)), le moment fléchissant maximal se produit sous la charge et vaut \(M_{max} = \frac{PL}{4}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M_{max} = \frac{P \cdot L}{4} \]
Données spécifiques :
  • Charge ponctuelle (\(P\)) : \(20 \, \text{kN}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(4 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{max} &= \frac{(20 \, \text{kN}) \cdot (4 \, \text{m})}{4} \\ &= \frac{80 \, \text{kN.m}}{4} \\ &= 20 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

Ce moment maximal se produit à \(x = L/2 = 4 \, \text{m} / 2 = 2 \, \text{m}\) de l'appui A.

Résultat Question 2 : Le moment fléchissant maximal est \(M_{max} = 20 \, \text{kN.m}\), localisé au milieu de la poutre (sous la charge P).

Question 3 : Moment d'Inertie (\(I\))

Principe :

Le moment d'inertie d'une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\) par rapport à son axe neutre (passant par son centre de gravité et parallèle à la base) est \(I = \frac{bh^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I = \frac{bh^3}{12} \]
Données spécifiques (en mm pour obtenir mm\(^4\)) :
  • Base (\(b\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(150 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I &= \frac{(80 \, \text{mm}) \cdot (150 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{80 \cdot 3375000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{270000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= 22500000 \, \text{mm}^4 \\ &= 2.25 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Conversion en m\(^4\) : \(I = 2.25 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \times (10^{-3} \, \text{m/mm})^4 = 2.25 \times 10^7 \times 10^{-12} \, \text{m}^4 = 2.25 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\).

Résultat Question 3 : Le moment d'inertie est \(I = 2.25 \times 10^7 \, \text{mm}^4\) (ou \(2.25 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)).

Question 4 : Contrainte Normale Maximale (\(\sigma_{max}\))

Principe :

La contrainte normale due à la flexion est donnée par \(\sigma = \frac{My}{I}\). Elle est maximale aux fibres extrêmes, où \(y = y_{max} = h/2\).

Par convention, un moment fléchissant positif (comme dans ce cas, poutre "souriante") induit une compression dans les fibres supérieures (\(y\) positif) et une traction dans les fibres inférieures (\(y\) négatif).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{max} = \frac{M_{max} \cdot y_{max}}{I} = \frac{M_{max} \cdot (h/2)}{I} \]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{max} = 20 \, \text{kN.m} = 20 \times 10^6 \, \text{N.mm}\)
  • \(h = 150 \, \text{mm} \Rightarrow y_{max} = h/2 = 75 \, \text{mm}\)
  • \(I = 2.25 \times 10^7 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{max} &= \frac{(20 \times 10^6 \, \text{N.mm}) \cdot (75 \, \text{mm})}{2.25 \times 10^7 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{1500 \times 10^6}{2.25 \times 10^7} \, \text{N/mm}^2 \\ &= \frac{1500}{22.5} \, \text{MPa} \\ &\approx 66.667 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Aux fibres supérieures (y = +75 mm) : \(\sigma_{sup} = -66.67 \, \text{MPa}\) (Compression).

Aux fibres inférieures (y = -75 mm) : \(\sigma_{inf} = +66.67 \, \text{MPa}\) (Traction).

Résultat Question 4 : La contrainte normale maximale est \(\sigma_{max} \approx 66.67 \, \text{MPa}\). Elle est de compression aux fibres supérieures et de traction aux fibres inférieures.

Question 5 : Contrainte Normale (\(\sigma_{int}\)) à \(y_{int} = 37.5 \, \text{mm}\)

Principe :

On utilise la même formule \(\sigma = \frac{My}{I}\), avec \(y = y_{int}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{int} = \frac{M_{max} \cdot y_{int}}{I} \]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{max} = 20 \times 10^6 \, \text{N.mm}\)
  • \(y_{int} = 37.5 \, \text{mm}\) (vers la fibre supérieure, donc contrainte de compression)
  • \(I = 2.25 \times 10^7 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{int} &= \frac{(20 \times 10^6 \, \text{N.mm}) \cdot (37.5 \, \text{mm})}{2.25 \times 10^7 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{750 \times 10^6}{2.25 \times 10^7} \, \text{N/mm}^2 \\ &= \frac{750}{22.5} \, \text{MPa} \\ &\approx 33.333 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Puisque \(y_{int}\) est vers la fibre supérieure (où la compression est maximale pour un moment positif), \(\sigma_{int} = -33.33 \, \text{MPa}\) (Compression).

Résultat Question 5 : La contrainte normale à \(y_{int} = 37.5 \, \text{mm}\) de l'axe neutre est \(\sigma_{int} \approx -33.33 \, \text{MPa}\) (Compression).

Quiz Intermédiaire 1 : La contrainte normale due à la flexion est nulle :

Question 6 : Vérification de la Résistance en Flexion

Principe :

La poutre résiste en flexion si la contrainte normale maximale (\(|\sigma_{max}|\)) qu'elle subit est inférieure ou égale à la contrainte admissible du matériau (\(\sigma_{adm}\)).

Condition :
\[ |\sigma_{max}| \leq \sigma_{adm} \]
Données spécifiques :
  • \(|\sigma_{max}| \approx 66.67 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_{adm} = 165 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 66.67 \, \text{MPa} \leq 165 \, \text{MPa} \]

La condition est respectée.

Résultat Question 6 : La poutre résiste en flexion car la contrainte normale maximale calculée (\(66.67 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la contrainte admissible (\(165 \, \text{MPa}\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans la formule \(\sigma = \frac{My}{I}\), \(y\) représente :

2. Pour une poutre en flexion simple, la contrainte normale est maximale :

Glossaire

Contrainte Normale (\(\sigma\))
Contrainte agissant perpendiculairement à la surface d'une section. En flexion, elle varie linéairement sur la hauteur de la section.
Moment Fléchissant (\(M\))
Moment interne qui tend à courber un élément structural autour d'un axe situé dans le plan de la section transversale.
Axe Neutre
Ligne dans la section transversale d'une poutre en flexion où la contrainte normale est nulle. Pour les sections symétriques et les matériaux homogènes, il coïncide avec le centre de gravité de la section.
Moment d'Inertie (\(I\))
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion par rapport à un axe donné (généralement l'axe neutre).
Fibres Extrêmes
Points d'une section transversale les plus éloignés de l'axe neutre, où les contraintes normales de flexion sont maximales (en traction ou en compression).
Formule de la Flexion
Équation \(\sigma = \frac{My}{I}\) qui relie la contrainte normale de flexion (\(\sigma\)) au moment fléchissant (\(M\)), à la distance de la fibre à l'axe neutre (\(y\)), et au moment d'inertie de la section (\(I\)).
Contraintes en Fibres Extrêmes et Intermédiaires - Exercice d'Application

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