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Vérification de la Rigidité d’une Poutre

Vérification de la Rigidité d’une Poutre (Calcul de Flèche)

Vérification de la Rigidité d’une Poutre (Calcul de Flèche)

Comprendre la Vérification de la Rigidité (Flèche)

En plus de résister aux charges sans rupture (vérification de résistance), les éléments structuraux doivent également être suffisamment rigides pour limiter leurs déformations (flèches) sous l'effet des charges. Une flèche excessive peut entraîner des problèmes de service (fissuration des cloisons, inconfort des usagers, mauvais fonctionnement d'équipements) même si la structure est sûre du point de vue de la résistance. La vérification de la rigidité consiste donc à s'assurer que la flèche maximale calculée (\(\delta_{max}\)) reste inférieure à une flèche admissible (\(\delta_{adm}\)), souvent exprimée comme une fraction de la portée de l'élément (par exemple, \(L/300\)).

Données de l'étude

Une poutre en acier S235, de section rectangulaire, est simplement appuyée à ses deux extrémités et supporte une charge uniformément répartie sur toute sa longueur.

Caractéristiques de la poutre et du matériau :

  • Longueur de la poutre (portée entre appuis) (\(L\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Charge uniformément répartie (\(q\)) : \(10 \, \text{kN/m}\)
  • Section rectangulaire :
    • Largeur (\(b\)) : \(150 \, \text{mm}\)
    • Hauteur (\(h\)) : \(300 \, \text{mm}\)
  • Module d'Young de l'acier (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\)
  • Flèche admissible (\(\delta_{adm}\)) : \(L/300\)

Objectif : Calculer la flèche maximale de la poutre et vérifier si elle respecte le critère de rigidité.

Schéma : Poutre Simplement Appuyée avec Charge Répartie
A B q = 10 kN/m RA RB L = 6 m \(\delta_{max}\) Section (mm) b=150 h=300

Poutre simplement appuyée avec charge uniformément répartie, montrant la déformée et la flèche maximale.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment quadratique (\(I\)) de la section rectangulaire.
  2. Calculer la flèche maximale (\(\delta_{max}\)) au milieu de la poutre.
  3. Calculer la flèche admissible (\(\delta_{adm}\)).
  4. Vérifier si la condition de rigidité (\(\delta_{max} \leq \delta_{adm}\)) est respectée et conclure.

Correction : Vérification de la Rigidité

Question 1 : Moment Quadratique (\(I\))

Principe :

Le moment quadratique (ou moment d'inertie de surface) d'une section rectangulaire de largeur \(b\) et de hauteur \(h\), par rapport à l'axe de flexion principal (passant par le centre de gravité, parallèle à la base \(b\)), est donné par \(I = \frac{bh^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I = \frac{b h^3}{12}\]
Données spécifiques (en mm) :
  • Largeur (\(b\)) : \(150 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(300 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I &= \frac{150 \, \text{mm} \cdot (300 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{150 \cdot 27000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= 150 \cdot 2250000 \, \text{mm}^4 \\ &= 337500000 \, \text{mm}^4 \\ &= 3.375 \cdot 10^8 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Conversion en m\(^4\) : \(1 \, \text{m}^4 = (1000 \, \text{mm})^4 = 10^{12} \, \text{mm}^4\). Donc, \(I = 3.375 \cdot 10^8 \, \text{mm}^4 \cdot \frac{1 \, \text{m}^4}{10^{12} \, \text{mm}^4} = 3.375 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^4\).

Résultat Question 1 : Le moment quadratique est \(I = 3.375 \cdot 10^8 \, \text{mm}^4 = 3.375 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^4\).

Question 2 : Flèche Maximale (\(\delta_{max}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée de longueur \(L\), soumise à une charge uniformément répartie \(q\), la flèche maximale se produit au milieu de la portée et est donnée par la formule : \(\delta_{max} = \frac{5 q L^4}{384 E I}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\delta_{max} = \frac{5 q L^4}{384 E I}\]
Données spécifiques (unités cohérentes : N, m) :
  • Charge répartie (\(q\)) : \(10 \, \text{kN/m} = 10 \times 10^3 \, \text{N/m}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
  • Moment quadratique (\(I\)) : \(3.375 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \delta_{max} &= \frac{5 \cdot (10 \times 10^3 \, \text{N/m}) \cdot (6.0 \, \text{m})^4}{384 \cdot (210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2) \cdot (3.375 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^4)} \\ &= \frac{5 \cdot 10^4 \cdot 1296}{384 \cdot 210 \cdot 10^9 \cdot 3.375 \cdot 10^{-4}} \\ &= \frac{6480 \cdot 10^4}{384 \cdot 210 \cdot 337.5} \\ &= \frac{64800000}{27216000} \, \text{m} \\ &\approx 2.38095 \, \text{m} \cdot 10^{-3} \text{ (erreur ici, recalculons denominateur)} \\ \text{Denominateur} &= 384 \cdot (210 \cdot 10^9) \cdot (3.375 \cdot 10^{-4}) \\ &= 384 \cdot 210 \cdot 3.375 \cdot 10^5 \\ &= 27216000 \cdot 10^5 \\ &= 2.7216 \cdot 10^{12} \\ \text{Numerateur} &= 5 \cdot (10 \cdot 10^3) \cdot (6^4) \\ &= 5 \cdot 10^4 \cdot 1296 \\ &= 6480 \cdot 10^4 = 6.48 \cdot 10^7 \\ \delta_{max} &= \frac{6.48 \cdot 10^7 \, \text{N} \cdot \text{m}^3}{2.7216 \cdot 10^{12} \, \text{N} \cdot \text{m}^2} \\ &\approx 0.0238095 \, \text{m} \\ &\approx 23.81 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La flèche maximale est \(\delta_{max} \approx 23.81 \, \text{mm}\).

Question 3 : Flèche Admissible (\(\delta_{adm}\))

Principe :

La flèche admissible est donnée comme une fraction de la portée \(L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\delta_{adm} = \frac{L}{300}\]
Données spécifiques :
  • Longueur (\(L\)) : \(6.0 \, \text{m} = 6000 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \delta_{adm} &= \frac{6000 \, \text{mm}}{300} \\ &= 20 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La flèche admissible est \(\delta_{adm} = 20 \, \text{mm}\).

Question 4 : Vérification de la Condition de Rigidité

Principe :

On compare la flèche maximale calculée (\(\delta_{max}\)) à la flèche admissible (\(\delta_{adm}\)). La condition de rigidité est respectée si \(\delta_{max} \leq \delta_{adm}\).

Données spécifiques :
  • Flèche maximale calculée (\(\delta_{max}\)) : \(\approx 23.81 \, \text{mm}\)
  • Flèche admissible (\(\delta_{adm}\)) : \(20 \, \text{mm}\)
Vérification :
\[23.81 \, \text{mm} > 20 \, \text{mm}\]

La flèche maximale calculée dépasse la flèche admissible.

Résultat Question 4 : La condition de rigidité n'est pas respectée (\(\delta_{max} > \delta_{adm}\)). La poutre n'est pas suffisamment rigide pour ce chargement et ce critère de flèche. Il faudrait envisager une section plus grande ou un matériau plus rigide, ou revoir les critères d'admissibilité.

Quiz Intermédiaire 1 : Pour réduire la flèche d'une poutre, on peut (toutes autres choses étant égales) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. La rigidité d'une poutre en flexion est principalement caractérisée par :

6. La flèche d'une poutre est une mesure de :

7. Une flèche admissible de \(L/300\) signifie que la déformation maximale ne doit pas dépasser :

Glossaire

Flèche (\(\delta\))
Déplacement transversal d'une poutre sous l'effet des charges appliquées. La flèche maximale (\(\delta_{max}\)) est la valeur la plus grande de ce déplacement le long de la poutre.
Rigidité en Flexion (\(EI\))
Produit du module d'Young (\(E\)) du matériau et du moment quadratique (\(I\)) de la section. C'est une mesure de la résistance de la poutre à la déformation par flexion.
Module d'Young (\(E\))
Propriété du matériau qui mesure sa rigidité ou sa résistance à la déformation élastique sous une contrainte axiale ou de flexion. Unité : Pascals (Pa) ou GigaPascals (GPa).
Moment Quadratique (\(I\))
Aussi appelé moment d'inertie de surface. Caractéristique géométrique d'une section qui mesure sa capacité à résister à la flexion. Unité : m\(^4\) ou mm\(^4\).
Flèche Admissible (\(\delta_{adm}\))
Déplacement transversal maximal qu'une poutre peut subir sans compromettre sa fonctionnalité ou l'intégrité des éléments qu'elle supporte. Souvent définie par les codes de construction.
État Limite de Service (ELS)
État au-delà duquel une structure ou un élément structural ne satisfait plus aux critères de performance pour lesquels il a été conçu (ex: flèche excessive, vibrations).
Vérification de la Rigidité d’une Poutre - Exercice d'Application

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