Calcul de l’axe neutre en rdm
Comprendre le Calcul de l’axe neutre en rdm
Vous êtes un ingénieur en structure chargé de concevoir un pont en poutre. Pour garantir la sécurité et l’efficacité de la structure, il est crucial de déterminer la position de l’axe neutre de la poutre sous charge.
En savoir plus sur le Calcul de la position de l’axe neutre
Données de l’exercice :
- Type de poutre : Poutre rectangulaire.
- Dimensions de la poutre : Largeur = 300 mm, Hauteur = 600 mm.
- Matériau : Acier avec un module d’élasticité (E) de 210 GPa.
- Charge appliquée : Charge uniformément répartie de 50 kN/m sur toute la longueur de la poutre.
- Longueur de la poutre : 10 mètres.
- Contraintes permises : La contrainte de traction maximale permise est de 250 MPa, et la contrainte de compression maximale permise est également de 250 MPa.
Question :
Calculer la position de l’axe neutre de la poutre lorsque la charge maximale est appliquée. Assurez-vous que les contraintes ne dépassent pas les limites permises.
Correction : Calcul de l’axe neutre en rdm
1. Calcul du moment fléchissant maximal
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se situe au centre de la poutre et est donné par :
\[ M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]
Données numériques :
- \(q = 50\,\text{kN/m} = 50\,000\,\text{N/m}\)
- \(L = 10\,\text{m}.\)
Calcul :
\[ M_{\text{max}} = \frac{50\,000 \times 10^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{50\,000 \times 100}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{5\,000\,000}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 625\,000\ \text{N·m} \]
2. Propriétés géométriques de la section
a) Moment d’inertie \(I\)
Pour une section rectangulaire, le moment d’inertie par rapport à l’axe neutre (horizontal) est :
\[ I = \frac{b\, h^3}{12} \]
Calcul :
\[ I = \frac{0,3 \times (0,6)^3}{12} \] \[ I = \frac{0,3 \times 0,216}{12} \] \[ I = \frac{0,0648}{12} \] \[ I \approx 0,0054\ \text{m}^4 \]
b) Module de section \(S\)
Le module de section, qui permet de relier le moment fléchissant aux contraintes aux fibres extrêmes, est :
\[ S = \frac{I}{y_{\text{max}}} \]
Pour une section rectangulaire symétrique, la distance maximale du centroïde à la fibre extrême est :
\[ y_{\text{max}} = \frac{h}{2} = \frac{0,6}{2} = 0,3\ \text{m} \]
Calcul :
\[ S = \frac{0,0054}{0,3} \approx 0,018\ \text{m}^3 \]
3. Calcul des contraintes aux fibres extrêmes
La contrainte due à la flexion dans une poutre est donnée par :
\[ \sigma = \frac{M\, y}{I} \]
Aux fibres extrêmes, \( y = y_{\text{max}} \). On peut aussi utiliser :
\[ \sigma_{\text{extrême}} = \frac{M}{S} \]
Calcul avec \( M_{\text{max}} = 625\,000\) N·m et \( S \approx 0,018\) m\(^3\) :
\[ \sigma_{\text{extrême}} = \frac{625\,000}{0,018} \] \[ \sigma_{\text{extrême}} \approx 34\,722\,222\ \text{Pa} \] \[ \sigma_{\text{extrême}} \approx 34,7\ \text{MPa} \]
Remarque :
Les valeurs obtenues (en traction et compression) sont symétriques pour une section homogène et symétrique, et elles sont bien inférieures à la contrainte limite de 250 MPa.
4. Position de l’axe neutre
Dans une poutre soumise à la flexion pure, le comportement est élastique et la distribution des contraintes est linéaire par rapport à l’axe neutre. Pour une section symétrique (ici, un rectangle), l’axe neutre passe par le centroïde de la section.
Détermination:
Le centroïde d’un rectangle se situe à mi-hauteur, c’est-à-dire :
\[ y = \frac{h}{2} = \frac{600\ \text{mm}}{2} = 300\ \text{mm} \]
Ainsi, l’axe neutre se trouve à 300 mm du bord supérieur (et également à 300 mm du bord inférieur).
Conclusion
- Moment fléchissant maximal : \(625\,000\) N·m.
- Module de section : \(S \approx 0,018\) m\(^3\).
- Contrainte aux fibres extrêmes : \(\approx 34,7\) MPa (bien en deçà de 250 MPa).
- Position de l’axe neutre : À 300 mm du bord supérieur (centre de la hauteur de la poutre).
Réponse finale :
La position de l’axe neutre de la poutre, sous la charge maximale appliquée, se trouve au niveau du centroïde de la section, c’est-à-dire à 300 mm de la fibre supérieure (et inférieure). La conception respecte ainsi les contraintes permises.
Calcul de l’axe neutre en rdm
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