Calcul du Facteur de Sécurité

Calcul du Facteur de Sécurité d’une Poutre

Comprendre le Calcul du facteur de sécurité d’une poutre

Vous êtes ingénieur en structure et devez vérifier la sécurité d’une poutre en acier utilisée dans une construction. L’objectif est de déterminer le facteur de sécurité de cette poutre soumise à une charge concentrée.

Données de l’exercice :

Matériau et Propriétés :
- Matériau de la poutre : Acier
- Limite d’élasticité de l’acier : \(\sigma_y = 250\,\text{MPa}\)
Charge et Dimensions :
- Charge appliquée au centre de la poutre : \(F = 15\,\text{kN}\)
- Longueur de la poutre : \(L = 4\,\text{m}\)
- Section transversale de la poutre (section rectangulaire) :
  - Largeur : \(b = 150\,\text{mm}\)
  - Hauteur : \(h = 300\,\text{mm}\)
Hypothèses :
- La poutre est simplement appuyée aux deux extrémités.
- La charge \(F\) est appliquée exactement au centre de la poutre.
- La poutre est homogène et isotrope.

Calcul du facteur de sécurité d’une poutre

Questions :

1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{\text{max}}\)) :
Utilisez la théorie des poutres en flexion pour déterminer le moment fléchissant maximal, qui se situe au centre de la poutre.

2. Calcul de la Contrainte Maximale (\(\sigma_{\text{max}}\)) :
En appliquant la formule de flexion, calculez la contrainte maximale dans la poutre.
Rappel : la contrainte maximale se produit généralement à la fibre la plus éloignée de l’axe neutre, et le module de section pour une section rectangulaire est donné par :

\[ S = \frac{b \times h^2}{6} \]

3. Calcul du Facteur de Sécurité (FS) :
Le facteur de sécurité est le rapport entre la contrainte admissible (la limite d’élasticité \(\sigma_y\)) et la contrainte maximale réelle \(\sigma_{\text{max}}\). Calculez ce rapport pour vérifier la sécurité de la poutre.

Correction : Calcul du facteur de sécurité d’une poutre

1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{\text{max}}\))

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge concentrée au centre, le moment fléchissant maximal se situe au centre de la poutre et se calcule par :

\[ M_{\text{max}} = \frac{F \times L}{4} \]

Données :

Charge appliquée : \( F = 15\,\text{kN} = 15\,000\,\text{N} \)
Longueur de la poutre : \( L = 4\,\text{m} \)

Calcul :

\[ M_{\text{max}} = \frac{15\,000\,\text{N} \times 4\,\text{m}}{4} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{60\,000\,\text{N}\cdot\text{m}}{4} \] \[ M_{\text{max}} = 15\,000\,\text{N}\cdot\text{m} \]

2. Calcul de la Contrainte Maximale (\(\sigma_{\text{max}}\))

La contrainte maximale due à la flexion dans une poutre se calcule avec la formule :

\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}}}{S} \]

où \( S \) est le module de section. Pour une section rectangulaire, le module de section est donné par :

\[ S = \frac{b \times h^2}{6} \]

Données :

Largeur de la section : \( b = 150\,\text{mm} \)
Hauteur de la section : \( h = 300\,\text{mm} \)

Calcul du module de section \( S \) :

\[ S = \frac{150\,\text{mm} \times (300\,\text{mm})^2}{6} \] \[ S = \frac{150 \times 90\,000\,\text{mm}^2}{6} \] \[ S = \frac{13\,500\,000\,\text{mm}^3}{6} \] \[ S = 2\,250\,000\,\text{mm}^3 \]

Conversion du moment fléchissant en unités compatibles :

\( M_{\text{max}} = 15\,000\,\text{N}\cdot\text{m} \) se convertit en N·mm :

\[ 15\,000\,\text{N}\cdot\text{m} = 15\,000 \times 1\,000\,\text{N}\cdot\text{mm} \] \[ = 15\,000\,000\,\text{N}\cdot\text{mm} \]

Calcul de la contrainte maximale :

\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{15\,000\,000\,\text{N}\cdot\text{mm}}{2\,250\,000\,\text{mm}^3} \approx 6,67\,\text{N/mm}^2 \]

Sachant que \(1\,\text{N/mm}^2 = 1\,\text{MPa}\), nous avons :

\[ \sigma_{\text{max}} \approx 6,67\,\text{MPa} \]

3. Calcul du Facteur de Sécurité (FS)

Le facteur de sécurité est défini comme le rapport entre la contrainte admissible (ici, la limite d’élasticité) et la contrainte maximale réelle dans la poutre :

\[ FS = \frac{\sigma_{y}}{\sigma_{\text{max}}} \]