Calcul du Rayon de Giration

Comprendre le Calcul du Rayon de Giration

Dans le cadre de la conception d’un pont piétonnier, il est essentiel d’analyser la stabilité des piliers en acier qui soutiendront le tablier. Le calcul du rayon de giration des sections transversales des piliers est crucial pour évaluer leur résistance au flambage sous l’action des charges et des vents.

Pour comprendre le Calcul du Centre de Gravité d’une Poutre, cliquez sur le lien.

Données:

Matériau : Acier (module d’Young \(E = 210\) GPa, limite élastique \(\sigma_y = 250\) MPa).
Forme de la section : Circulaire.
Diamètre de la section circulaire (\(D\)) : 500 mm.
Hauteur du pilier (\(L\)) : 10 mètres.
Charge axiale (\(P\)) : 300 kN.

Question:

Calculer le rayon de giration \( r \) de la section circulaire du pilier. Ensuite, évaluer si le pilier est susceptible de flamber sous la charge donnée en utilisant la formule d’Euler pour le flambage.

Correction : Calcul du Rayon de Giration

1. Calcul du Rayon de Giration de la Section Circulaire

Le rayon de giration \( r \) d’une section est défini par la relation :

\[ r = \sqrt{\frac{I}{A}} \]

où :

\( I \) est le moment d’inertie de la section,
\( A \) est l’aire de la section.

Pour une section circulaire, on dispose des formules :

Aire :

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]

Moment d’inertie :

\[ I = \frac{\pi D^4}{64} \]

Formule et Simplification

En substituant \( I \) et \( A \) dans la formule du rayon de giration, nous obtenons :

\[ r = \sqrt{\frac{\frac{\pi D^4}{64}}{\frac{\pi D^2}{4}}} \]

On simplifie :

\[ r = \sqrt{\frac{D^4}{64} \times \frac{4}{D^2}} = \sqrt{\frac{D^2}{16}} = \frac{D}{4} \]

Données et Calcul Numérique:

Les données fournies sont :

Diamètre : : \( D = 500 \, \text{mm} = 0,5 \, \text{m} \)

Ainsi,

\[ r = \frac{0,5 \, \text{m}}{4} = 0,125 \, \text{m} \]

ou en millimètres :

\[ r = 125 \, \text{mm} \]

2. Évaluation de la Susceptibilité au Flambage

Pour vérifier si le pilier peut flamber sous la charge appliquée, nous utilisons la formule d’Euler pour le flambage.

La formule d’Euler permet de déterminer la charge critique \( P_{cr} \) à partir de laquelle une colonne deviendra instable (flambement). Si la charge appliquée \( P \) est inférieure à \( P_{cr} \), la colonne est stable contre le flambage.

Formule

Pour une colonne avec des extrémités considérées comme articulées (conditions aux limites « pincées »), la charge critique est donnée par :

\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L^2} \]

où :

\( E \) est le module d’Young,
\( I \) est le moment d’inertie de la section,
\( L \) est la hauteur (longueur) du pilier.

Données

Les données du problème sont :

Module d’Young : \( E = 210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2 \)
Hauteur du pilier : \( L = 10 \, \text{m} \)
Diamètre de la section : \( D = 0,5 \, \text{m} \) (déjà utilisé pour \( r \))

Moment d’inertie pour une section circulaire :

\[ I = \frac{\pi D^4}{64} \]

Calculons-le :

\( D^4 = (0,5)^4 = 0,0625 \, \text{m}^4 \)

Donc,

\[ I = \frac{\pi \times 0,0625}{64} \] \[ I \approx \frac{0,19635}{64} \] \[ I \approx 0,00307 \, \text{m}^4 \]

Calcul du \( P_{cr} \)

Substituons dans la formule d’Euler :

\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 \times 210 \times 10^9 \times 0,00307}{(10)^2} \] \[ P_{cr} = \frac{6,36 \times 10^9}{100} = 6,36 \times 10^7 \, \text{N} \]

Soit en méganewtons :

\[ P_{cr} \approx 63,6 \, \text{MN} \]

3. Conclusion sur la Stabilité du Pilier

Charge appliquée : \( P = 300 \, \text{kN} = 0,3 \, \text{MN} \)
Charge critique de flambage : \( P_{cr} \approx 63,6 \, \text{MN} \)

Comparaison :

\[ 0,3 \, \text{MN} \ll 63,6 \, \text{MN} \]

La charge appliquée est très inférieure à la charge critique calculée. Le pilier n’est donc pas susceptible de flamber sous la charge donnée.

Calcul du Rayon de Giration

D’autres exercices de Rdm:

Calcul du Rayon de Giration