Calcul du Coefficient de Consolidation

Principe :

On reporte les lectures du comparateur (axe des ordonnées, décroissant vers le bas pour représenter le tassement) en fonction de la racine carrée du temps (axe des abscisses).

Principe :

1. Tracer la partie initiale de la courbe (déformation en fonction de \(\sqrt{t}\)). Elle devrait être approximativement une droite.

2. Prolonger cette droite jusqu'à l'axe des ordonnées (\(\sqrt{t}=0\)). L'intersection donne la lecture initiale corrigée \(d_0\).

3. Tracer une seconde droite partant de \(d_0\) avec une pente égale à 1.15 fois la pente de la première droite.

4. L'intersection de cette seconde droite avec la courbe de consolidation expérimentale donne le point correspondant à 90% de consolidation primaire. La lecture du comparateur à ce point est \(d_{90}\).

Pour déterminer \(d_{100}\) (nécessaire pour \(d_{50}\) plus tard) : l'abscisse de \(d_{90}\) est \(\sqrt{t_{90}}\). Le point \(d_{100}\) est trouvé en notant que la distance sur l'axe des \(\sqrt{t}\) entre l'origine et \(\sqrt{t_{90}}\) est \(X\). La distance entre l'origine et \(\sqrt{t_{100}}\) serait \(X/0.9\), ou plus simplement, la déformation entre \(d_0\) et \(d_{100}\) est \(10/9\) fois la déformation entre \(d_0\) et \(d_{90}\). Donc, \(d_{100} = d_0 - \frac{10}{9}(d_0 - d_{90})\).

Application Graphique (Approximative) :

En examinant les premières données :

• Pour \(\sqrt{t}\) de 0 à 1.0, les lectures passent de 5.000 à 4.820. Pente \(\approx (4.820-5.000)/1.0 = -0.18\).
• Si on prolonge cette droite, \(d_0\) est proche de 5.000 mm (la première lecture est souvent prise comme \(d_0\) si la courbe part bien linéairement). Admettons \(d_0 = 5.000 \, \text{mm}\) pour simplifier (en pratique, on ajuste graphiquement).
• Pente de la seconde droite : \(1.15 \times (-0.18) = -0.207\).

En traçant cette seconde droite et en cherchant l'intersection avec la courbe des données (ou en interpolant dans le tableau) :

Par exemple, si \(\sqrt{t} = 4.0\), \(d = 4.320\). La droite théorique à 1.15 fois la pente passerait par \(d_0 - 0.207 \times 4.0 = 5.000 - 0.828 = 4.172\). La valeur expérimentale est 4.320.
Si \(\sqrt{t} = 4.5\), \(d = 4.265\). La droite théorique : \(5.000 - 0.207 \times 4.5 = 5.000 - 0.9315 = 4.0685\).
L'intersection se situe entre ces points. Une construction graphique soignée est nécessaire.
Supposons qu'une analyse graphique précise donne : \(\sqrt{t_{90}} \approx 4.2 \, \text{min}^{0.5}\) et la lecture correspondante \(d_{90} \approx 4.29 \, \text{mm}\). (Ces valeurs sont illustratives pour la suite des calculs).

Principe :

Une fois \(\sqrt{t_{90}}\) déterminé graphiquement, on calcule \(t_{90}\) en élevant cette valeur au carré.

Calcul (avec la valeur supposée de \(\sqrt{t_{90}}\)) :

Principe :

Pour calculer \(H_{50}\), il faut d'abord estimer \(d_{100}\) (lecture à 100% de consolidation primaire) et \(d_{50}\) (lecture à 50% de consolidation primaire).

Méthode de Taylor pour \(d_{100}\): La déformation totale de consolidation primaire \(\Delta d_p = d_0 - d_{100}\). On a \(d_0 - d_{90} = 0.9 \Delta d_p\). Donc \(\Delta d_p = (d_0 - d_{90}) / 0.9\). Et \(d_{100} = d_0 - \Delta d_p\).

Ensuite, \(d_{50} = d_0 - 0.5 \Delta d_p\). La hauteur de l'échantillon à 50% de consolidation est \(H_{50} = H_i - (d_0 - d_{50})\) si \(d_0\) est la lecture initiale du comparateur et \(d_{50}\) la lecture à U=50%. Ou plus simplement, si \(d\) représente le tassement, \(H_{50} = H_i - \text{tassement à U=50%}\).
Si les lectures \(d\) sont les tassements cumulés (en partant de 0), alors \(H_{50} = H_i - d_{50}\).
Si les lectures \(d\) sont les lectures du comparateur (comme ici, où \(d\) diminue avec le tassement), le tassement à un instant \(t\) est \(S(t) = d_{initial\_comparateur} - d(t)\). Supposons que la lecture initiale du comparateur avant l'application de la charge était \(d_{comparateur\_zero}\). Alors \(d_0\) est la lecture après déformation instantanée.
Pour simplifier, considérons que les lectures \(d\) données sont les hauteurs restantes de l'échantillon (ce qui n'est pas standard, mais adaptons-nous aux données). Si \(d\) est la hauteur, alors \(d_0\) est la hauteur après tassement immédiat, et \(d_{100}\) la hauteur après consolidation primaire. Le tassement primaire est \(S_p = d_0 - d_{100}\). \(d_{50} = d_0 - 0.5 S_p\). \(H_{50}\) serait alors directement \(d_{50}\).
Correction d'interprétation des lectures : Les lectures du comparateur \(d\) mesurent le tassement. Une lecture plus faible signifie plus de tassement. \(d=5.000\) est la lecture initiale pour cet incrément de charge.
\(d_0 \approx 5.000 \, \text{mm}\) (lecture au début de la consolidation primaire pour cet incrément).
\(d_{90} \approx 4.29 \, \text{mm}\).
Tassement à 90% : \(S_{90} = d_0 - d_{90} = 5.000 - 4.29 = 0.71 \, \text{mm}\).
Tassement total primaire : \(S_{100} = S_{90} / 0.9 = 0.71 / 0.9 \approx 0.789 \, \text{mm}\).
Lecture à 100% : \(d_{100} = d_0 - S_{100} = 5.000 - 0.789 = 4.211 \, \text{mm}\).
Tassement à 50% : \(S_{50} = 0.5 \cdot S_{100} = 0.5 \cdot 0.789 \approx 0.3945 \, \text{mm}\).
Lecture à 50% : \(d_{50} = d_0 - S_{50} = 5.000 - 0.3945 = 4.6055 \, \text{mm}\).
La hauteur de l'échantillon au début de cet incrément était \(H_i = 20.00 \, \text{mm}\). Le tassement total pour cet incrément est \(S_{100}\).
Hauteur de l'échantillon à 50% de consolidation pour cet incrément : \(H_{50} = H_i - S_{50} = 20.00 - 0.3945 \approx 19.6055 \, \text{mm}\).

Principe :

La longueur du chemin de drainage dépend des conditions de drainage de l'échantillon. Pour un drainage double (l'eau peut s'échapper par le haut et par le bas), \(H_{dr}\) est la moitié de la hauteur moyenne de l'échantillon pendant la consolidation. Pour un drainage simple, \(H_{dr}\) est égal à la hauteur moyenne.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• Hauteur moyenne de l'échantillon (\(H_{50}\)) : \(\approx 19.61 \, \text{mm}\)
• Conditions de drainage : Double

Calcul :

Principe :

Le coefficient de consolidation \(c_v\) est calculé en utilisant la formule de Taylor :

Formule(s) utilisée(s) :

où \(T_v\) est le facteur temps. Pour \(U=90\%\) (90% de consolidation), \(T_v = 0.848\).

Données spécifiques :

• \(T_v = 0.848\) (pour U=90%)
• \(H_{dr} \approx 9.805 \, \text{mm}\)
• \(t_{90} \approx 17.64 \, \text{min}\)

Calcul :

Conversion en m\(^2\)/an (unités courantes) :

\(1 \, \text{mm}^2/\text{min} = 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{min}\)

\(1 \, \text{an} = 365 \cdot 24 \cdot 60 = 525600 \, \text{min}\)