Études de cas pratique

EGC

Calcul de la position de l’axe neutre

Calcul de la position de l’axe neutre

Comprendre le Calcul de la position de l’axe neutre

Vous êtes ingénieur dans une entreprise de construction et vous travaillez sur la conception d’un pont piétonnier. La structure principale du pont est composée de poutres en acier disposées à intervalles réguliers. Pour assurer la sécurité et la durabilité du pont, il est crucial de comprendre comment ces poutres se comportent sous charge, notamment en ce qui concerne la position de l’axe neutre lorsqu’elles sont soumises à de la flexion.

Comprendre le Comportement d’un Matériau sous Charge, cliquez sur le lien.

Données:

  • Matériau de la poutre : acier avec un module d’élasticité \(E = 210 \times 10^9 \, \text{Pa}\).
  • Section transversale de la poutre : rectangle de hauteur \(h = 300 \, \text{mm}\) et de largeur \(b = 150 \, \text{mm}\).
  • Longueur de la poutre : \(L = 5 \, \text{m}\).
  • La poutre est simplement appuyée aux deux extrémités et soumise à une charge uniformément répartie \(q = 5 \, \text{kN/m}\).
Calcul de la position de l'axe neutre

Questions:

1. Calculer le moment fléchissant maximal \(M\) dans la poutre.

2. En utilisant la théorie de la flexion simple, déterminer la contrainte maximale dans la poutre.

3. Calculer la position de l’axe neutre par rapport au bord inférieur de la section transversale.

Correction : Calcul de la position de l’axe neutre

1. Calcul du moment fléchissant maximal \( M_{\text{max}} \)

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se trouve en milieu de portée et est donné par la formule :

\[ M_{\text{max}} = \frac{q L^2}{8}.
\]

Données :
  • \(q = 5 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 5 \, \text{m}\)
Calcul :

Calcul de \( L^2 \) :

\[ L^2 = 5^2 = 25 \, \text{m}^2. \]

Substitution dans la formule :

\[ M_{\text{max}} = \frac{5 \times 25}{8} = \frac{125}{8} \, \text{kN·m}. \] \[
M_{\text{max}} \approx 15,625 \, \text{kN·m}. \]

Remarque : Pour les calculs ultérieurs, il est pratique de convertir en unités SI (N·m) :

\[ 15,625 \, \text{kN·m} = 15\,625 \, \text{N·m}. \]

2. Détermination de la contrainte maximale dans la poutre

Théorie et Formule

En flexion simple, la contrainte normale maximale est calculée par la formule :

\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M y}{I} \]

où :

  • \( M \) est le moment fléchissant (ici \( M_{\text{max}} \)),
  • \( y \) est la distance entre l’axe neutre et la fibre extrême,
  • \( I \) est le moment d’inertie de la section.

Pour une section rectangulaire :

  • Le moment d’inertie :

\[ I = \frac{b h^3}{12}. \]

  • La distance \( y \) (depuis l’axe neutre jusqu’à la fibre la plus éloignée) est :

\[ y = \frac{h}{2}. \]

Données :
  • \(b = 0,15 \, \text{m}\)
  • \(h = 0,3 \, \text{m}\)
  • \(M_{\text{max}} = 15\,625 \, \text{N·m}\)
  • \(y = \frac{0,3}{2} = 0,15 \, \text{m}.\)
Calcul du moment d’inertie \( I \) :

Calcul de \( h^3 \) :

\[ h^3 = (0,3)^3 = 0,027 \, \text{m}^3. \]

Substitution dans la formule de \( I \) :

\[ I = \frac{0,15 \times 0,027}{12} = \frac{0,00405}{12} \, \text{m}^4. \]

Résultat :

\[ I \approx 0,0003375 \, \text{m}^4. \]

Calcul de la contrainte maximale \( \sigma_{\text{max}} \) :

Substitution des valeurs dans la formule :

\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{15\,625 \times 0,15}{0,0003375}. \]

Calcul du numérateur :

\[ 15\,625 \times 0,15 = 2\,343,75 \, \text{N·m}. \]

Division :

\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{2\,343,75}{0,0003375} \approx 6\,944\,444,44 \, \text{Pa}. \]

Conversion en mégapascals (MPa) :

\[ \sigma_{\text{max}} \approx 6,94 \, \text{MPa}. \]

3. Calcul de la position de l’axe neutre par rapport au bord inférieur

Pour une section symétrique (comme un rectangle), l’axe neutre coïncide avec le centre de gravité de la section. Ainsi, la distance depuis le bord inférieur jusqu’à l’axe neutre est égale à :

\[ \frac{h}{2}. \]

Données :
  • \(h = 0,3 \, \text{m}.\)
Calcul :

\[ \frac{0,3}{2} = 0,15 \, \text{m}. \]

Conversion en millimètres (si nécessaire) :

\[ 0,15 \, \text{m} = 150 \, \text{mm}. \]

Calcul de la position de l’axe neutre

D’autres exercices de Rdm:

Articles Connexes

0 commentaires

Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *