Études de cas pratique

EGC

Calcul de la contrainte ultime sur une semelle

Calcul de la Contrainte Ultime sur une Semelle

Calcul de la Contrainte Ultime sur une Semelle

Comprendre la Capacité Portante Ultime

La capacité portante ultime (\(q_u\)) d'un sol sous une fondation représente la pression maximale que le sol peut supporter juste avant la rupture par cisaillement. C'est une valeur théorique qui est ensuite divisée par un facteur de sécurité pour obtenir la capacité portante admissible, utilisée en conception. Le calcul de \(q_u\) pour les fondations superficielles fait intervenir les caractéristiques de résistance au cisaillement du sol (cohésion \(c'\) et angle de frottement interne \(\phi'\)), le poids volumique du sol (\(\gamma\)), ainsi que la géométrie de la fondation (largeur \(B\), profondeur d'ancrage \(D_f\)). La formule de Terzaghi est l'une des méthodes classiques pour cette estimation.

Données de l'étude

Une semelle filante (fondation continue) de largeur \(B = 1.8 \, \text{m}\) est prévue pour être fondée à une profondeur \(D_f = 1.2 \, \text{m}\) dans un sol argileux limoneux. La nappe phréatique est située bien en dessous du niveau de la fondation et n'influence pas les calculs.

Caractéristiques du sol d'assise :

  • Poids volumique total du sol (\(\gamma\)) : \(18.5 \, \text{kN/m}^3\)
  • Cohésion effective (\(c'\)) : \(12 \, \text{kPa}\)
  • Angle de frottement interne effectif (\(\phi'\)) : \(28^\circ\)

Facteurs de portance de Terzaghi pour \(\phi' = 28^\circ\) :

  • \(N_c = 25.80\)
  • \(N_q = 14.72\)
  • \(N_\gamma = 16.72\)

On utilisera la formule de Terzaghi pour une semelle filante.

Objectif : Calculer la capacité portante ultime brute (\(q_u\)) du sol sous la semelle.

Schéma : Semelle Filante et Mécanisme de Rupture (Conceptuel)
Sol (γ, c', φ') Semelle Charge Q Surface de rupture B = 1.8 m Df=1.2m Surface du Sol

Semelle filante et concept de la surface de rupture sous la fondation.

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte de surcharge effective (\(q\)) au niveau de la base de la fondation.
  2. Calculer le terme de cohésion (\(T_c\)) de la formule de Terzaghi.
  3. Calculer le terme de surcharge (\(T_q\)) de la formule de Terzaghi.
  4. Calculer le terme de poids du sol (\(T_\gamma\)) de la formule de Terzaghi.
  5. Calculer la capacité portante ultime brute (\(q_u\)) du sol.

Correction : Calcul de la Contrainte Ultime sur une Semelle

Question 1 : Calcul de la Contrainte de Surcharge Effective (\(q\))

Principe :

La contrainte de surcharge effective (\(q\)) au niveau de la base de la fondation est le poids des terres situées au-dessus de ce niveau. Puisque la nappe phréatique est à grande profondeur, cette contrainte est calculée en multipliant le poids volumique total du sol (\(\gamma\)) par la profondeur d'ancrage de la fondation (\(D_f\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[q = \gamma \cdot D_f\]
Données spécifiques :
  • Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(18.5 \, \text{kN/m}^3\)
  • Profondeur d'ancrage (\(D_f\)) : \(1.2 \, \text{m}\)
Calcul de la contrainte de surcharge :
\[ \begin{aligned} q &= 18.5 \, \text{kN/m}^3 \cdot 1.2 \, \text{m} \\ &= 22.2 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 22.2 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La contrainte de surcharge effective à la base de la fondation est \(q = 22.2 \, \text{kPa}\).

Question 2 : Calcul du Terme de Cohésion (\(T_c\))

Principe :

Le terme de cohésion (\(T_c\)) dans la formule de capacité portante de Terzaghi représente la contribution de la cohésion du sol à la résistance. Il est calculé comme le produit de la cohésion effective (\(c'\)) et du facteur de portance relatif à la cohésion (\(N_c\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_c = c' \cdot N_c\]
Données spécifiques :
  • Cohésion effective (\(c'\)) : \(12 \, \text{kPa}\)
  • Facteur de portance (\(N_c\)) : \(25.80\)
Calcul du terme de cohésion :
\[ \begin{aligned} T_c &= 12 \, \text{kPa} \cdot 25.80 \\ &= 309.6 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le terme de cohésion est \(T_c = 309.6 \, \text{kPa}\).

Question 3 : Calcul du Terme de Surcharge (\(T_q\))

Principe :

Le terme de surcharge (\(T_q\)) représente la contribution de la contrainte de surcharge effective au niveau de la base de la fondation à la capacité portante. Il est calculé comme le produit de la contrainte de surcharge (\(q\)) et du facteur de portance relatif à la surcharge (\(N_q\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_q = q \cdot N_q\]
Données spécifiques :
  • Contrainte de surcharge (\(q\)) : \(22.2 \, \text{kPa}\)
  • Facteur de portance (\(N_q\)) : \(14.72\)
Calcul du terme de surcharge :
\[ \begin{aligned} T_q &= 22.2 \, \text{kPa} \cdot 14.72 \\ &\approx 326.784 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le terme de surcharge est \(T_q \approx 326.78 \, \text{kPa}\).

Question 4 : Calcul du Terme de Poids du Sol (\(T_\gamma\))

Principe :

Le terme de poids du sol (\(T_\gamma\)) représente la contribution du poids du sol situé sous le niveau de la base de la fondation et impliqué dans le mécanisme de rupture. Pour une semelle filante, il est calculé comme \(0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_\gamma\), où \(\gamma\) est le poids volumique du sol sous la fondation, \(B\) est la largeur de la semelle, et \(N_\gamma\) est le facteur de portance relatif au poids du sol.

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_\gamma = 0.5 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_\gamma\]
Données spécifiques :
  • Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(18.5 \, \text{kN/m}^3\)
  • Largeur de la semelle (\(B\)) : \(1.8 \, \text{m}\)
  • Facteur de portance (\(N_\gamma\)) : \(16.72\)
Calcul du terme de poids du sol :
\[ \begin{aligned} T_\gamma &= 0.5 \cdot 18.5 \, \text{kN/m}^3 \cdot 1.8 \, \text{m} \cdot 16.72 \\ &= 0.5 \cdot 18.5 \cdot 1.8 \cdot 16.72 \, \text{kPa} \\ &\approx 278.388 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le terme de poids du sol est \(T_\gamma \approx 278.39 \, \text{kPa}\).

Question 5 : Calcul de la Capacité Portante Ultime Brute (\(q_u\))

Principe :

La capacité portante ultime brute (\(q_u\)) est la somme des trois termes calculés précédemment : le terme de cohésion, le terme de surcharge et le terme de poids du sol. C'est la pression totale maximale que le sol peut supporter à la base de la fondation avant rupture.

Formule(s) utilisée(s) :
\[q_u = T_c + T_q + T_\gamma\]
Données spécifiques :
  • Terme de cohésion (\(T_c\)) : \(309.6 \, \text{kPa}\)
  • Terme de surcharge (\(T_q\)) : \(\approx 326.784 \, \text{kPa}\)
  • Terme de poids du sol (\(T_\gamma\)) : \(\approx 278.388 \, \text{kPa}\)
Calcul de la capacité portante ultime brute :
\[ \begin{aligned} q_u &= 309.6 \, \text{kPa} + 326.784 \, \text{kPa} + 278.388 \, \text{kPa} \\ &= 914.772 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La capacité portante ultime brute du sol sous la semelle est \(q_u \approx 914.77 \, \text{kPa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la profondeur d'ancrage \(D_f\) de la semelle augmentait, comment cela affecterait-il principalement la capacité portante ultime brute \(q_u\) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. La capacité portante d'un sol est sa capacité à :

7. La formule de Terzaghi pour la capacité portante tient compte de :

8. Le terme \(qN_q\) dans la formule de Terzaghi représente la contribution à la capacité portante due :

Glossaire

Capacité Portante Ultime (\(q_u\))
Pression maximale que le sol peut supporter à la base d'une fondation avant la rupture par cisaillement. On parle aussi de contrainte de rupture.
Capacité Portante Admissible (\(q_{\text{adm}}\))
Pression maximale que la fondation peut exercer sur le sol en service, obtenue en divisant la capacité portante ultime (généralement nette) par un facteur de sécurité.
Contrainte de Surcharge (\(q\) ou \(\sigma'_{v0}\) à \(D_f\))
Contrainte effective verticale due au poids des terres au niveau de la base de la fondation avant l'application de la charge de l'ouvrage.
Cohésion Effective (\(c'\))
Composante de la résistance au cisaillement d'un sol qui est indépendante de la contrainte normale effective.
Angle de Frottement Interne Effectif (\(\phi'\))
Paramètre du sol qui caractérise sa résistance au cisaillement due au frottement entre les particules.
Facteurs de Portance (\(N_c, N_q, N_\gamma\))
Coefficients adimensionnels utilisés dans les formules de capacité portante (comme celle de Terzaghi), dépendant principalement de l'angle de frottement interne du sol \(\phi'\).
Semelle Filante
Fondation superficielle continue, généralement sous un mur, ayant une longueur significativement plus grande que sa largeur.
Poids Volumique (\(\gamma\))
Poids d'un matériau par unité de volume.
Rupture par Cisaillement (Sol)
Mode de défaillance du sol sous une fondation lorsque les contraintes de cisaillement induites dépassent la résistance au cisaillement du sol.
Calcul de la Contrainte Ultime sur une Semelle - Exercice d'Application

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