Analyse de la Stabilité d’un Pylône

Comprendre l’Analyse de la Stabilité d’un Pylône

Un ingénieur structure doit concevoir un pylône de transmission électrique en acier. La conception doit assurer que le pylône peut résister aux charges dues au vent et au poids des câbles électriques sans flamber. L’ingénieur doit calculer la résistance au flambement latéral de la section transversale du pylône pour s’assurer que la structure est suffisamment solide.

Pour comprendre la Vérification de l’équilibre des forces verticales, cliquez sur le lien.

Données de l’Exercice:

Matériau: Acier, avec un module d’élasticité E = 210 GPa et un module de cisaillement G = 80 GPa.
Section transversale du pylône: Forme circulaire, diamètre extérieur D = 300 mm, épaisseur de la paroi t = 10 mm.
Hauteur du pylône: L = 10 m.
Charge critique de flambement latéral: À déterminer.

Questions:

1. Calculer le moment d’inertie de la section transversale I et le rayon de giration r.

2. Déterminer la charge critique de flambement latéral \(P_{\text{cr}}\) en utilisant la formule d’Euler pour le flambement, en considérant les conditions de fixation aux extrémités comme étant encastrées-libres.

3. Évaluer si le pylône peut résister à une charge de vent latéral estimée à \(F_{\text{vent}} = 15\, \text{kN}\) sans risque de flambement.

Correction : Analyse de la Stabilité d’un Pylône

1. Calcul du moment d’inertie de la section transversale et du rayon de giration

a. Moment d’inertie (\(I\))

Données :

Diamètre extérieur : \(D = 300\) mm
Épaisseur de la paroi : \(t = 10\) mm
Diamètre intérieur : \(d = D – 2t = 300 – 20 = 280\) mm

Formule :

Pour une section circulaire creuse, le moment d’inertie est donné par

\[ I = \frac{\pi}{64} \left( D^4 – d^4 \right) \]

Calcul :

1. Calcul de \(D^4\) et \(d^4\) :

\(300^4 \approx 8.1 \times 10^9\) mm\(^4\)
\(280^4 \approx 6.146 \times 10^9\) mm\(^4\)

2. Différence :

\[ D^4 – d^4 \approx 8.1 \times 10^9 – 6.146 \times 10^9 \] \[ = 1.954 \times 10^9 \text{ mm}^4 \]

3. Application de la formule :

\[ I = \frac{\pi}{64} \times 1.954 \times 10^9 \] \[ I \approx 0.04909 \times 1.954 \times 10^9 \] \[ I \approx 95.9 \times 10^6 \text{ mm}^4 \]

Pour faciliter l’interprétation, on convertit en m\(^4\) :

\[ I \approx 9.59 \times 10^{-5} \text{ m}^4 \]

b. Rayon de giration (\(r\))

Formule :

Le rayon de giration est défini par

\[ r = \sqrt{\frac{I}{A}} \]

où \(A\) est l’aire de la section transversale.

Calcul de l’aire \(A\) :

Pour une section circulaire creuse,

\[ A = \frac{\pi}{4} \left( D^2 – d^2 \right) \]

1. Calcul de \(D^2\) et \(d^2\) :

\(D^2 = 300^2 = 90\,000\) mm\(^2\)
\(d^2 = 280^2 = 78\,400\) mm\(^2\)

2. Différence :

\[ D^2 – d^2 = 90\,000 – 78\,400 \] \[ = 11\,600 \text{ mm}^2 \]

3. Aire :

\[ A = \frac{\pi}{4} \times 11\,600 \] \[ A \approx 0.7854 \times 11\,600 \] \[ A \approx 9116 \text{ mm}^2 \]

Soit en m\(^2\) :

\[ A \approx 9.116 \times 10^{-3} \text{ m}^2 \]

Calcul de \(r\) :

\[ r = \sqrt{\frac{9.59 \times 10^{-5}}{9.116 \times 10^{-3}}} \] \[ r \approx \sqrt{0.01052} \] \[ r \approx 0.1026 \text{ m} \]

En mm, cela correspond à environ \(102.6\) mm.

2. Détermination de la charge critique de flambement latéral \(P_{cr}\)

Données et conditions

Module d’élasticité : \(E = 210\) GPa \(= 210 \times 10^9\) N/m\(^2\)
Moment d’inertie : \(I \approx 9.59 \times 10^{-5}\) m\(^4\)
Hauteur du pylône : \(L = 10\) m
Condition d’appui : encastré-libre
Pour une condition encastré-libre, la longueur effective est \(L_{eff} = 2L = 20\) m.

Formule d’Euler pour le flambement

\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{\left( L_{eff} \right)^2} \]

Calcul

1. Calcul du numérateur :

\[ \pi^2 \, E \, I \approx 9.8696 \times 210 \times 10^9 \times 9.59 \times 10^{-5} \] \[ \approx 1.986 \times 10^8\, \text{N.m}^2 \]

2. Calcul du dénominateur :

\[ \left( L_{eff} \right)^2 = 20^2 = 400 \text{ m}^2 \]

3. Charge critique :

\[ P_{cr} = \frac{1.986 \times 10^8}{400} \] \[ P_{cr} \approx 496\,500 \text{ N} \quad \text{soit} \quad \approx 496.5 \text{ kN} \]

3. Vérification de la résistance à la charge de vent latérale

Donnée :

Charge de vent latérale estimée : \(F_{vent} = 15\) kN

Analyse :

La charge critique de flambement calculée est \(P_{cr} \approx 496.5\) kN.
La charge due au vent est donc beaucoup plus faible que la charge critique (\(15\) kN \(\ll\) \(496.5\) kN).

Conclusion :
Le pylône est capable de résister à la charge de vent latérale estimée sans risque de flambement.

Analyse de la Stabilité d’un Pylône

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