Déplacement de l’Extrémité Libre

Comprendre le déplacement de l’Extrémité Libre

Considérons une poutre encastrée-libre, c’est-à-dire une poutre avec une extrémité encastrée et l’autre extrémité libre. Cette poutre est soumise à une charge uniformément répartie et à une charge ponctuelle à son extrémité libre.

Pour comprendre le Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant, cliquez sur le lien.

Données de la Poutre:

Les caractéristiques de la poutre et les charges appliquées sont les suivantes :

Longueur de la poutre, L = 6 m
Module d’élasticité du matériau de la poutre, E = 210 GPa
Moment d’inertie de la section transversale, I = 8000 \({cm}^4\)
Charge uniformément répartie, q = 5 kN/m
Charge ponctuelle à l’extrémité libre, P = 10 kN

Questions:

1. Calcul des Réactions d’Appui: Déterminer les réactions au niveau de l’encastrement.

2. Diagramme des Moments Fléchissants (DMF): Établir le DMF pour la poutre.

3. Déplacement de l’Extrémité Libre: Calculer le déplacement vertical de l’extrémité libre de la poutre.

Correction : déplacement de l’Extrémité Libre

Données de l’exercice :

Longueur de la poutre : \(L = 6\,\text{m}\)
Module d’élasticité : \(E = 210\,\text{GPa} = 2,1\times10^{11}\,\text{N/m}^2\)
Moment d’inertie : \(I = 8000\,\text{cm}^4 = 8000\times10^{-8}\,\text{m}^4 = 8\times10^{-5}\,\text{m}^4\)
Charge uniformément répartie : \(q = 5\,\text{kN/m} = 5000\,\text{N/m}\)
Charge ponctuelle à l’extrémité libre : \(P = 10\,\text{kN} = 10000\,\text{N}\)

1. Calcul des Réactions d’Appui

Pour une poutre encastrée-libre, l’équilibre statique impose que la somme des forces verticales soit nulle et que la somme des moments (prise autour du point d’encastrement) soit nulle. On en déduit la réaction verticale \( R_y \) et le moment d’encastrement \( M_0 \).

Formules

Équilibre vertical :

\[ R_y = qL + P \]

Équilibre des moments (par rapport à l’encastrement) :

\[ M_0 = \frac{qL^2}{2} + PL \]

Données

\(L = 6\,\text{m}\),
\(q = 5\,\text{kN/m}\),
\(P = 10\,\text{kN}\)

Calcul

Réaction verticale :

\[ R_y = 5 \times 6 + 10 \] \[ R_y = 30 + 10 \] \[ R_y = 40\,\text{kN} \]

Moment d’encastrement :

\[ M_0 = \frac{5 \times 6^2}{2} + 10 \times 6 \] \[ M_0 = \frac{5 \times 36}{2} + 60 \] \[ M_0 = \frac{180}{2} + 60 \] \[ M_0 = 90 + 60 \] \[ M_0 = 150\,\text{kN·m} \]

2. Diagramme des Moments Fléchissants (DMF)

Le moment fléchissant \( M(x) \) en un point situé à une distance \( x \) de l’encastrement est obtenu en considérant le moment initial \( M_0 \) puis en soustrayant le moment dû à la réaction verticale appliquée à \( x \) et en ajoutant la contribution de la charge uniformément répartie (dont l’effet variable s’exprime par \( \frac{q x^2}{2} \)).

Formule

\[ M(x) = M_0 – R_y \cdot x + \frac{q x^2}{2} \]

Données

\(M_0 = 150\,\text{kN·m}\),
\(R_y = 40\,\text{kN}\),
\(q = 5\,\text{kN/m}\),
\(x \text{ variable (en m)}\)

Expression finale

\[ M(x) = 150 – 40x + \frac{5x^2}{2} \quad \text{(en kN·m)} \]

À \( x = 3\,\text{m} \),

\[ M(3) = 150 – 40 \times 3 + \frac{5 \times 3^2}{2} \] \[ M(3) = 150 – 120 + \frac{45}{2} \] \[ M(3) = 150 – 120 + 22,5 \] \[ M(3) = 52,5\,\text{kN·m} \]

3. Calcul du Déplacement de l’Extrémité Libre

Le déplacement vertical total \( \delta \) en l’extrémité libre est obtenu par la superposition des déformations induites par la charge uniformément répartie et par la charge ponctuelle.

Pour la charge uniformément répartie, la formule de la déflexion maximale (en l’extrémité libre) est :

\[ \delta_q = \frac{qL^4}{8EI} \]

Pour la charge ponctuelle appliquée à l’extrémité libre, la déflexion est :

\[ \delta_P = \frac{PL^3}{3EI} \]

La déflexion totale est la somme :

\[ \delta_{\text{total}} = \delta_q + \delta_P \]

Données

\(q = 5000\,\text{N/m}\),
\(P = 10000\,\text{N}\),
\(L = 6\,\text{m}\),
\(E = 2,1 \times 10^{11}\,\text{N/m}^2\),
\(I = 8 \times 10^{-5}\,\text{m}^4\)

a. Calcul de \( \delta_q \)

\[ L^4 = 6^4 = 1296\,\text{m}^4 \]

Numérateur :

\[ qL^4 = 5000 \times 1296 \] \[ = 6\,480\,000\,\text{N·m}^4 \]

Calcul de EI :

\[ EI = 2,1 \times 10^{11} \times 8 \times 10^{-5} \] \[ = 16\,800\,000\,\text{N·m}^2 \quad (1,68 \times 10^7\,\text{N·m}^2) \]

Dénominateur :

\[ 8EI = 8 \times 16\,800\,000 \] \[ = 134\,400\,000\,\text{N·m}^2 \]

Donc :

\[ \delta_q = \frac{6\,480\,000}{134\,400\,000} \approx 0,04821\,\text{m} \]

b. Calcul de \( \delta_P \)

\[ L^3 = 6^3 = 216\,\text{m}^3 \]

Numérateur :

\[ PL^3 = 10000 \times 216 \] \[ = 2\,160\,000\,\text{N·m}^3 \]

Dénominateur :

\[ 3EI = 3 \times 16\,800\,000 \] \[ = 50\,400\,000\,\text{N·m}^2 \]

Donc :

\[ \delta_P = \frac{2\,160\,000}{50\,400\,000} \approx 0,04286\,\text{m} \]

c. Déplacement total

\[ \delta_{\text{total}} = \delta_q + \delta_P \] \[ \delta_{\text{total}} = 0,04821 + 0,04286 \] \[ \delta_{\text{total}} \approx 0,09107\,\text{m} \]

Conclusion : Le déplacement vertical de l’extrémité libre est d’environ 0,0911 m (soit environ 9,11 cm).

Déplacement de l’Extrémité Libre

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