Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Déflexion Totale

Calcul de la Déflexion Totale d’une Poutre

Comprendre la Déflexion des Poutres

La déflexion, ou flèche, d'une poutre est son déplacement transversal sous l'effet des charges appliquées. Le calcul de la déflexion est crucial en ingénierie structurale pour s'assurer que la structure respecte les critères de service (limitation des déformations pour le confort, l'apparence, et pour éviter d'endommager les éléments non structuraux). Pour les poutres élastiques linéaires, la déflexion peut être déterminée par diverses méthodes, notamment l'intégration de l'équation de la déformée, les théorèmes énergétiques, ou l'utilisation de formules standard pour des cas de charge simples. Le principe de superposition peut être utilisé pour calculer la déflexion totale due à plusieurs charges agissant simultanément.

Données de l'étude

Une poutre en acier IPE 200, de longueur \(L = 5.0 \, \text{m}\), est simplement appuyée à ses deux extrémités. Elle est soumise aux charges suivantes :

  • Une charge concentrée \(P = 15 \, \text{kN}\) appliquée à mi-portée (\(x = L/2\)).
  • Une charge uniformément répartie \(q = 5 \, \text{kN/m}\) sur toute la longueur de la poutre.

Caractéristiques de la poutre et du matériau :

  • Module d'Young de l'acier (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\)
  • Moment quadratique de la section IPE 200 (par rapport à son axe fort de flexion) (\(I_x\)) : \(1943 \, \text{cm}^4\)

Objectif : Calculer la déflexion totale maximale au milieu de la poutre.

Schéma : Poutre Simplement Appuyée avec Charges Combinées
A B P=15kN q=5kN/m RAy RBy L = 5.0 m δmax

Poutre simplement appuyée avec charge concentrée P et charge uniformément répartie q.

Questions à traiter

  1. Convertir le moment quadratique \(I_x\) en \(\text{m}^4\).
  2. Calculer la déflexion maximale due à la charge concentrée \(P\) seule (\(\delta_P\)).
  3. Calculer la déflexion maximale due à la charge uniformément répartie \(q\) seule (\(\delta_q\)).
  4. Calculer la déflexion totale maximale (\(\delta_{\text{total}}\)) au milieu de la poutre en utilisant le principe de superposition.

Correction : Calcul de la Déflexion Totale d’une Poutre

Question 1 : Conversion du Moment Quadratique (\(I_x\))

Principe :

Le moment quadratique est donné en \(\text{cm}^4\) et doit être converti en \(\text{m}^4\) pour être cohérent avec les autres unités (mètres pour la longueur, GPa pour E qui sera converti en Pa ou N/m\(^2\)). On sait que \(1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}\), donc \(1 \, \text{m}^4 = (100 \, \text{cm})^4 = 10^8 \, \text{cm}^4\).

Données spécifiques :
  • Moment quadratique (\(I_x\)) : \(1943 \, \text{cm}^4\)
Calcul de la conversion :
\[ \begin{aligned} I_x &= 1943 \, \text{cm}^4 \cdot \left(\frac{1 \, \text{m}}{100 \, \text{cm}}\right)^4 \\ &= 1943 \, \text{cm}^4 \cdot \frac{1 \, \text{m}^4}{10^8 \, \text{cm}^4} \\ &= 1943 \times 10^{-8} \, \text{m}^4 \\ &= 1.943 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment quadratique est \(I_x = 1.943 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\).

Question 2 : Déflexion Maximale due à la Charge Concentrée \(P\) (\(\delta_P\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée de longueur \(L\) avec une charge concentrée \(P\) appliquée à mi-portée, la déflexion maximale se produit à mi-portée et est donnée par la formule standard \(\delta_P = \frac{PL^3}{48EI}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\delta_P = \frac{P L^3}{48 E I_x}\]
Données spécifiques (unités SI : N, m, Pa) :
  • Charge concentrée (\(P\)) : \(15 \, \text{kN} = 15 \times 10^3 \, \text{N}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
  • Moment quadratique (\(I_x\)) : \(1.943 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)
Calcul de la déflexion due à P :
\[ \begin{aligned} \delta_P &= \frac{(15 \times 10^3 \, \text{N}) \cdot (5.0 \, \text{m})^3}{48 \cdot (210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2) \cdot (1.943 \times 10^{-5} \, \text{m}^4)} \\ &= \frac{15 \times 10^3 \cdot 125}{48 \cdot 210 \cdot 1.943 \cdot 10^4} \, \text{m} \\ &= \frac{1875 \times 10^3}{195832.8 \cdot 10^4} \, \text{m} \\ &= \frac{1875000}{1958328000} \, \text{m} \\ &\approx 0.00095745 \, \text{m} \\ &\approx 0.957 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La déflexion maximale due à la charge P seule est \(\delta_P \approx 0.957 \, \text{mm}\).

Question 3 : Déflexion Maximale due à la Charge Répartie \(q\) (\(\delta_q\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée de longueur \(L\) avec une charge uniformément répartie \(q\) sur toute sa longueur, la déflexion maximale se produit à mi-portée et est donnée par la formule standard \(\delta_q = \frac{5 q L^4}{384 E I}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\delta_q = \frac{5 q L^4}{384 E I_x}\]
Données spécifiques (unités SI : N, m, Pa) :
  • Charge répartie (\(q\)) : \(5 \, \text{kN/m} = 5 \times 10^3 \, \text{N/m}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
  • Moment quadratique (\(I_x\)) : \(1.943 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)
Calcul de la déflexion due à q :
\[ \begin{aligned} \delta_q &= \frac{5 \cdot (5 \times 10^3 \, \text{N/m}) \cdot (5.0 \, \text{m})^4}{384 \cdot (210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2) \cdot (1.943 \times 10^{-5} \, \text{m}^4)} \\ &= \frac{5 \cdot 5 \times 10^3 \cdot 625}{384 \cdot 210 \cdot 1.943 \cdot 10^4} \, \text{m} \\ &= \frac{15625 \times 10^3}{1566662.4 \cdot 10^4} \, \text{m} \\ &= \frac{15625000}{15666624000} \, \text{m} \\ &\approx 0.00099734 \, \text{m} \\ &\approx 0.997 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La déflexion maximale due à la charge q seule est \(\delta_q \approx 0.997 \, \text{mm}\).

Question 4 : Déflexion Totale Maximale (\(\delta_{\text{total}}\))

Principe :

Le principe de superposition stipule que pour un système élastique linéaire, la déflexion totale en un point due à plusieurs charges agissant simultanément est la somme algébrique des déflexions causées par chaque charge agissant individuellement. Puisque les deux charges (P à mi-portée et q sur toute la portée) provoquent leur déflexion maximale à mi-portée, la déflexion totale maximale sera la somme de \(\delta_P\) et \(\delta_q\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\delta_{\text{total}} = \delta_P + \delta_q\]
Données spécifiques :
  • \(\delta_P \approx 0.95745 \, \text{mm}\)
  • \(\delta_q \approx 0.99734 \, \text{mm}\)
Calcul de la déflexion totale :
\[ \begin{aligned} \delta_{\text{total}} &= 0.95745 \, \text{mm} + 0.99734 \, \text{mm} \\ &\approx 1.95479 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La déflexion totale maximale au milieu de la poutre est \(\delta_{\text{total}} \approx 1.95 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le module d'Young \(E\) de l'acier était plus élevé, la déflexion totale maximale :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. La déflexion d'une poutre est inversement proportionnelle à :

6. Le principe de superposition pour les déflexions est applicable si :

7. Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, la déflexion maximale se produit :

Glossaire

Déflexion (Flèche, \(\delta\))
Déplacement transversal d'un point sur l'axe d'une poutre par rapport à sa position initiale, dû à l'application de charges.
Rigidité en Flexion (\(EI\))
Produit du module d'Young (\(E\)) du matériau et du moment quadratique (\(I\)) de la section. Elle caractérise la résistance de la poutre à la déformation par flexion.
Module d'Young (\(E\))
Propriété du matériau mesurant sa rigidité ou sa résistance à la déformation élastique sous une contrainte axiale ou de flexion.
Moment Quadratique (\(I\))
Aussi appelé moment d'inertie de surface. Caractéristique géométrique d'une section qui mesure sa capacité à résister à la flexion par rapport à un axe donné.
Principe de Superposition
Pour les structures à comportement élastique linéaire, l'effet combiné de plusieurs charges est la somme algébrique des effets de chaque charge appliquée individuellement.
Charge Concentrée (\(P\))
Force appliquée sur une surface très petite, considérée comme agissant en un point.
Charge Uniformément Répartie (\(q\))
Charge d'intensité constante appliquée sur une certaine longueur de la poutre (ex: kN/m).
Poutre Simplement Appuyée
Poutre reposant sur un appui articulé (fixe) à une extrémité et un appui à rouleau (mobile horizontalement) à l'autre, permettant la rotation aux deux appuis.
Calcul de la Déflexion Totale – Exercice d'Application

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