Études de cas pratique

EGC

Calcul du Rayon de Giration

Calcul du Rayon de Giration d’une Section

Calcul du Rayon de Giration d’une Section

Comprendre le Rayon de Giration

Le rayon de giration (\(i\)) d'une section plane par rapport à un axe donné est une propriété géométrique qui caractérise la manière dont l'aire de la section est répartie autour de cet axe. Il est défini comme la racine carrée du rapport du moment d'inertie (\(I\)) de la section par rapport à cet axe à l'aire (\(A\)) de la section : \(i = \sqrt{I/A}\). Le rayon de giration est particulièrement important dans l'analyse de la stabilité des éléments comprimés, car il intervient directement dans le calcul de l'élancement, un paramètre clé pour la vérification au flambement.

Données de l'étude

On considère une section rectangulaire simple d'une poutre.

Dimensions de la section (en mm) :

  • Base (\(b\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(120 \, \text{mm}\)

Objectif : Calculer le rayon de giration de cette section par rapport à l'axe horizontal passant par son centre de gravité (\(i_x\)) et par rapport à l'axe vertical passant par son centre de gravité (\(i_y\)).

Schéma : Section Rectangulaire et Axes Centraux
x (G) y (G) G b = 80 mm h = 120 mm

Section rectangulaire avec les axes passant par son centre de gravité G.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) de la section rectangulaire.
  2. Calculer le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe horizontal passant par son centre de gravité (\(I_x\)).
  3. Calculer le rayon de giration par rapport à l'axe x (\(i_x\)).
  4. Calculer le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe vertical passant par son centre de gravité (\(I_y\)).
  5. Calculer le rayon de giration par rapport à l'axe y (\(i_y\)).

Correction : Calcul du Rayon de Giration

Question 1 : Calcul de l'Aire (\(A\)) de la Section

Principe :

L'aire d'une section rectangulaire est le produit de sa base (\(b\)) par sa hauteur (\(h\)). Cette aire est une propriété géométrique de base nécessaire pour de nombreux calculs en RDM, y compris celui du rayon de giration.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = b \cdot h\]
Données spécifiques :
  • Base (\(b\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(120 \, \text{mm}\)
Calcul de l'aire :
\[ \begin{aligned} A &= 80 \, \text{mm} \cdot 120 \, \text{mm} \\ &= 9600 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section rectangulaire est \(A = 9600 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Calcul du Moment d'Inertie (\(I_x\))

Principe :

Le moment d'inertie (ou moment quadratique) d'une section par rapport à un axe mesure sa résistance à la flexion autour de cet axe. Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), le moment d'inertie par rapport à l'axe horizontal (\(x\)) passant par son centre de gravité est donné par la formule \(I_x = \frac{bh^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_x = \frac{b h^3}{12}\]
Données spécifiques :
  • Base (\(b\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(120 \, \text{mm}\)
Calcul du moment d'inertie \(I_x\) :
\[ \begin{aligned} I_x &= \frac{(80 \, \text{mm}) \cdot (120 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{80 \cdot 1728000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{138240000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= 11520000 \, \text{mm}^4 \\ &= 1.152 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le moment d'inertie par rapport à l'axe x est \(I_x = 11.52 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).

Question 3 : Calcul du Rayon de Giration (\(i_x\))

Principe :

Le rayon de giration (\(i_x\)) par rapport à l'axe x est une mesure de la distribution de l'aire de la section par rapport à cet axe. Il est calculé comme la racine carrée du rapport du moment d'inertie \(I_x\) à l'aire \(A\). Un rayon de giration plus élevé indique que l'aire est distribuée plus loin de l'axe, ce qui est généralement bénéfique pour la résistance au flambement autour de cet axe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[i_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}}\]
Données spécifiques :
  • Moment d'inertie (\(I_x\)) : \(11520000 \, \text{mm}^4\)
  • Aire (\(A\)) : \(9600 \, \text{mm}^2\)
Calcul du rayon de giration \(i_x\) :
\[ \begin{aligned} i_x &= \sqrt{\frac{11520000 \, \text{mm}^4}{9600 \, \text{mm}^2}} \\ &= \sqrt{1200} \, \text{mm} \\ &\approx 34.641 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le rayon de giration par rapport à l'axe x est \(i_x \approx 34.64 \, \text{mm}\).

Question 4 : Calcul du Moment d'Inertie (\(I_y\))

Principe :

De manière similaire à \(I_x\), le moment d'inertie par rapport à l'axe vertical (\(y\)) passant par le centre de gravité d'une section rectangulaire est donné par \(I_y = \frac{hb^3}{12}\). Notez l'inversion de \(b\) et \(h\) par rapport à la formule de \(I_x\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_y = \frac{h b^3}{12}\]
Données spécifiques :
  • Base (\(b\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(120 \, \text{mm}\)
Calcul du moment d'inertie \(I_y\) :
\[ \begin{aligned} I_y &= \frac{(120 \, \text{mm}) \cdot (80 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{120 \cdot 512000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{61440000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= 5120000 \, \text{mm}^4 \\ &= 5.12 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le moment d'inertie par rapport à l'axe y est \(I_y = 5.12 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).

Question 5 : Calcul du Rayon de Giration (\(i_y\))

Principe :

Le rayon de giration (\(i_y\)) par rapport à l'axe y est calculé de manière analogue à \(i_x\), en utilisant le moment d'inertie \(I_y\) et l'aire \(A\). Il indique la distribution de l'aire par rapport à l'axe vertical.

Formule(s) utilisée(s) :
\[i_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}}\]
Données spécifiques :
  • Moment d'inertie (\(I_y\)) : \(5120000 \, \text{mm}^4\)
  • Aire (\(A\)) : \(9600 \, \text{mm}^2\)
Calcul du rayon de giration \(i_y\) :
\[ \begin{aligned} i_y &= \sqrt{\frac{5120000 \, \text{mm}^4}{9600 \, \text{mm}^2}} \\ &= \sqrt{533.333...} \, \text{mm} \\ &\approx 23.094 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Note : Pour une section rectangulaire, l'axe de plus faible inertie (et donc de plus faible rayon de giration) est celui autour duquel la dimension correspondante est la plus petite. Ici, \(b < h\), donc \(I_y < I_x\) et \(i_y < i_x\). Le flambement se produira préférentiellement autour de l'axe y.

Résultat Question 5 : Le rayon de giration par rapport à l'axe y est \(i_y \approx 23.09 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la hauteur \(h\) de la section rectangulaire était doublée (passant à \(240 \, \text{mm}\)), comment le rayon de giration \(i_x\) changerait-il ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. Le rayon de giration d'une section est une mesure de :

7. Un rayon de giration plus petit par rapport à un axe indique que la section est :

8. L'unité du rayon de giration est :

Glossaire

Rayon de Giration (\(i\))
Propriété géométrique d'une section plane qui caractérise la distribution de son aire par rapport à un axe. Il est défini par \(i = \sqrt{I/A}\), où \(I\) est le moment d'inertie et \(A\) l'aire de la section.
Moment d'Inertie (ou Moment Quadratique, \(I\))
Propriété géométrique d'une section qui mesure sa résistance à la flexion autour d'un axe donné. Plus le moment d'inertie est élevé, plus la section est résistante à la flexion autour de cet axe.
Aire (\(A\))
Mesure de la surface d'une section plane.
Centre de Gravité (CG) ou Centroïde
Point géométrique d'une section plane qui correspond au point moyen de toutes les aires élémentaires la constituant. Les axes passant par le CG sont appelés axes centraux.
Flambement (ou Flambage)
Phénomène d'instabilité qui affecte les éléments élancés soumis à un effort de compression axial, conduisant à une flexion latérale brutale.
Élancement (\(\lambda\))
Rapport sans dimension qui caractérise la propension d'un élément comprimé au flambement. Il est généralement défini comme le rapport de la longueur de flambement au rayon de giration de la section (\(\lambda = L_k / i\)).
Calcul du Rayon de Giration – Exercice d'Application

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