Études de cas pratique

EGC

Calcul l’effort tranchant et le moment

Calcul l’effort tranchant et le moment

Comprendre le Calcul l’effort tranchant et le moment

Vous êtes ingénieur en structure et vous devez analyser une poutre simplement appuyée. Cette poutre supporte plusieurs charges réparties et concentrées.

Données

  • Longueur de la poutre, : 6 m
  • Une charge uniformément répartie de 3 kN/m sur toute la longueur de la poutre.
  • Une charge ponctuelle de 10 kN appliquée à 2 m du support gauche.
  • Une charge ponctuelle de 5 kN appliquée à 4 m du support gauche.
    calcul l’effort tranchant et le moment

    Questions

    1. Réaction aux Appuis : Calculez les réactions aux appuis de la poutre.
    2. Effort Tranchant :
      • Tracez le diagramme de l’effort tranchant pour la poutre.
      • Calculez l’effort tranchant à 1 m, 3 m et 5 m de l’extrémité gauche.
    3. Moment Fléchissant :
      • Tracez le diagramme du moment fléchissant pour la poutre.
      • Calculez le moment fléchissant à 1 m, 3 m et 5 m de l’extrémité gauche.
    4. Point de Moment Maximal : Déterminez la position et la valeur du moment maximal dans la poutre.

    Indications

    • Considérez la poutre comme étant en équilibre statique.
    • Utilisez les principes de la mécanique des milieux continus pour résoudre l’exercice.
    • N’oubliez pas que l’effort tranchant change aux points où il y a des charges appliquées.

    Correction : Calcul l’effort tranchant et moment

    1. Calcul des réactions aux appuis

    Pour une poutre simplement appuyée de longueur \(L\), la somme des réactions d’appui doit équilibrer la somme des charges appliquées. On utilise l’équilibre en translation (somme des forces verticales nulle) et l’équilibre en rotation (somme des moments nulle) autour d’un des appuis pour déterminer les réactions.

    Formules:

    1. Équilibre des forces verticales :

    \[ R_A + R_B = \sum F_{\text{appliquées}} \]

    2. Équilibre des moments (pris autour de l’appui A par exemple) :

    \[ R_B \times L – \sum (F_i \times d_i) = 0 \]

    • \(R_A, R_B\) sont les réactions aux appuis A (gauche) et B (droite),
    • \(F_i\) est la valeur de chaque charge,
    • \(d_i\) est la distance de chaque charge à l’appui A,
    • \(L\) est la longueur de la poutre.
    Données:
    • Longueur de la poutre, \(L = 6\,\text{m}\)
    • Charge uniformément répartie (c.u.r.) : \(w = 3\,\text{kN/m}\) (sur toute la poutre)
    • Charge ponctuelle 1 : \(P_1 = 10\,\text{kN}\) à \(x = 2\,\text{m}\) de l’appui gauche
    • Charge ponctuelle 2 : \(P_2 = 5\,\text{kN}\) à \(x = 4\,\text{m}\) de l’appui gauche
    Calculs:
    a. Somme des charges appliquées:
    • Charge répartie totale :

    \[ W = w \times L \] \[ W = 3\,\text{kN/m} \times 6\,\text{m} = 18\,\text{kN} \]

    • Charges ponctuelles :

    \[ P_1 = 10\,\text{kN}, \quad P_2 = 5\,\text{kN} \]

    • Somme des charges :

    \[ \sum F_{\text{appliquées}} = W + P_1 + P_2 \] \[ \sum F_{\text{appliquées}} = 18 + 10 + 5 = 33\,\text{kN} \]

    • Équilibre vertical :

    \[ R_A + R_B = 33\,\text{kN} \]

    b. Moment autour de l’appui A
    • Moment dû à la charge répartie (de \(18\,\text{kN}\)) considérée appliquée au centre de gravité (à \(3\,\text{m}\) de A) :

    \[ M_W = 18 \times 3 = 54\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

    • Moment dû à la charge ponctuelle \(P_1 = 10\,\text{kN}\) à \(2\,\text{m}\) de A :

    \[ M_{P_1} = 10 \times 2 = 20\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

    • Moment dû à la charge ponctuelle \(P_2 = 5\,\text{kN}\) à \(4\,\text{m}\) de A :

    \[ M_{P_2} = 5 \times 4 = 20\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

    • Équilibre en rotation :

    \[ R_B \times 6 – \bigl(54 + 20 + 20\bigr) = 0 \] \[ \Longrightarrow \quad R_B \times 6 = 94 \] \[ \Longrightarrow \quad R_B = \frac{94}{6} \approx 15{,}67\,\text{kN} \]

    • Détermination de \(R_A\) :

    \[ R_A = 33 – R_B = 33 – 15{,}67 = 17{,}33\,\text{kN} \]

    Résultat :

    \[ R_A \approx 17{,}33\,\text{kN}, \quad R_B \approx 15{,}67\,\text{kN} \]

    2. Effort tranchant \(V(x)\)

    Le diagramme de l’effort tranchant se construit en partant d’une extrémité et en cumulant (ou soustrayant) les effets de la charge répartie (variation linéaire) et des charges ponctuelles (sauts dans le diagramme).

    Formules (approche segmentée):
    • De 0 à 2 m (avant la charge de 10 kN) :

    \[ V(x) = R_A – w \times x \]

    • Juste après chaque charge ponctuelle, l’effort tranchant subit un saut égal à la valeur de la charge (en négatif, puisqu’elle est dirigée vers le bas).
    Données:
    • Réactions trouvées : \(R_A = 17{,}33\,\text{kN}\), \(R_B = 15{,}67\,\text{kN}\).
    • c.u.r. : \(w = 3\,\text{kN/m}\).
    • Charges ponctuelles aux positions \(x=2\,\text{m}\) et \(x=4\,\text{m}\).
    Calcul du diagramme de \(V(x)\):

    1. À l’appui gauche (\(x = 0\)):

    \[ V(0^+) = R_A = 17{,}33\,\text{kN} \]

    2. Juste avant \(x = 2\,\text{m}\) (charge \(P_1\)):

    Sur l’intervalle \([0,2[\), on soustrait la charge répartie :

    \[ V(2^-) = R_A – w \times 2 \] \[ V(2^-) = 17{,}33 – 3 \times 2 \] \[ V(2^-) = 17{,}33 – 6 \] \[ V(2^-) = 11{,}33\,\text{kN} \]

    3. Juste après la charge ponctuelle de 10 kN à \(x = 2\,\text{m}\):

    \[ V(2^+) = V(2^-) – P_1 \] \[ V(2^+) = 11{,}33 – 10 \] \[ V(2^+) = 1{,}33\,\text{kN} \]

    4. Juste avant \(x = 4\,\text{m}\) (charge \(P_2\)):

    De \(x=2\) à \(x=4\), encore la c.u.r. de 3 kN/m sur 2 m :

    \[ V(4^-) = V(2^+) – w \times (4 – 2) \] \[ V(4^-) = 1{,}33 – 3 \times 2 \] \[ V(4^-) = 1{,}33 – 6 \] \[ V(4^-) = -4{,}67\,\text{kN} \]

    5. Juste après la charge ponctuelle de 5 kN à \(x = 4\,\text{m}\):

    \[ V(4^+) = V(4^-) – P_2 \] \[ V(4^+) = -4{,}67 – 5 \] \[ V(4^+) = -9{,}67\,\text{kN} \]

    6. Juste avant l’appui droit (\(x = 6\,\text{m}\)):

    De \(x=4\) à \(x=6\), on a encore la c.u.r. de 3 kN/m sur 2 m :

    \[ V(6^-) = V(4^+) – w \times (6 – 4) \] \[ V(6^-) = -9{,}67 – 3 \times 2 \] \[ V(6^-) = -9{,}67 – 6 \] \[ V(6^-) = -15{,}67\,\text{kN} \]

    7. À l’appui droit (\(x = 6\,\text{m}\)):

    La réaction \(R_B\) rétablit l’équilibre :

    \[ V(6^+) = V(6^-) + R_B \] \[ V(6^+) = -15{,}67 + 15{,}67 \] \[ V(6^+) = 0\,\text{kN} \]

    Tableau récapitulatif de \(V(x)\) :
    • \(V(0) = +17{,}33\) kN
    • \(V(2^-) = +11{,}33\) kN
    • \(V(2^+) = +1{,}33\) kN
    • \(V(4^-) = -4{,}67\) kN
    • \(V(4^+) = -9{,}67\) kN
    • \(V(6^-) = -15{,}67\) kN
    • \(V(6^+) = 0\) kN

    Valeurs de l’effort tranchant à 1 m, 3 m et 5 m

    • À \(x = 1\,\text{m}\):

    \[ V(1) = R_A – w \times 1 \] \[ V(1) = 17{,}33 – 3 \] \[ V(1) = 14{,}33\,\text{kN} \]

    • À \(x = 3\,\text{m}\):

    On a déjà franchi la charge à \(x=2\) (10 kN) :

    \[ V(3) = \bigl(R_A – w \times 3\bigr) – P_1 \] \[ V(3) = (17{,}33 – 3 \times 3) – 10 \] \[ V(3) = (17{,}33 – 9) – 10 \] \[ V(3) = 8{,}33 – 10 \] \[ V(3) = -1{,}67\,\text{kN} \]

    • À \(x = 5\,\text{m}\):

    On a franchi les deux charges ponctuelles : 10 kN (à 2 m) et 5 kN (à 4 m).

    \[ V(5) = R_A – w \times 5 – P_1 – P_2 \] \[ V(5) = 17{,}33 – (3 \times 5) – 10 – 5 \] \[ V(5) = 17{,}33 – 15 – 10 – 5 \] \[ V(5) = 17{,}33 – 30 \] \[ V(5) = -12{,}67\,\text{kN} \]

    3. Moment fléchissant \(M(x)\)

    Le moment fléchissant en un point \(x\) est obtenu par l’intégration de l’effort tranchant ou via les équations d’équilibre local. On peut procéder par tronçons entre les charges appliquées.

    Formules par tronçons:

    1. De \(0\) à \(2\) m} (avant la charge de 10 kN) :

    \[ M(x) = R_A \, x – \frac{w \, x^2}{2} \]

    2. De \(2\) à \(4\) m} (après la charge de 10 kN, avant la charge de 5 kN) :

    \[ M(x) = R_A \, x – \frac{w \, x^2}{2} – P_1 \,(x – 2) \]

    3. De \(4\) à \(6\) m} (après les charges de 10 kN et 5 kN) :

    \[ M(x) = R_A \, x – \frac{w \, x^2}{2} – P_1 \,(x – 2) – P_2 \,(x – 4) \]

    Données:
    • \(R_A = 17{,}33\,\text{kN}\)
    • \(w = 3\,\text{kN/m}\)
    • \(P_1 = 10\,\text{kN}\) (à \(x=2\))
    • \(P_2 = 5\,\text{kN}\) (à \(x=4\))

    Calcul du moment fléchissant aux points demandés

    1. Moment à \(x = 1\,\text{m}\) (dans le tronçon 0–2 m):

    \[ M(1) = R_A \times 1 – \frac{w \times 1^2}{2} \] \[ M(1) = 17{,}33 – \frac{3 \times 1}{2} \] \[ M(1) = 17{,}33 – 1{,}5 \] \[ M(1) = 15{,}83\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

    2. Moment à \(x = 3\,\text{m}\) (dans le tronçon 2–4 m):

    \[ M(3) = \Bigl(R_A \times 3 – \frac{w \times 3^2}{2}\Bigr) – P_1 \,(3 – 2) \]

    Calcul détaillé :

    • \(R_A \times 3 = 17{,}33 \times 3 = 51{,}99\)
    • \(\frac{w \times 3^2}{2} = \frac{3 \times 9}{2} = 13{,}5\)
    • Contribution de la charge ponctuelle \(P_1\) : \(P_1 \,(3-2) = 10 \times 1 = 10\)

    \[ M(3) = 51{,}99 – 13{,}5 – 10 \] \[ M(3) = 51{,}99 – 23{,}5 \] \[ M(3) = 28{,}49\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

    3. Moment à \(x = 5\,\text{m}\) (dans le tronçon 4–6 m)

    \[ M(5) = R_A \, 5 – \frac{w \, 5^2}{2} – P_1 \,(5 – 2) – P_2 \,(5 – 4) \]

    Calcul détaillé :

    • \(R_A \times 5 = 17{,}33 \times 5 = 86{,}65\)
    • \(\frac{w \times 5^2}{2} = \frac{3 \times 25}{2} = 37{,}5\)
    • \(P_1 (5-2) = 10 \times 3 = 30\)
      \
    • \(P_2 (5-4) = 5 \times 1 = 5\)

    \[ M(5) = 86{,}65 – 37{,}5 – 30 – 5 \] \[ M(5) = 86{,}65 – 72{,}5 \] \[ M(5) = 14{,}15\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

    4. Point de moment maximal

    Le moment maximal peut se situer :

    • à un point critique à l’intérieur d’un tronçon (où la dérivée du moment est nulle),
    • ou à l’une des sections où une charge est appliquée,
    • ou aux appuis (souvent nul pour une poutre simplement appuyée).
    Recherche du maximum par dérivée:
    • Tronçon 1 (\(0 \le x < 2\)) :

    \[ M(x) = 17{,}33x – 1{,}5\,x^2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{dM}{dx} = 17{,}33 – 3x \]

    \[ \frac{dM}{dx} = 0 \] \[ x = \frac{17{,}33}{3} \approx 5{,}78\,\text{m} \]

    Or \(5{,}78\,\text{m}\) n’est \textbf{pas} dans l’intervalle \([0,2]\). Pas de maximum local dans \([0,2]\). Il faut donc vérifier \(M(0)\) et \(M(2)\).

    \[ M(0) = 0 \]

    \[ M(2) = 17{,}33 \times 2 – 1{,}5 \times 4 \] \[ M(2) = 34{,}66 – 6 \] \[ M(2) = 28{,}66\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

    • Tronçon 2 (\(2 \le x < 4\)) :

    \[ M(x) = 17{,}33x – 1{,}5\,x^2 – 10(x – 2) \]

    Simplification :

    \[ M(x) = (17{,}33 – 10)x + 20 – 1{,}5\,x^2 \] \[ M(x) = 7{,}33\,x + 20 – 1{,}5\,x^2 \]

    \[ \frac{dM}{dx} = 7{,}33 – 3x \]

    \[ \frac{dM}{dx} = 0 \] \[ x = \frac{7{,}33}{3} \approx 2{,}44\,\text{m} \]

    Ce \(x \approx 2{,}44\) est bien dans l’intervalle \([2,4]\). On calcule \(M(2{,}44)\) :

    \[ M(2{,}44) = 7{,}33 \times 2{,}44 + 20 – 1{,}5\times (2{,}44)^2 \]

    • \(2{,}44^2 \approx 5{,}9536\)
    • \(1{,}5 \times 5{,}9536 \approx 8{,}9304\)
    • \(7{,}33 \times 2{,}44 \approx 17{,}8852\)

    \[ M(2{,}44) \approx 17{,}8852 + 20 – 8{,}9304 \] \[ M(2{,}44) \approx 37{,}8852 – 8{,}9304 \] \[ M(2{,}44) \approx 28{,}95\,\text{kN}\cdot\text{m} \]

    On vérifie aussi \(M(2)\) et \(M(4^-)\) :

    – \(M(2) = 28{,}66\,\text{kN}\cdot\text{m}\) (déjà calculé)

    – \(M(4^-) \approx 25{,}32\,\text{kN}\cdot\text{m}\)

    • Tronçon 3 (\(4 \le x \le 6\)) :

    \[ M(x) = 17{,}33x – 1{,}5\,x^2 – 10(x – 2) – 5(x – 4) \]

    Simplification :

    \[ M(x) = (17{,}33 – 10 – 5)x + 20 + 20 – 1{,}5x^2 \] \[ M(x) = 2{,}33\,x + 40 – 1{,}5\,x^2 \]

    \[ \frac{dM}{dx} = 2{,}33 – 3x \]

    \[ \frac{dM}{dx} = 0 \] \[ x = \frac{2{,}33}{3} \approx 0{,}78\,\text{m} \]

    Or \(0{,}78\,\text{m}\) n’est pas dans \([4,6]\). Pas de maximum local dans ce tronçon. Il faut vérifier \(M(4^+)\) et \(M(6)\).

    • \(M(4^+) = M(4^-) \approx 25{,}32\,\text{kN}\cdot\text{m}\) (continuité du moment)
    • \(M(6) = 0\,\text{kN}\cdot\text{m}\) (poutre simplement appuyée)
    Conclusion : moment maximal

    En comparant :

    • \(M(2) \approx 28{,}66\,\text{kN}\cdot\text{m}\)
    • \(M(2{,}44) \approx 28{,}95\,\text{kN}\cdot\text{m}\)
    • \(M(4) \approx 25{,}32\,\text{kN}\cdot\text{m}\)

    Le maximum est \(\boldsymbol{28{,}95\,\text{kN}\cdot\text{m}}\) à \(\boldsymbol{x \approx 2{,}44\,\text{m}}.\)

    Remarques finales:

    • Le diagramme de l’effort tranchant présente des segments linéaires entre les points \(x=0, x=2, x=4, x=6\), avec des \textbf{sauts} de \(-10\) kN et \(-5\) kN aux abscisses \(2\) et \(4\).
    • Le diagramme du moment fléchissant est parabolique à chaque tronçon et continu aux points de charges ponctuelles (même si la pente y subit une discontinuité liée à l’effort tranchant).
    • Le moment maximal se trouve généralement entre les charges concentrées ou à l’une de ces charges (ici calculé précisément par annulation de la dérivée du moment dans chaque tronçon).

    Calcul l’effort tranchant et le moment

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    3 Commentaires

    1. Aurélien B.

      Bonjour,
      Je suis en BUT GCCD 1ère année et j’ai du mal avec mes exercices de mécanique des structures, pour déterminer Vy ainsi que Mz à toute distance sur la poutre il nous est demandé de les déterminer en fonction de « x », je n’y arrive pas.
      On arrive en fin de semestre et je n’ai plus TD mais les partiels arrivent à grand pas, serait-il possible d’en discuter par mail ?

      Merci.
      Cordialement Aurélien B.

      Réponse

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