Vérification de la Rigidité d’une Poutre
Comprendre la Vérification de la Rigidité d’une Poutre
Une entreprise de construction doit installer une passerelle piétonne en acier dans un parc public. La passerelle doit supporter non seulement le poids des piétons mais également celui des équipements d’entretien léger qui pourraient avoir à traverser. La structure doit rester suffisamment rigide pour ne pas causer de sensation d’insécurité ou de malaise chez les utilisateurs.
Pour comprendre le Calcul d’une poutre en acier, cliquez sur le lien.
Données:
- Matériau de la poutre: Acier, avec un module d’élasticité
- Longueur de la poutre (): 20 m
- Charge uniformément répartie (): 5 kN/m
- Section transversale de la poutre: Profilé en I, avec les dimensions suivantes:
- Hauteur (): 400 mm
- Largeur de l’âme (): 300 mm
- Épaisseur de l’âme (): 10 mm
- Épaisseur de la semelle (): 20 mm
- Critère de déformation admissible (): L/300
Question:
Vérifiez si la poutre est suffisamment rigide pour ne pas dépasser le critère de déformation admissible sous l’effet de la charge donnée.
Correction : Vérification de la Rigidité d’une Poutre
Nous allons procéder par étapes pour vérifier la rigidité de la poutre. L’objectif est de comparer la flèche maximale calculée (\(\delta_{max}\)) à la flèche admissible (\(\delta_{adm}\)), définie ici par :
\[ \delta_{adm} = \frac{L}{300} \]
Nous considérons que la poutre est simplement appuyée et soumise à une charge uniformément répartie. La formule de la flèche maximale pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie est :
\[ \delta_{max} = \frac{5\,q\,L^4}{384\,E\,I} \]
où
- \(q\) est la charge uniformément répartie,
- \(L\) est la longueur de la poutre,
- \(E\) est le module d’élasticité du matériau,
- \(I\) est le moment d’inertie de la section transversale par rapport à l’axe neutre.
Pour effectuer les calculs de manière cohérente, nous travaillerons en unités millimétriques (mm) et en Newton (N). Ainsi :
- \(L = 20\, \text{m} = 20\,000\, \text{mm}\)
- \(q = 5\, \text{kN/m} = 5\,000\, \text{N/m}\).
Pour exprimer \(q\) en N/mm, on note que \(1\,\text{m} = 1\,000\,\text{mm}\), donc :
\[ q = \frac{5\,000\, \text{N}}{1\,000\, \text{mm}} = 5\, \text{N/mm} \]
\(E = 210 \times 10^3\, \text{N/mm}^2 = 210\,000\, \text{N/mm}^2\)
Les dimensions de la section en I sont données par :
- Hauteur totale : \(h = 400\, \text{mm}\)
- Largeur de l’âme : \(b = 300\, \text{mm}\)
- Épaisseur de l’âme : \(t = 10\, \text{mm}\)
- Épaisseur de la semelle (flange) : \(t_f = 20\, \text{mm}\)
La section se compose de deux semelles (flanges) et d’un âme (web). Nous allons déterminer le moment d’inertie \(I\) de cette section par la méthode des aires composées.
1. Calcul du moment d’inertie \(I\) de la section en I
1.1. Géométrie de la section
Semelle supérieure :
- Aire :
\[ A_{fl} = b \times t_f \] \[ A_{fl} = 300\, \text{mm} \times 20\, \text{mm} \] \[ A_{fl} = 6000\, \text{mm}^2 \]
-
La semelle est située en haut de la poutre. Son épaisseur est de 20 mm.
Le centre de gravité se trouve à :
\[ y_{fl,top} = 400\, \text{mm} – \frac{t_f}{2} \] \[ y_{fl,top} = 400 – 10 \] \[ y_{fl,top} = 390\, \text{mm} \]
Semelle inférieure :
- Aire identique : \(6000\, \text{mm}^2\)
- Son centre se situe à :
\[ y_{fl,bottom} = \frac{t_f}{2} = 10\, \text{mm} \]
Âme (web) :
- Hauteur effective de l’âme :
\[ h_{web} = h – 2t_f \] \[ h_{web} = 400 – 40 \] \[ h_{web} = 360\, \text{mm} \]
- Aire :
\[ A_{web} = t \times h_{web} \] \[ A_{web} = 10\, \text{mm} \times 360\, \text{mm} \] \[ A_{web} = 3600\, \text{mm}^2 \]
- Son centre se trouve exactement au centre de la hauteur totale :
\[ y_{web} = \frac{400}{2} = 200\, \text{mm} \]
Par symétrie, le centre de gravité de la section complète se trouve à :
\[ y_{cg} = \frac{h}{2} = 200\, \text{mm} \]
1.2. Calcul de \(I\) pour chaque composante
a) Semelles (flanges)
Pour un rectangle de largeur \(b\) et d’épaisseur \(t_f\), le moment d’inertie par rapport à son axe passant par son centre est :
\[ I_{local} = \frac{b\, t_f^3}{12} \]
Pour chaque semelle :
\[ I_{fl,local} = \frac{300 \times 20^3}{12} \] \[ I_{fl,local} = \frac{300 \times 8000}{12} \] \[ I_{fl,local} = \frac{2\,400\,000}{12} \] \[ I_{fl,local} = 200\,000\, \text{mm}^4 \]
On applique ensuite la formule d’inertie par rapport à un axe décalé (théorème des axes parallèles) :
\[ I_{fl} = I_{fl,local} + A_{fl}\, d^2 \]
où \(d\) est la distance entre le centre de la semelle et l’axe neutre (situé à \(y_{cg} = 200\, \text{mm}\)).
- Pour la semelle supérieure :
\[ d_{top} = |390 – 200| \] \[ d_{top} = 190\, \text{mm} \]
\[ I_{fl,top} = 200\,000 + 6000 \times (190)^2 \] \[ I_{fl,top} = 200\,000 + 6000 \times 36\,100 \] \[ I_{fl,top} = 200\,000 + 216\,600\,000 \] \[ I_{fl,top} = 216\,800\,000\, \text{mm}^4 \]
- Pour la semelle inférieure :
\[ d_{bottom} = |10 – 200| \] \[ d_{bottom} = 190\, \text{mm} \]
De même :
\[ I_{fl,bottom} = 200\,000 + 6000 \times 36\,100 \] \[ I_{fl,bottom} = 216\,800\,000\, \text{mm}^4 \]
La contribution totale des deux semelles est :
\[ I_{fl,total} = I_{fl,top} + I_{fl,bottom} \] \[ I_{fl,total} = 2 \times 216\,800\,000 \] \[ I_{fl,total} = 433\,600\,000\, \text{mm}^4 \]
b) Âme (web)
Le moment d’inertie d’un rectangle (pour l’âme) par rapport à son axe central (puisque le centre de l’âme coïncide avec l’axe neutre) est :
\[ I_{web} = \frac{t\, h_{web}^3}{12} \]
Calculons-le :
\[ I_{web} = \frac{10 \times 360^3}{12} \] \[ I_{web} = \frac{10 \times 46\,656\,000}{12} \] \[ I_{web} = \frac{466\,560\,000}{12} \] \[ I_{web} = 38\,880\,000\, \text{mm}^4 \]
c) Moment d’inertie total
\[ I = I_{fl,total} + I_{web} \] \[ I = 433\,600\,000 + 38\,880\,000 \] \[ I = 472\,480\,000\, \text{mm}^4 \]
2. Calcul de la flèche maximale \(\delta_{max}\)
La formule utilisée est :
\[ \delta_{max} = \frac{5\,q\,L^4}{384\,E\,I} \]
Substitution des valeurs
- \(q = 5\, \text{N/mm}\)
- \(L = 20\,000\, \text{mm}\)
- \(E = 210\,000\, \text{N/mm}^2\)
- \(I = 472\,480\,000\, \text{mm}^4\)
Calcul de \(L^4\) :
\[ L^4 = (20\,000)^4 \]
Calculons étape par étape :
- \(20\,000^2 = 400\,000\,000\)
- \((400\,000\,000)^2 = 1.6 \times 10^{17}\, \text{mm}^4\)
Numérateur :
\[ 5\,q\,L^4 = 5 \times 5 \times 1.6 \times 10^{17} \] \[ = 25 \times 1.6 \times 10^{17} \] \[ = 4.0 \times 10^{18}\, \text{N·mm}^4 \]
Dénominateur :
\[ 384\,E\,I = 384 \times 210\,000 \times 472\,480\,000 \] \[ 384 \times (9.92208 \times 10^{13}) \approx 3.807975 \times 10^{16}\, \text{N·mm}^2 \]
Flèche maximale :
\[ \delta_{max} = \frac{4.0 \times 10^{18}}{3.807975 \times 10^{16}} \approx 105\, \text{mm} \]
3. Calcul de la flèche admissible \(\delta_{adm}\)
Le critère est donné par :
\[ \delta_{adm} = \frac{L}{300} \] \[ \delta_{adm} = \frac{20\,000\, \text{mm}}{300} \approx 66.67\, \text{mm} \]
4. Conclusion : Vérification de la rigidité
Nous avons obtenu :
- Flèche calculée : \(\delta_{max} \approx 105\, \text{mm}\)
- Flèche admissible : \(\delta_{adm} \approx 66.67\, \text{mm}\)
Comparaison :
\[ 105\, \text{mm} > 66.67\, \text{mm} \]
La flèche maximale dépasse le critère de déformation admissible.
Conclusion finale : La vérification montre que la flèche maximale de \(105\, \text{mm}\) dépasse largement la flèche admissible de \(66.67\, \text{mm}\). Par conséquent, la poutre proposée n’est pas suffisamment rigide pour supporter la charge uniformément répartie de \(5\, \text{kN/m}\) sans dépasser le critère de déformation admissible. Des ajustements (par exemple, augmenter le module d’inertie de la section ou revoir la portée de la poutre) sont nécessaires pour satisfaire aux exigences de rigidité.
Vérification de la Rigidité d’une Poutre
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