Calcul de la contrainte tangentielle

Comprendre le calcul de la contrainte tangentielle

Une poutre en acier, encastrée à une extrémité, est soumise à un chargement uniformément réparti le long de sa longueur.

Longueur de la poutre (L) : 6 mètres.
Largeur de la poutre (b) : 0,15 mètres.
Hauteur de la poutre (h) : 0,30 mètres.
Module d’élasticité de l’acier (E) : 210 GPa.
Charge répartie (w) : 5 kN/m.

La poutre a une section transversale rectangulaire.

Questions :

1. Calcul de la réaction au support : Déterminez les réactions aux appuis de la poutre.

2. Moment Fléchissant (M) : Calculez le moment fléchissant maximal dans la poutre.

3. Contrainte Tangentielle (τ) : Utilisez la formule de la contrainte de cisaillement pour calculer la contrainte tangentielle maximale dans la poutre.

Correction : calcul de la contrainte tangentielle

1. Calcul de la réaction au support

Pour une poutre encastrée soumise à une charge uniformément répartie, la réaction verticale à l’appui encastré est égale à la somme de toutes les charges appliquées.

Formule :

\[ R = w \times L \]

Données :

Charge répartie : \( w = 5 \, \text{kN/m} \)
Longueur de la poutre : \( L = 6 \, \text{m} \)

Calcul :

\[ R = 5 \, \text{kN/m} \times 6 \, \text{m} \] \[ R = 30 \, \text{kN} \]

2. Calcul du moment fléchissant maximal

Pour une poutre encastrée avec charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se situe à l’appui et se calcule à partir de la distribution de la charge.

Formule :

\[ M_{\text{max}} = \frac{w \times L^2}{2} \]

Données :

\( w = 5 \, \text{kN/m} \)
\( L = 6 \, \text{m} \)

Calcul :

\[ M_{\text{max}} = \frac{5 \, \text{kN/m} \times (6 \, \text{m})^2}{2} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{5 \times 36}{2} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{180}{2} \] \[ M_{\text{max}} = 90 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]

3. Calcul de la contrainte tangentielle (cisaillement) maximale

La contrainte de cisaillement dans une poutre se calcule à partir de la force de cisaillement (\(V\)) et des caractéristiques géométriques de la section transversale. Pour une section rectangulaire, une formule pratique permet de déterminer la contrainte tangentielle maximale au niveau du centre de la hauteur de la section.

Il existe deux approches équivalentes :

Méthode A : Utilisation de la formule générale

La contrainte tangentielle est donnée par :

\[ \tau = \frac{V \times Q}{I \times b} \]

\( V \) : force de cisaillement au point considéré
\( Q \) : moment du premier moment d’aire (calculé pour la partie de la section située au-dessus ou en dessous de l’axe neutre)
\( I \) : moment d’inertie de la section
\( b \) : largeur de la section au niveau où la contrainte est calculée.

Pour une section rectangulaire, au niveau de l’axe neutre, on peut exprimer \( Q \) par :

\[ Q = \frac{b \times h^2}{8} \]

Le moment d’inertie pour une section rectangulaire est :

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]

Données :

\( V = R = 30 \, \text{kN} = 30\,000 \, \text{N} \)
\( b = 0,15 \, \text{m} \)
\( h = 0,30 \, \text{m} \)

Calcul de \( I \) :

\[ I = \frac{0,15 \times (0,30)^3}{12} \] \[ I = \frac{0,15 \times 0,027}{12} \] \[ I = \frac{0,00405}{12} \] \[ I = 0,0003375 \, \text{m}^4 \]

Calcul de \( Q \) :

\[ Q = \frac{0,15 \times (0,30)^2}{8} \] \[ Q = \frac{0,15 \times 0,09}{8} \] \[ Q = \frac{0,0135}{8} \] \[ Q = 0,0016875 \, \text{m}^3 \]

Calcul de \( \tau \) :

\[ \tau = \frac{30\,000 \, \text{N} \times 0.0016875 \, \text{m}^3}{0.0003375 \, \text{m}^4 \times 0.15 \, \text{m}} \] \[ \tau = \frac{50,625}{0.000050625} \] \[ \tau = 1\,000\,000 \, \text{N/m}^2 \quad \text{soit} \quad 1 \, \text{MPa} \]

Méthode B : Formule simplifiée pour une section rectangulaire

Il est connu que pour une section rectangulaire, la contrainte de cisaillement maximale est donnée par :

\[ \tau_{\text{max}} = \frac{3}{2} \times \frac{V}{A} \]

où \( A = b \times h \) est l’aire de la section.

Calcul de l’aire \( A \) :

\[ A = 0,15 \, \text{m} \times 0,30 \, \text{m} \] \[ A = 0,045 \, \text{m}^2 \]

Calcul de \( \tau_{\text{max}} \) :

\[ \tau_{\text{max}} = \frac{3}{2} \times \frac{30\,000 \, \text{N}}{0,045 \, \text{m}^2} \] \[ \tau_{\text{max}} = \frac{3}{2} \times \frac{30\,000}{0,045} \] \[ \tau_{\text{max}} = \frac{3}{2} \times 666\,666,67 \] \[ \tau_{\text{max}} \approx 1\,000\,000 \, \text{N/m}^2 \quad \text{soit} \quad 1 \, \text{MPa} \]