Calcul de la contrainte ultime sur une semelle
Comprendre le Calcul de la contrainte ultime sur une semelle
Dans le cadre d’un projet de construction d’un bâtiment résidentiel, il est nécessaire de concevoir les fondations qui supporteront les charges de la structure. Une des solutions envisagées est l’utilisation d’une semelle rectangulaire. Pour assurer la sécurité et la stabilité de la construction, il est crucial de déterminer la contrainte ultime du sol sous cette semelle.
Pour comprendre la Capacité Portante d’une Semelle Isolée, cliquez sur le lien.
Données fournies :
- Dimensions de la semelle rectangulaire :
- Longueur, L = 2 m
- Largeur, B = 1 m
- Caractéristiques du sol :
- Cohésion (c) = 25 kN/m²
- Angle de frottement interne (φ) = 30°
- Poids volumique du sol (γ) = 18 kN/m³
- Profondeur de la fondation (Df) = 1.5 m
- Facteur de sécurité (FS) requis = 3

Question : Calculer la contrainte ultime (qu) que le sol peut supporter sous la semelle rectangulaire en considérant une marge de sécurité.
Correction : Calcul de la contrainte ultime sur une semelle
1. Calcul de la contrainte à la base de la fondation (q)
La contrainte à la base de la fondation est calculée pour déterminer la pression que le sol supporte directement sous la semelle, due uniquement à la profondeur de la fondation.
Formule:
\[ q = \gamma \times D_f \]
Données:
- Poids volumique du sol (\(\gamma\)) = 18 kN/m\(^3\)
- Profondeur de la fondation (\(D_f\)) = 1.5 m
Calcul:
\[ q = 18 \, \text{kN/m}^3 \times 1.5 \, \text{m} \] \[ q = 27 \, \text{kN/m}^2 \]
2. Détermination des facteurs de capacité portante (Nq, Nc, N\(\gamma\))
a) Calcul de Nq:
Le facteur de capacité portante Nq dépend de l’angle de frottement interne du sol et augmente avec cet angle, reflétant l’augmentation de la résistance du sol due au frottement.
Formule:
\[ N_q = e^{\pi \tan(\phi)} \times \tan^2 \left(45^\circ + \frac{\phi}{2}\right) \]
Données:
- Angle de frottement interne (\(\phi\)) = \(30^\circ\)
Calcul:
\[ N_q = e^{\pi \tan(30^\circ)} \times \tan^2(60^\circ) \] \[ N_q \approx 18.4 \]
b) Calcul de Nc:
Nc est le facteur de capacité portante lié à la cohésion du sol, augmentant avec Nq et l’angle de frottement.
Formule:
\[ N_c = \frac{N_q – 1}{\tan(\phi)} \]
Calcul:
\[ N_c = \frac{18.4 – 1}{\tan(30^\circ)} \] \[ N_c \approx 30.1 \]
c) Calcul de N\(\gamma\):
N\(\gamma\) est un facteur de capacité portante qui prend en compte le poids volumique du sol.
Formule:
\[ N_\gamma = 2(N_q + 1) \tan(\phi) \]
Calcul:
\[ N_\gamma = 2(18.4 + 1) \times 0.577 \] \[ N_\gamma \approx 22.3 \]
3. Calcul de la contrainte ultime (qu)
La contrainte ultime est la charge maximale que le sol peut supporter sans risque de défaillance, en considérant les contributions de la cohésion du sol, de la contrainte à la base et du poids du sol.
Formule:
\[ qu = c’N_c + qN_q + 0.5 \gamma B N_\gamma \]
Données:
- Cohésion (c) = 25 kN/m\(^2\)
- Largeur (B) = 1 m
Calcul:
\[ qu = 25 \times 30.1 + 27 \times 18.4 + 0.5 \times 18 \times 1 \times 22.3 \] \[ qu = 752.5 + 496.8 + 200.7 \] \[ qu = 1450 \, \text{kN/m}^2 \]
4. Application du Facteur de Sécurité (FS)
Le facteur de sécurité est utilisé pour garantir que la fondation ne sera pas soumise à des charges supérieures à sa capacité portante calculée sous conditions normales d’utilisation.
Formule:
\[ qu_{net} = \frac{qu}{FS} \]
Données:
- \(Facteur de sécurité (FS) = 3\)
Calcul:
\[ qu_{net} = \frac{1450}{3} \] \[ qu_{net} \approx 483.3 \, \text{kN/m}^2 \]
Conclusion:
La contrainte ultime nette que le sol peut supporter sous la semelle rectangulaire, après application du facteur de sécurité, est d’environ 483.3 kN/m\(^2\), ce qui devrait être comparé aux charges prévues de la construction pour confirmer l’adéquation de la solution de fondation choisie.
Calcul de la contrainte ultime sur une semelle
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