Études de cas pratique

EGC

Cisaillement dans une poutre

Calcul de la Contrainte de Cisaillement dans une Poutre

Calcul de la Contrainte de Cisaillement dans une Poutre

Comprendre la Contrainte de Cisaillement dans les Poutres

Lorsqu'une poutre est soumise à des charges transversales, elle développe non seulement des moments de flexion mais aussi des efforts tranchants. Cet effort tranchant induit des contraintes de cisaillement (\(\tau\)) au sein de la section transversale de la poutre. Contrairement à la contrainte de flexion qui est maximale aux fibres extrêmes, la contrainte de cisaillement due à l'effort tranchant est généralement maximale à la fibre neutre pour la plupart des sections courantes et nulle aux fibres extrêmes. Le calcul précis de ces contraintes est essentiel pour vérifier la résistance de la poutre au cisaillement, notamment pour les matériaux sensibles à ce type de sollicitation ou pour les poutres courtes et fortement chargées.

Données de l'étude

On considère une poutre en bois de section rectangulaire simplement appuyée, de longueur \(L = 3 \, \text{m}\). Elle est soumise à une charge uniformément répartie \(q = 10 \, \text{kN/m}\) sur toute sa longueur.

Caractéristiques de la section :

  • Largeur (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)

Objectif : Déterminer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) dans la poutre.

Schéma : Poutre avec Charge Répartie et Section
Poutre et chargement A B q = 10 kN/m RA RB L = 3 m Section droite (mm) Gz b=100 h=200

Poutre sur appuis simples avec charge uniformément répartie et sa section rectangulaire.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui \(R_A\) et \(R_B\).
  2. Déterminer l'effort tranchant maximal (\(V_{max}\)) dans la poutre.
  3. Calculer le moment d'inertie (\(I_{Gz}\)) de la section rectangulaire par rapport à son axe neutre.
  4. Calculer le moment statique (\(Q_{max}\)) de la demi-section par rapport à l'axe neutre.
  5. Déterminer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) dans la section de la poutre.

Correction : Calcul de la Contrainte de Cisaillement

Question 1 : Réactions d'Appui (\(R_A\) et \(R_B\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie \(q\) sur toute sa longueur \(L\), la charge totale est \(Q_{tot} = qL\). En raison de la symétrie, les réactions aux appuis sont égales et valent chacune la moitié de la charge totale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_A = R_B = \frac{qL}{2}\]
Données spécifiques :
  • Charge répartie (\(q\)) : \(10 \, \text{kN/m}\)
  • Longueur de la poutre (\(L\)) : \(3 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_A = R_B &= \frac{10 \, \text{kN/m} \cdot 3 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{30 \, \text{kN}}{2} \\ &= 15 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont \(R_A = 15 \, \text{kN}\) et \(R_B = 15 \, \text{kN}\).

Question 2 : Effort Tranchant Maximal (\(V_{max}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie sur toute sa longueur, l'effort tranchant est maximal (en valeur absolue) aux appuis et est égal à la réaction d'appui.

L'expression de l'effort tranchant le long de la poutre est \(V(x) = R_A - qx = qL/2 - qx\).

Calcul :

À l'appui A (\(x=0\)) :

\[V(0) = R_A = 15 \, \text{kN}\]

À l'appui B (\(x=L=3 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} V(L) &= R_A - qL \\ &= 15 \, \text{kN} - (10 \, \text{kN/m} \cdot 3 \, \text{m}) \\ &= 15 \, \text{kN} - 30 \, \text{kN} \\ &= -15 \, \text{kN} \end{aligned} \]

La valeur absolue maximale de l'effort tranchant est donc \(15 \, \text{kN}\).

Résultat Question 2 : L'effort tranchant maximal est \(|V_{max}| = 15 \, \text{kN}\).

Question 3 : Moment d'Inertie (\(I_{Gz}\))

Principe :

Pour une section rectangulaire de largeur \(b\) et de hauteur \(h\), le moment d'inertie par rapport à l'axe horizontal passant par son centre de gravité (\(Gz\)) est donné par la formule standard.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{Gz} = \frac{b \cdot h^3}{12}\]
Données spécifiques (en mm) :
  • Largeur de la section (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{Gz} &= \frac{100 \, \text{mm} \cdot (200 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{100 \cdot 8000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{800 \cdot 10^6}{12} \, \text{mm}^4 \\ &\approx 66.67 \cdot 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le moment d'inertie de la section est \(I_{Gz} \approx 66.67 \cdot 10^6 \, \text{mm}^4\).

Question 4 : Moment Statique (\(Q_{max}\))

Principe :

La contrainte de cisaillement est maximale à la fibre neutre. Pour la calculer, on a besoin du moment statique (\(Q\)) de l'aire de la section située d'un côté de la fibre neutre (par exemple, la demi-section supérieure), par rapport à cette fibre neutre. Pour une section rectangulaire, \(Q_{max}\) (à la fibre neutre) est le moment statique de la demi-section.

\(Q = A' \cdot \bar{y}'\), où \(A'\) est l'aire de la demi-section et \(\bar{y}'\) est la distance entre le centre de gravité de cette demi-section et la fibre neutre de la section entière.

Formule(s) utilisée(s) pour une section rectangulaire :
\[Q_{max} = \left(b \cdot \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{h}{4} = \frac{b h^2}{8}\]
Données spécifiques (en mm) :
  • Largeur (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A' &= b \cdot \frac{h}{2} = 100 \cdot \frac{200}{2} = 100 \cdot 100 = 10000 \, \text{mm}^2 \\ \bar{y}' &= \frac{h}{4} = \frac{200}{4} = 50 \, \text{mm} \\ Q_{max} &= A' \cdot \bar{y}' = 10000 \, \text{mm}^2 \cdot 50 \, \text{mm} \\ &= 500000 \, \text{mm}^3 \\ &= 0.5 \cdot 10^6 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Ou directement avec la formule :

\[ \begin{aligned} Q_{max} &= \frac{b h^2}{8} = \frac{100 \cdot (200)^2}{8} \\ &= \frac{100 \cdot 40000}{8} = \frac{4000000}{8} \\ &= 500000 \, \text{mm}^3 \\ &= 0.5 \cdot 10^6 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le moment statique maximal est \(Q_{max} = 0.5 \cdot 10^6 \, \text{mm}^3\).

Question 5 : Contrainte de Cisaillement Maximale (\(\tau_{max}\))

Principe :

La contrainte de cisaillement (\(\tau\)) dans une poutre est donnée par la formule de Colignon (ou de Jourawski) : \(\tau = \frac{VQ}{Ib}\). Pour une section rectangulaire, la contrainte de cisaillement est maximale à la fibre neutre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau_{max} = \frac{V_{max} Q_{max}}{I_{Gz} b}\]

Pour une section rectangulaire, on sait aussi que \(\tau_{max} = \frac{3}{2} \frac{V_{max}}{A}\), où \(A = bh\) est l'aire totale de la section.

Données spécifiques :
  • \(V_{max} = 15 \, \text{kN} = 15000 \, \text{N}\)
  • \(Q_{max} = 0.5 \cdot 10^6 \, \text{mm}^3\)
  • \(I_{Gz} \approx 66.67 \cdot 10^6 \, \text{mm}^4\)
  • Largeur à la fibre neutre (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_{max} &= \frac{15000 \, \text{N} \cdot 0.5 \cdot 10^6 \, \text{mm}^3}{(66.666667 \cdot 10^6 \, \text{mm}^4) \cdot 100 \, \text{mm}} \\ &= \frac{7.5 \cdot 10^9}{6.666667 \cdot 10^9} \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 1.125 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

En utilisant la formule simplifiée pour section rectangulaire :

\[ \begin{aligned} A &= b \cdot h = 100 \, \text{mm} \cdot 200 \, \text{mm} = 20000 \, \text{mm}^2 \\ \tau_{max} &= \frac{3}{2} \frac{V_{max}}{A} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{15000 \, \text{N}}{20000 \, \text{mm}^2} \\ &= 1.5 \cdot 0.75 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 1.125 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La contrainte de cisaillement maximale est \(\tau_{max} = 1.125 \, \text{MPa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour une section en I, où la contrainte de cisaillement due à l'effort tranchant est-elle généralement la plus élevée ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. La formule de Colignon/Jourawski \(\tau = VQ/(Ib)\) est utilisée pour calculer :

7. Dans la formule \(\tau = VQ/(Ib)\), que représente 'b' ?

8. Pour une section rectangulaire, la contrainte de cisaillement maximale est :

Glossaire

Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Contrainte interne agissant parallèlement à la section transversale d'un matériau, résultant d'un effort tranchant.
Effort Tranchant (\(V\))
Somme algébrique des forces transversales agissant sur une section d'une poutre. Il mesure la tendance au cisaillement de la section.
Moment Statique (\(Q\))
Aussi appelé premier moment d'aire. Pour le calcul de la contrainte de cisaillement, c'est le moment statique de l'aire de la section au-delà du point où \(\tau\) est calculée, par rapport à l'axe neutre.
Moment d'Inertie (\(I\))
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion. Un \(I\) élevé signifie une plus grande rigidité en flexion.
Formule de Colignon (ou de Jourawski)
Formule \(\tau = VQ/(Ib)\) utilisée pour calculer la distribution de la contrainte de cisaillement dans une section de poutre soumise à un effort tranchant.
Fibre Neutre (ou Axe Neutre)
Ligne ou surface à l'intérieur d'une section fléchie où la contrainte de flexion (et la déformation longitudinale) est nulle. C'est souvent l'axe où la contrainte de cisaillement due à l'effort tranchant est maximale.
Calcul de la Contrainte de Cisaillement - Exercice d'Application

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