Études de cas pratique

EGC

Calcul de la déformation élastique

Calcul de la Déformation Élastique

Comprendre le Calcul de la déformation élastique

Une barre cylindrique en acier, utilisée dans une construction, doit être évaluée pour sa déformation élastique sous une force spécifique.

Les caractéristiques de la barre sont les suivantes :

  • Longueur initiale de la barre (L₀) : 2 mètres
  • Diamètre de la barre (d) : 10 mm
  • Module d’élasticité de l’acier (E) : 200 GPa (GigaPascals)
  • Limite d’élasticité de l’acier : 250 MPa (MegaPascals)
Calcul de la déformation élastique

Question :

1. Calcul de la Contrainte et de la Déformation : Une force axiale de 10 000 N (newtons) est appliquée sur la barre. Calculez la contrainte (σ) induite dans la barre ainsi que la déformation élastique (ΔL) de la barre.

2. Vérification de la Sécurité : Vérifiez si la contrainte induite dépasse la limite d’élasticité de l’acier. Qu’en concluez-vous sur la sécurité de la structure sous cette charge ?

Correction : Calcul de la déformation élastique

1. Calcul de la contrainte (\(\sigma\))

La contrainte \(\sigma\) est définie par le rapport de la force appliquée \(F\) sur l’aire de la section transversale \(A\) de la barre.

Formule :

\[ \sigma = \frac{F}{A} \]

Données :
  • Force appliquée : \( F = 10\,000\; \text{N} \)
  • Diamètre de la barre : \( d = 10\, \text{mm} = 0,01\, \text{m} \)

L’aire d’une section circulaire est donnée par :

\[ A = \frac{\pi d^2}{4} \]

Calcul de l’aire :

\[ A = \frac{\pi \times (0,01)^2}{4} \] \[ A = \frac{\pi \times 0,0001}{4} \] \[ A \approx \frac{0,00031416}{4} \] \[ A \approx 7,85 \times 10^{-5}\; \text{m}^2 \]

Calcul de la contrainte :

\[ \sigma = \frac{10\,000}{7,85 \times 10^{-5}} \] \[ \sigma \approx 127\,324\, \text{Pa} \] \[ \sigma \approx 127,3\, \text{MPa} \]

2. Calcul de la déformation élastique (\(\Delta L\))

La déformation élastique est liée à la contrainte par la loi de Hooke. La déformation (ou allongement) \(\Delta L\) est obtenue en utilisant la relation entre la contrainte, le module d’élasticité et la longueur initiale de la barre.

Formule :

\[ \Delta L = \frac{\sigma \times L_0}{E} \]

Données :
  • Longueur initiale : \( L_0 = 2\, \text{m} \)
  • Module d’élasticité : \( E = 200\, \text{GPa} = 200 \times 10^9\, \text{Pa} \)
  • Contrainte calculée : \( \sigma \approx 127,3\, \text{MPa} = 127,3 \times 10^6\, \text{Pa} \)
Calcul de la déformation :

\[ \Delta L = \frac{127,3 \times 10^6 \times 2}{200 \times 10^9} \] \[ \Delta L = \frac{254,6 \times 10^6}{200 \times 10^9} \] \[ \Delta L \approx 0,001273\, \text{m} \]

Conversion en millimètres :

\[ 0,001273\, \text{m} \times 1000 = 1,27\, \text{mm} \]

3. Vérification de la sécurité

Pour vérifier la sécurité de la barre, on compare la contrainte induite à la limite d’élasticité de l’acier.

Données :
  • Contrainte induite : \( \sigma \approx 127,3\, \text{MPa} \)
  • Limite d’élasticité : \( 250\, \text{MPa} \)
Analyse :

\[ 127,3\, \text{MPa} < 250\, \text{MPa} \]

La contrainte appliquée est bien inférieure à la limite d’élasticité de l’acier.

Conclusion :
La barre reste dans le domaine élastique et la structure est donc considérée comme sûre sous cette charge.

Calcul de la déformation élastique

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