Études de cas pratique

EGC

Déplacement de l’Extrémité Libre

Déplacement de l’Extrémité Libre d’une Barre Composite

Déplacement de l’Extrémité Libre d’une Barre Composite

Comprendre le Déplacement Axial des Barres

Lorsqu'une barre est soumise à des forces axiales (traction ou compression), elle subit un changement de longueur. Ce changement, appelé déplacement axial ou déformation axiale, dépend de la force appliquée, de la longueur initiale de la barre, de l'aire de sa section transversale et du module de Young du matériau. Pour des barres composées de plusieurs segments (matériaux différents, sections différentes, ou charges différentes appliquées le long de la barre), le déplacement total de l'extrémité libre est la somme algébrique des déformations de chaque segment.

Données de l'étude

Une barre composite ABC est encastrée en A. Elle est constituée de deux segments :

  • Segment AB : en acier, longueur \(L_{AB} = 0.8 \, \text{m}\), aire de section \(A_{AB} = 400 \, \text{mm}^2\).
  • Segment BC : en aluminium, longueur \(L_{BC} = 0.6 \, \text{m}\), aire de section \(A_{BC} = 600 \, \text{mm}^2\).

La barre est soumise à deux forces axiales :

  • Une force \(F_1 = 20 \, \text{kN}\) (traction) appliquée au point B (jonction des segments).
  • Une force \(F_2 = 30 \, \text{kN}\) (traction) appliquée à l'extrémité libre C.

Caractéristiques des matériaux :

  • Acier : Module de Young \(E_{acier} = 210 \, \text{GPa}\)
  • Aluminium : Module de Young \(E_{alu} = 70 \, \text{GPa}\)
Schéma : Barre Composite Soumise à des Charges Axiales
A (Encastré) Acier (AB) A B Aluminium (BC) C F1=20kN F2=30kN L_AB = 0.8 m L_BC = 0.6 m

Barre composite encastrée en A et soumise à des charges axiales.

Questions à traiter

  1. Déterminer l'effort normal (interne) \(N_{AB}\) dans le segment AB.
  2. Déterminer l'effort normal (interne) \(N_{BC}\) dans le segment BC.
  3. Calculer la déformation (allongement ou raccourcissement) \(\delta_{AB}\) du segment AB.
  4. Calculer la déformation (allongement ou raccourcissement) \(\delta_{BC}\) du segment BC.
  5. Calculer le déplacement total \(\delta_C\) de l'extrémité libre C.

Correction : Déplacement de l’Extrémité Libre

Question 1 : Effort Normal dans le Segment AB (\(N_{AB}\))

Principe :

L'effort normal dans un segment est déterminé en effectuant une coupe imaginaire dans ce segment et en considérant l'équilibre des forces axiales d'un côté de la coupe. Par convention, un effort de traction est positif.

Calcul :

Pour le segment AB, imaginons une coupe entre A et B. Les forces à droite de cette coupe qui influencent l'effort interne en AB sont \(F_1\) et \(F_2\), toutes deux de traction.

\[ \begin{aligned} N_{AB} &= F_1 + F_2 \\ &= 20 \, \text{kN} + 30 \, \text{kN} \\ &= 50 \, \text{kN} \quad (\text{Traction}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'effort normal dans le segment AB est \(N_{AB} = 50 \, \text{kN}\) (Traction).

Question 2 : Effort Normal dans le Segment BC (\(N_{BC}\))

Principe :

De même, pour le segment BC, on effectue une coupe entre B et C. L'effort normal est déterminé par les forces axiales agissant à droite de la coupe.

Calcul :

Pour le segment BC, la seule force à droite d'une coupe dans BC est \(F_2\).

\[ \begin{aligned} N_{BC} &= F_2 \\ &= 30 \, \text{kN} \quad (\text{Traction}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'effort normal dans le segment BC est \(N_{BC} = 30 \, \text{kN}\) (Traction).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la force F1 était appliquée en sens inverse (compression), comment cela affecterait-il \(N_{AB}\) (F2 restant inchangée) ?

Question 3 : Déformation du Segment AB (\(\delta_{AB}\))

Principe :

La déformation axiale d'un segment (\(\delta\)) sous l'effet d'un effort normal (\(N\)) est donnée par la formule \(\delta = \frac{NL}{AE}\), où \(L\) est la longueur du segment, \(A\) son aire de section, et \(E\) son module de Young.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \delta_{AB} = \frac{N_{AB} \cdot L_{AB}}{A_{AB} \cdot E_{acier}} \]
Données spécifiques (unités cohérentes : N, mm, MPa) :
  • \(N_{AB} = 50 \, \text{kN} = 50000 \, \text{N}\)
  • \(L_{AB} = 0.8 \, \text{m} = 800 \, \text{mm}\)
  • \(A_{AB} = 400 \, \text{mm}^2\)
  • \(E_{acier} = 210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \delta_{AB} &= \frac{50000 \, \text{N} \cdot 800 \, \text{mm}}{400 \, \text{mm}^2 \cdot (210 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2)} \\ &= \frac{40000000}{84000000} \, \text{mm} \\ &= \frac{40}{84} \, \text{mm} \\ &\approx 0.476 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Puisque \(N_{AB}\) est une traction, \(\delta_{AB}\) est un allongement.

Résultat Question 3 : La déformation du segment AB est \(\delta_{AB} \approx 0.476 \, \text{mm}\) (allongement).

Question 4 : Déformation du Segment BC (\(\delta_{BC}\))

Principe :

Similaire au segment AB, la déformation du segment BC est calculée avec ses propres caractéristiques et effort normal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \delta_{BC} = \frac{N_{BC} \cdot L_{BC}}{A_{BC} \cdot E_{alu}} \]
Données spécifiques (unités cohérentes : N, mm, MPa) :
  • \(N_{BC} = 30 \, \text{kN} = 30000 \, \text{N}\)
  • \(L_{BC} = 0.6 \, \text{m} = 600 \, \text{mm}\)
  • \(A_{BC} = 600 \, \text{mm}^2\)
  • \(E_{alu} = 70 \, \text{GPa} = 70 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \delta_{BC} &= \frac{30000 \, \text{N} \cdot 600 \, \text{mm}}{600 \, \text{mm}^2 \cdot (70 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2)} \\ &= \frac{18000000}{42000000} \, \text{mm} \\ &= \frac{18}{42} \, \text{mm} = \frac{3}{7} \, \text{mm} \\ &\approx 0.4286 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Puisque \(N_{BC}\) est une traction, \(\delta_{BC}\) est un allongement.

Résultat Question 4 : La déformation du segment BC est \(\delta_{BC} \approx 0.429 \, \text{mm}\) (allongement).

Question 5 : Déplacement Total de l'Extrémité Libre C (\(\delta_C\))

Principe :

Le déplacement total de l'extrémité libre C est la somme algébrique des déformations de chaque segment de la barre. Puisque l'extrémité A est fixe, le déplacement de C par rapport à A est la somme des allongements (ou raccourcissements) des segments AB et BC.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \delta_C = \delta_{AB} + \delta_{BC} \]
Données spécifiques :
  • \(\delta_{AB} \approx 0.476 \, \text{mm}\)
  • \(\delta_{BC} \approx 0.429 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \delta_C &= 0.476 \, \text{mm} + 0.429 \, \text{mm} \\ &= 0.905 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Le déplacement est un allongement total de l'extrémité C.

Résultat Question 5 : Le déplacement total de l'extrémité libre C est \(\delta_C \approx 0.905 \, \text{mm}\) (allongement).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le module de Young de l'aluminium (\(E_{alu}\)) était plus élevé, la déformation \(\delta_{BC}\) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La déformation axiale \(\delta = \frac{NL}{AE}\) est directement proportionnelle à :

2. Pour une barre encastrée à une extrémité et soumise à des forces axiales, le déplacement de l'extrémité libre est :

3. Un effort normal de traction dans un segment provoque :

Glossaire

Déplacement Axial (\(\delta\))
Changement de longueur d'un élément structural (barre, tirant) le long de son axe principal, sous l'effet de charges axiales ou de variations de température.
Effort Normal (\(N\))
Force interne agissant perpendiculairement à la section transversale d'un élément. Il peut être de traction (tendant à allonger l'élément) ou de compression (tendant à le raccourcir).
Module de Young (\(E\))
Propriété du matériau mesurant sa rigidité en traction ou compression. C'est le rapport de la contrainte à la déformation dans le domaine élastique.
Aire de la Section Transversale (\(A\))
Surface de la coupe d'un élément perpendiculaire à son axe longitudinal.
Barre Composite
Barre constituée de plusieurs segments qui peuvent différer par leur matériau, leur section transversale, ou les charges qui leur sont appliquées.
Principe de Superposition
Pour les structures à comportement linéaire élastique, le déplacement total ou la contrainte totale résultant de plusieurs charges est la somme des déplacements ou des contraintes causés par chaque charge agissant séparément. Ce principe est implicitement utilisé pour sommer les déformations des segments.
Déplacement de l’Extrémité Libre - Exercice d'Application

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