Calcul des réactions d'appui - Exercice corrigé

Calcul des réactions d’appui

Comprendre le calcul des réactions d’appui

Vous êtes un ingénieur chargé de concevoir un pont pour une nouvelle route. Le pont doit être capable de supporter une charge uniformément répartie ainsi que des charges concentrées dues à des véhicules.

Pour comprendre le Calcul l’effort tranchant et le moment, cliquez sur le lien.

Données :

Longueur du pont (L) : 20 mètres
Charge uniformément répartie (q) : 5 kN/m
Charge concentrée (P) : 30 kN, située à 5 mètres de l’appui gauche
Le pont est supporté par deux appuis simples (A et B) situés respectivement à l’extrémité gauche et à l’extrémité droite du pont.

Questions :

1. Représentez schématiquement le pont avec ses charges.

2. Utilisez l’équilibre statique pour établir les équations d’équilibre (somme des forces verticales = 0, somme des moments = 0).

3. Calculez la réaction d’appui en A \((R_A)\) et en B \((R_B)\).

Correction : calcul des réactions d’appui

1. Représentation schématique du pont avec ses charges :

Données du problème :

Longueur du pont, L : 20 m
Charge uniformément répartie, q : 5 kN/m
Charge concentrée, P : 30 kN, appliquée à 5 m de l’appui A
Points d’appui : A (gauche) et B (droite)

2. Équations d’Équilibre Statique

Pour que le pont soit en équilibre, les deux conditions doivent être satisfaites :

a) Équilibre des forces verticales

La somme des forces verticales doit être nulle :

\[ \sum F_y = 0 \quad \Rightarrow \quad R_A + R_B – \left( q \times L \right) – P = 0. \]

Données substituées :

Charge uniformément répartie totale :

\[ q \times L = 5\, \text{kN/m} \times 20\, \text{m} = 100\, \text{kN} \]

Charge concentrée :

\[ P = 30\, \text{kN} \]

L’équation obtenue est :

\[ R_A + R_B = 100\, \text{kN} + 30\, \text{kN} = 130\, \text{kN} \quad \text{(Équation 1)} \]

b) Équilibre des moments

Pour éliminer une inconnue, nous prenons le moment par rapport au point A (c’est-à-dire la somme des moments autour de A doit être nulle). Les distances seront mesurées à partir du point A.

\[ \sum M_A = 0. \]

Les contributions sont :

Moment dû à la réaction en B : \( R_B \) appliquée à 20 m (distance AB).

~Moment positif (sens anti-horaire) : \( R_B \times 20 \).

Moment dû à la charge uniformément répartie :

La force résultante est \( q \times L = 100\, \text{kN} \) et agit au centre du pont, soit à \( \frac{L}{2} = 10\, \text{m} \) de A.

~Moment négatif (sens horaire) : \( 100\, \text{kN} \times 10\, \text{m} = 1000\, \text{kN·m} \).

Moment dû à la charge concentrée \( P \) : Agit à 5 m de A.

~Moment négatif (sens horaire) : \( 30\, \text{kN} \times 5\, \text{m} = 150\, \text{kN·m} \).

L’équation du moment autour de A est donc :

\[ R_B \times 20 – 1000 – 150 = 0. \]

3. Calcul des Réactions

a) Calcul de la réaction en B (\( R_B \))

À partir de l’équation du moment :

\[ R_B \times 20 = 1000 + 150 = 1150\, \text{kN·m}. \]

Donc :

\[ R_B = \frac{1150}{20} = 57.5\, \text{kN}. \]

b) Calcul de la réaction en A (\( R_A \))

En utilisant l’équation de l’équilibre des forces verticales (Équation 1) :

\[ R_A + R_B = 130\, \text{kN}. \]

En substituant \( R_B = 57.5\, \text{kN} \) :

\[ R_A = 130\, \text{kN} – 57.5\, \text{kN} = 72.5\, \text{kN}. \]

Conclusion

Les réactions d’appui du pont sont donc :

Réaction en A (gauche): \(R_A = 72.5\, \text{kN}\)
Réaction en B (droite): \(R_B = 57.5\, \text{kN}\)

Ces résultats assurent l’équilibre statique du pont sous l’action des charges appliquées.

Calcul des réactions d’appui

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