Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
Comprendre la Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
Cet exercice a pour but de vous faire comprendre et calculer les contraintes de flexion et tangentielle dans une poutre en bois lamellé-collé de section rectangulaire, soumise à une charge.
Description de la Poutre:
La poutre, désignée par AD, repose sur la tranche avec une section rectangulaire. La hauteur \( h \) de la section est cinq fois supérieure à sa largeur \( b \).
Données Géométriques et Matérielles:
- Hauteur \( h \) de la section : \( h = 5b \)
- Module de Young du bois utilisé : 11500 MPa
Données de Charge et Structure:
- Force appliquée en point B (P) : 620 daN (6200 N après conversion)
- Distance entre les appuis (\( \ell \)) : 2223 mm (2.223 m après conversion)
Questions:
1. Déterminer la hauteur minimale \( h \) nécessaire pour que la contrainte normale de flexion ne dépasse pas 13 MPa au niveau de la fibre tendue.
2. Calculer la contrainte tangentielle maximale \( \tau_{\text{max}} \) que la poutre peut subir, en utilisant la hauteur \( h \) obtenue précédemment.
Correction : Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
1. Détermination de la hauteur minimale \( h \)
La contrainte de flexion \( \sigma \) dans une poutre est la tension ou compression résultant de la flexion de la poutre sous une charge. Elle est calculée en un point donné par le moment fléchissant \( M \) à ce point, divisé par le produit du moment d’inertie \( I \) et de la distance maximale \( y \) de cet axe à la fibre la plus éloignée.
Formule :
\[ \sigma = \frac{M \cdot y}{I} \]
Données :
- \(\sigma = 13 \, \text{MPa}\)
- \(P = 620 \, \text{daN} = 6200 \, \text{N}\)
- \(\ell = 2223 \, \text{mm} = 2.223 \, \text{m}\)
Calcul du moment fléchissant \( M \) :
\[ M = P \cdot \frac{\ell}{2} \] \[ M = 6200 \cdot \frac{2.223}{2} \] \[ M = 6894.3 \, \text{N} \cdot \text{m} \]
Calcul de \( h \) en résolvant pour \( I \) :
Assumant que \( y = \frac{h}{2} \) et \( I = \frac{b \cdot h^3}{12} \), avec \( b = \frac{h}{5} \), l’équation devient :
\[ \sigma = \frac{12 \cdot M \cdot \frac{h}{2}}{h^4 / 5} \] \[ 13 \cdot 10^6 = \frac{12 \cdot 6894.3 \cdot \frac{h}{2}}{h^4 / 5} \] \[ 13 \cdot 10^6 \cdot \frac{h^4}{5} = 12 \cdot 6894.3 \cdot \frac{h}{2} \] \[ h^3 = \frac{12 \cdot 6894.3 \cdot 5}{13 \cdot 10^6} \approx 0.0318 \] \[ h = \sqrt[3]{0.0318} \] \[ h \approx 0.316 \, \text{m} \] \[ h = 316 \, \text{mm} \]
2. Calcul de la contrainte tangentielle maximale \( \tau_{\text{max}} \)
La contrainte tangentielle résulte des forces de cisaillement agissant dans la poutre, et est maximale là où la charge appliquée engendre une réaction importante de cisaillement.
Formule :
\[ \tau_{\text{max}} = 1.5 \cdot \frac{V}{b \cdot h} \]
Données :
- \(V = P = 6200 \, \text{N}\)
- \(b = \frac{h}{5} = \frac{316 \, \text{mm}}{5} = 63.2 \, \text{mm} = 0.0632 \, \text{m}\)
- \(h = 0.316 \, \text{m}\)
Calcul de \( \tau_{\text{max}} \) :
\[ \tau_{\text{max}} = 1.5 \cdot \frac{6200}{0.0632 \cdot 0.316} \] \[ \tau_{\text{max}} \approx 1.5 \cdot 310493.16 \] \[ \tau_{\text{max}} = 465739.74 \, \text{Pa} \] \[ \tau_{\text{max}} = 0.466 \, \text{MPa} \]
Conclusion
En utilisant la hauteur calculée de 316 mm pour la poutre, nous trouvons que la contrainte de flexion est bien contenue dans la limite de 13 MPa, et la contrainte tangentielle maximale est significativement réduite à environ 0.466 MPa, démontrant ainsi une marge de sécurité adéquate pour la conception de la poutre.
Contrainte Tangentielle dans une Poutre Chargée
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