Calcul de la Poussée des Terres

Comprendre le Calcul de la Poussée des Terres

Dans le cadre de la construction d’un nouveau complexe résidentiel, il est nécessaire de concevoir un mur de soutènement pour stabiliser un talus adjacent à l’espace de construction. Le mur doit retenir un sol granulaire dont les caractéristiques et les conditions sont décrites ci-dessous. L’exercice suivant vise à calculer la poussée des terres exercée sur le mur de soutènement et à déterminer les dimensions nécessaires pour la butée afin d’assurer la stabilité du mur.

Pour comprendre le Facteur de Sécurité et Glissements de Terrain, cliquez sur le lien.

Données:

Hauteur du mur de soutènement, H = 6 m
Angle de frottement interne du sol, $\phi$ = 30°
Poids volumique du sol sec, $\gamma_{\text{sec}}$ = 18 kN/m³
Coefficient de poussée au repos, K_0 (pour le calcul initial), supposé égal à 0.5
Angle d’inclinaison du mur avec la verticale, $\theta$ = 0° (mur vertical)
Angle d’inclinaison du terrain derrière le mur, $\beta$ = 0° (terrain horizontal)

Nous supposerons que le mur de soutènement est de type « poids-gravité » et que la semelle est rectangulaire (pour une longueur de 1 mètre en plan, c’est-à-dire par mètre linéaire du mur).
Enfin, nous admettrons que le mur lui-même contribue à la masse résistant aux déplacements

Questions:

1. Calculer la poussée active $(P_a)$ exercée par le sol sur le mur de soutènement en utilisant la théorie de Rankine, sans surcharge.

2. Déterminer les dimensions minimales de la butée en considérant uniquement la résistance au glissement et au renversement, en supposant un coefficient de sécurité au glissement de 1.5 et un coefficient de sécurité au renversement de 2.

Correction : Calcul de la Poussée des Terres

Partie 1 – Calcul de la poussée active $P_a$ selon Rankine

1.1. Détermination du coefficient de poussée actif $K_a$

Pour un sol homogène, horizontal, et pour un mur vertical, la théorie de Rankine donne :

\[ K_a = \tan^2\Bigl(45^\circ – \frac{\varphi}{2}\Bigr) \]

En substituant $\varphi = 30^\circ$ :

\[ K_a = \tan^2\Bigl(45^\circ – 15^\circ\Bigr) = \tan^2(30^\circ) \]

Or,
$\tan(30^\circ) \approx 0,577$
donc :

\[ K_a \approx (0,577)^2 \approx 0,333 \]

1.2. Expression de la poussée active

La distribution de la pression active dans le sol est supposée varier linéairement (distribution triangulaire). La pression horizontale à une profondeur $ z $ est :

\[ \sigma_h(z) = K_a\,\gamma_{\rm sec}\,z \]

La poussée totale par unité de longueur du mur s’obtient par intégration sur la hauteur $ H $ :

\[ P_a = \int_{0}^{H} K_a\,\gamma_{\rm sec}\,z\,dz = K_a\,\gamma_{\rm sec}\,\frac{H^2}{2} \]

1.3. Calcul numérique

En substituant les données :

$K_a = 0,333$
$\gamma_{\rm sec} = 18\; \text{kN/m}^3$
$H = 6\; \text{m}$

nous avons :

\[ P_a = 0,333 \times 18 \times \frac{6^2}{2} \] \[ P_a = \approx 107,9\; \text{kN/m} \]

Conclusion partie 1 :
La poussée active exercée par le sol est d’environ 108 kN par mètre linéaire du mur.

Partie 2 – Dimensionnement simplifié de la butée (la semelle) : glissement et renversement

Nous allons déterminer quelles masses et dimensions de la semelle sont nécessaires pour contrer la poussée active. Nous noterons $ W $ la masse totale (en kN) résistant à l’action horizontale (cela inclut la masse du mur et de la semelle). Nous cherchons ensuite la largeur minimale $ B $ (en m) de la semelle par mètre linéaire.

2.1. Vérification contre le glissement

La force de glissement induite par la poussée active est $ P_a $. Pour éviter le glissement, la force de frottement mobilisée sous la semelle doit être supérieure à $ P_a $ multiplié par le facteur de sécurité.

La résistance au glissement est donnée par :

\[ F_{\rm frottement} = \mu\,W \]

La condition de stabilité (avec $ FS_{\rm glissement} $) s’écrit :

\[ \mu\,W \ge FS_{\rm glissement}\times P_a \]

En imposant $ FS_{\rm glissement} = 1{,}5 $, on a :

\[ W \ge \frac{1{,}5\,P_a}{\mu} \]

En substituant $ P_a \approx 107,9\; \text{kN} $ et $ \mu = 0,5 $ :

\[ W \ge \frac{1{,}5 \times 107,9}{0,5} = \frac{161,85}{0,5} = 323,7\; \text{kN} \]

Interprétation :
La masse totale (mur + semelle) par mètre linéaire doit être d’au moins 324 kN pour satisfaire le critère de glissement.

2.2. Vérification contre le renversement

Le moment renversant dû à la poussée active doit être compensé par le moment résistant dû au poids $ W $ de la structure.

Hypothèse de localisation des forces :

Pour un mur en poids-gravité, le résultat de la poussée active s’exerce selon une distribution triangulaire. On admet souvent que le résultant $ P_a $ agit à $\frac{H}{3}$ au-dessus de la base du mur.

Par ailleurs, en considérant une semelle rectangulaire de largeur $ B $ et en plaçant le mur au bord de la semelle (côté « appui arrière »), la résultante du poids $ W $ s’exerce approximativement au centre de la semelle, c’est-à-dire à une distance $\frac{B}{2}$ par rapport au bord d’appui (le « talus de renversement »).

La condition de stabilité au renversement (avec $ FS_{\rm renversement} $) s’exprime par :

\[ W \times \left(\frac{B}{2}\right) \ge FS_{\rm renversement}\times \left(P_a \times \frac{H}{3}\right) \]

Avec $ FS_{\rm renversement} = 2 $, nous avons :

\[ \frac{W\,B}{2} \ge 2\,P_a\,\frac{H}{3} \]

Isolons $ B $ :

\[ B \ge \frac{4\,P_a\,H}{3\,W} \]

En substituant $ P_a = 107,9\; \text{kN} $, $ H = 6\; \text{m} $ et la valeur minimale de $ W $ obtenue ci-dessus ($ W = 323,7\; \text{kN} $) :

\[ B \ge \frac{4 \times 107,9 \times 6}{3 \times 323,7} \] \[ B \ge \frac{2589,6}{971,1} \approx 2,667 \; \text{m} \]

Interprétation :
Pour satisfaire la condition de renversement, la largeur minimale de la semelle doit être d’environ 2,67 m (que l’on pourra arrondir à 2,7 m).

2.3. Synthèse du dimensionnement de la butée

Pour assurer la stabilité du mur de soutènement, nos deux vérifications imposent :

Glissement :
La masse totale (mur + semelle) doit être d’au moins 324 kN par mètre linéaire.
Renversement :
La largeur de la semelle doit être d’au moins 2,7 m.

Remarque :
Dans une conception détaillée, on dimensionnera également l’épaisseur de la semelle et l’on s’assurera que la répartition de la masse (et donc le positionnement de la ligne d’action de ( $W$ ) permette de rester dans la « tertre des trois tiers » (zone de pression sans tirant) sous la semelle.

Ici, nous avons choisi une approche simplifiée afin d’obtenir des valeurs indicatives.

Calcul de la Poussée des Terres

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