Études de cas pratique

EGC

Résistance au Cisaillement d’un Sol

Calcul de la Résistance au Cisaillement d’un Sol en Géotechnique

Calcul de la Résistance au Cisaillement d’un Sol en Géotechnique

Comprendre la Résistance au Cisaillement d'un Sol

La résistance au cisaillement d'un sol est sa capacité à résister aux forces qui tendent à faire glisser une partie du sol par rapport à une autre. C'est une propriété mécanique fondamentale en géotechnique, essentielle pour l'analyse de la stabilité des pentes naturelles et artificielles (talus), la capacité portante des fondations, la stabilité des murs de soutènement, et la conception des ouvrages en terre en général.

La résistance au cisaillement (\(\tau_f\)) est généralement décrite par le critère de rupture de Mohr-Coulomb :

\[\tau_f = c' + \sigma'_n \tan(\phi')\]

Où :

  • \(\tau_f\) est la résistance au cisaillement sur le plan de rupture.
  • \(c'\) est la cohésion effective du sol (résistance au cisaillement lorsque la contrainte normale effective est nulle).
  • \(\sigma'_n\) est la contrainte normale effective agissant sur le plan de rupture.
  • \(\phi'\) est l'angle de frottement interne effectif du sol (caractérise la résistance due au frottement entre les grains).

Ces paramètres (\(c'\) et \(\phi'\)) sont déterminés expérimentalement en laboratoire, le plus souvent à l'aide d'essais de cisaillement direct (boîte de Casagrande) ou d'essais triaxiaux.

Données de l'étude

Des essais de cisaillement direct ont été réalisés sur des échantillons d'un sol sableux. Les résultats suivants ont été obtenus à la rupture pour différentes contraintes normales appliquées :

Essai N° Contrainte Normale (\(\sigma_n\)) [kPa] Contrainte de Cisaillement à la Rupture (\(\tau_f\)) [kPa]
1 50 29.0
2 100 57.7
3 150 86.6

On suppose que les contraintes données sont des contraintes effectives (\(\sigma'_n\)).

Schéma : Essai de Cisaillement Direct et Enveloppe de Mohr-Coulomb
Sol Plan de Cisaillement σn τf Boîte de Cisaillement σ'n τf τf = c' + σ'n tan(φ') c' Enveloppe de Rupture Résistance au Cisaillement

Schéma d'un essai de cisaillement direct et de l'enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb.

Questions à traiter

  1. Représenter graphiquement les points (\(\sigma'_n, \tau_f\)) et tracer la droite de rupture de Mohr-Coulomb.
  2. Déterminer graphiquement (ou par calcul à partir de deux points) la cohésion effective (\(c'\)) et l'angle de frottement interne effectif (\(\phi'\)) du sol.
  3. Calculer la résistance au cisaillement (\(\tau_f\)) du sol pour une contrainte normale effective \(\sigma'_n = 120 \, \text{kPa}\) en utilisant les paramètres \(c'\) et \(\phi'\) déterminés.

Correction : Calcul de la Résistance au Cisaillement d’un Sol

Question 1 : Représentation Graphique

Principe :

On place les points donnés dans un graphique avec la contrainte normale (\(\sigma'_n\)) en abscisse et la contrainte de cisaillement à la rupture (\(\tau_f\)) en ordonnée. La droite de Mohr-Coulomb est la meilleure droite passant par ces points.

Points à tracer : (50, 29.0), (100, 57.7), (150, 86.6).

Le graphique ci-dessus montre les points expérimentaux et la droite de Mohr-Coulomb ajustée.

Résultat Question 1 : Les points sont tracés sur le graphique ci-dessus.

Question 2 : Détermination de \(c'\) et \(\phi'\)

Principe :

L'équation de la droite de Mohr-Coulomb est \(\tau_f = c' + \sigma'_n \tan(\phi')\). La cohésion \(c'\) est l'ordonnée à l'origine de cette droite. L'angle de frottement \(\phi'\) est tel que \(\tan(\phi')\) est la pente de la droite.

Pour calculer la pente, on peut utiliser deux points, par exemple l'essai 1 (\(\sigma'_{n1}=50, \tau_{f1}=29.0\)) et l'essai 3 (\(\sigma'_{n3}=150, \tau_{f3}=86.6\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Pente} = \tan(\phi') = \frac{\tau_{f3} - \tau_{f1}}{\sigma'_{n3} - \sigma'_{n1}}\] \[c' = \tau_{f1} - \sigma'_{n1} \tan(\phi')\]
Calcul de \(\tan(\phi')\) (pente) :
\[ \begin{aligned} \tan(\phi') &= \frac{86.6 \, \text{kPa} - 29.0 \, \text{kPa}}{150 \, \text{kPa} - 50 \, \text{kPa}} \\ &= \frac{57.6 \, \text{kPa}}{100 \, \text{kPa}} \\ &= 0.576 \end{aligned} \]
Calcul de \(\phi'\) :
\[ \begin{aligned} \phi' &= \arctan(0.576) \\ &\approx 29.947^\circ \end{aligned} \]

On arrondit \(\phi' \approx 30.0^\circ\). (Note: les valeurs ont été choisies pour se rapprocher de 30°).

Calcul de \(c'\) :

En utilisant le point de l'essai 1 et \(\tan(\phi') = 0.576\) (ou \(\tan(30^\circ) \approx 0.57735\)) :

\[ \begin{aligned} c' &= 29.0 \, \text{kPa} - 50 \, \text{kPa} \times 0.576 \\ &= 29.0 - 28.8 \\ &= 0.2 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Étant donné la nature du sol (sableux) et la faible valeur, on peut considérer \(c' \approx 0 \, \text{kPa}\), ce qui est typique pour un sable propre. Les petites valeurs peuvent être dues à des imprécisions d'essai ou à une légère cimentation.

Résultat Question 2 : L'angle de frottement interne effectif est \(\phi' \approx 30.0^\circ\) et la cohésion effective est \(c' \approx 0.2 \, \text{kPa}\) (souvent prise comme \(0 \, \text{kPa}\) pour un sable propre).

Question 3 : Résistance au Cisaillement pour \(\sigma'_n = 120 \, \text{kPa}\)

Principe :

On utilise l'équation de Mohr-Coulomb avec les paramètres \(c'\) et \(\phi'\) déterminés et la nouvelle contrainte normale effective.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau_f = c' + \sigma'_n \tan(\phi')\]
Données spécifiques :
  • Cohésion (\(c'\)) : \(0.2 \, \text{kPa}\)
  • Angle de frottement (\(\phi'\)) : \(30.0^\circ\) (\(\tan(30^\circ) \approx 0.57735\))
  • Contrainte normale effective (\(\sigma'_n\)) : \(120 \, \text{kPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_f &= 0.2 \, \text{kPa} + 120 \, \text{kPa} \times \tan(30.0^\circ) \\ &\approx 0.2 + 120 \times 0.57735 \\ &\approx 0.2 + 69.282 \\ &\approx 69.482 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

On arrondit à \(\tau_f \approx 69.5 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 3 : La résistance au cisaillement pour \(\sigma'_n = 120 \, \text{kPa}\) est \(\tau_f \approx 69.5 \, \text{kPa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour un sol purement cohérent (comme une argile saturée non drainée), quel paramètre de la loi de Mohr-Coulomb est prédominant ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

4. L'angle de frottement interne (\(\phi'\)) d'un sol représente :

5. Si la cohésion \(c'\) d'un sol augmente, sa résistance au cisaillement pour une même contrainte normale :

6. L'essai de cisaillement direct permet de déterminer :

Glossaire

Résistance au Cisaillement (\(\tau_f\))
Contrainte tangentielle maximale qu'un sol peut supporter avant de rompre par glissement.
Cohésion Effective (\(c'\))
Partie de la résistance au cisaillement d'un sol qui est indépendante de la contrainte normale effective. Elle est due aux forces d'attraction entre les particules (surtout dans les argiles).
Angle de Frottement Interne Effectif (\(\phi'\))
Paramètre caractérisant la résistance au cisaillement d'un sol due au frottement et à l'imbrication des grains, sous l'effet d'une contrainte normale effective.
Contrainte Normale Effective (\(\sigma'_n\))
Force normale agissant sur une surface, divisée par cette surface, et supportée par le squelette solide du sol (contrainte totale moins la pression interstitielle).
Critère de Rupture de Mohr-Coulomb
Modèle mathématique décrivant la condition de rupture d'un matériau (comme le sol) sous l'effet combiné de contraintes normales et de cisaillement. \(\tau_f = c' + \sigma'_n \tan(\phi')\).
Essai de Cisaillement Direct
Essai de laboratoire permettant de mesurer la résistance au cisaillement d'un échantillon de sol en le soumettant à une contrainte normale et en appliquant une contrainte de cisaillement jusqu'à la rupture sur un plan prédéfini.
Calcul de la Résistance au Cisaillement d’un Sol - Exercice d'Application Géotechnique

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