Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
Comprendre la Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
Cet exercice a pour but de vous faire comprendre et calculer les contraintes de flexion et tangentielle dans une poutre en bois lamellé-collé de section rectangulaire, soumise à une charge.
Description de la Poutre:
La poutre, désignée par AD, repose sur la tranche avec une section rectangulaire. La hauteur \( h \) de la section est cinq fois supérieure à sa largeur \( b \).
Données Géométriques et Matérielles:
- Hauteur \( h \) de la section : \( h = 5b \)
- Module de Young du bois utilisé : 11500 MPa
Données de Charge et Structure:
- Force appliquée en point B (P) : 620 daN (6200 N après conversion)
- Distance entre les appuis (\( \ell \)) : 2223 mm (2.223 m après conversion)
Questions:
1. Déterminer la hauteur minimale \( h \) nécessaire pour que la contrainte normale de flexion ne dépasse pas 13 MPa au niveau de la fibre tendue.
2. Calculer la contrainte tangentielle maximale \( \tau_{\text{max}} \) que la poutre peut subir, en utilisant la hauteur \( h \) obtenue précédemment.
Correction : Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
1. Détermination de la hauteur minimale \( h \)
a) Calcul du moment fléchissant maximal \( M_{\text{max}} \)
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge ponctuelle au milieu, le moment fléchissant maximal se calcule par :
\[ M_{\text{max}} = \frac{P \times \ell}{4}. \]
Substitution des valeurs :
- \(P = 6200 \, \text{N}\),
- \(\ell = 2223 \, \text{mm}.\)
Ainsi,
\[ M_{\text{max}} = \frac{6200 \times 2223}{4} \, \text{N·mm}. \] \[ M_{\text{max}} = \frac{13\,782\,600}{4} \] \[ M_{\text{max}} = 3\,445\,650 \, \text{N·mm}. \]
b) Expression de la contrainte normale de flexion \( \sigma \)
Pour une section rectangulaire, la contrainte de flexion s’exprime par :
\[ \sigma = \frac{M \cdot y}{I}, \]
où :
- \( y \) est la distance de la fibre extrême (ici \( y = \frac{h}{2} \)),
- \( I \) est le moment d’inertie de la section, pour un rectangle :
\[ I = \frac{b \, h^3}{12}. \]
En substituant \( y = \frac{h}{2} \) et \( I \) dans la formule :
\[ \sigma = \frac{M \cdot \frac{h}{2}}{\frac{b\, h^3}{12}} = \frac{M \, h \times 12}{2 \, b \, h^3} = \frac{6\,M}{b\,h^2}. \]
Le critère de résistance impose :
\[ \sigma \leq 13 \, \text{MPa} \quad \text{soit} \quad \frac{6\,M_{\text{max}}}{b\,h^2} \leq 13. \]
c) Lien entre \( h \) et \( b \)
On nous donne :
\[ h = 5b \quad \Rightarrow \quad b = \frac{h}{5}. \]
Substitution dans la contrainte :
\[ \frac{6\,M_{\text{max}}}{\left(\frac{h}{5}\right) h^2} = \frac{6\,M_{\text{max}} \times 5}{h^3} = \frac{30\,M_{\text{max}}}{h^3}. \]
Le critère devient :
\[ \frac{30\,M_{\text{max}}}{h^3} \leq 13. \]
Nous isolons \( h^3 \) :
\[ h^3 \geq \frac{30\,M_{\text{max}}}{13}. \]
Substitution numérique :
\[ M_{\text{max}} = 3\,445\,650 \, \text{N·mm}, \]
\[ h^3 \geq \frac{30 \times 3\,445\,650}{13}. \] \[ h^3 \geq \frac{103\,369\,500}{13} \] \[ h^3 \approx 7\,950\,000 \, \text{mm}^3. \]
On en déduit :
\[ h \geq \sqrt[3]{7\,950\,000} \, \text{mm}. \]
Le cube de \( 200 \, \text{mm} \) est \( 200^3 = 8\,000\,000 \, \text{mm}^3 \).
Ainsi, la hauteur minimale est d’environ 200 mm.
2. Calcul de la contrainte tangentielle maximale \( \tau_{\text{max}} \)
a) Contrainte tangentielle dans une section rectangulaire
Pour une poutre rectangulaire, la contrainte tangentielle maximale due au cisaillement se calcule par :
\[ \tau_{\text{max}} = \frac{3}{2} \frac{V}{A}, \]
où :
- \( V \) est la force de cisaillement maximale au support,
- \( A \) est l’aire de la section, \( A = b \times h \).
b) Détermination de la force de cisaillement \( V \)
Pour une poutre simplement appuyée avec une charge ponctuelle au milieu, la réaction (force de cisaillement au support) est :
\[ V = \frac{P}{2}. \]
Substitution :
\[ V = \frac{6200}{2} = 3100 \, \text{N}. \]
c) Calcul de l’aire de la section \( A \)
\[ A = b \, h. \]
Avec \( h = 200 \, \text{mm} \) et \( b = \frac{h}{5} \),
\[ b = \frac{200}{5} = 40 \, \text{mm}, \]
d’où,
\[ A = 40 \times 200 = 8000 \, \text{mm}^2. \]
d) Calcul de \( \tau_{\text{max}} \)
Substitution dans la formule :
\[ \tau_{\text{max}} = \frac{3}{2} \frac{3100}{8000}. \] \[ \tau_{\text{max}} = \frac{4650}{8000} \] \[ \tau_{\text{max}} \approx 0.58125 \, \text{N/mm}^2. \]
On arrondit :
\[ \tau_{\text{max}} \approx 0.58 \, \text{MPa}. \]
Conclusion
1. Hauteur minimale \( h \) : Pour que la contrainte normale de flexion ne dépasse pas \( 13 \, \text{MPa} \), il faut que
\[ h \geq 200 \, \text{mm}. \]
2. Contrainte tangentielle maximale \( \tau_{\text{max}} \) : Avec \( h = 200 \, \text{mm} \) et \( b = 40 \, \text{mm} \), la contrainte tangentielle maximale est d’environ
\[ \tau_{\text{max}} \approx 0.58 \, \text{MPa}. \]
Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
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