Études de cas pratique

EGC

Calcul de la pression appliquée sur le sol

Calcul de la Pression Appliquée sur le Sol

Calcul de la Pression Appliquée sur le Sol

Comprendre la Distribution des Contraintes dans le Sol

Lorsqu'une charge est appliquée à la surface du sol par une fondation, cette charge induit une augmentation des contraintes verticales dans le massif de sol sous-jacent. La connaissance de la distribution de ces contraintes en profondeur est essentielle pour évaluer les tassements des fondations et vérifier la capacité portante des couches de sol. La théorie de Boussinesq (pour un milieu élastique, homogène, isotrope et semi-infini) fournit des solutions pour calculer cette augmentation de contrainte. Cet exercice se concentre sur le calcul de l'augmentation de la contrainte verticale sous le coin d'une semelle rectangulaire uniformément chargée.

Données de l'étude

Une semelle de fondation rectangulaire de dimensions \(L \times B\) transmet une pression uniforme \(q\) à la surface d'un massif de sol.

Caractéristiques de la fondation et du chargement :

  • Longueur de la semelle (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la semelle (\(B\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Pression uniforme appliquée par la semelle (\(q\)) : \(150 \, \text{kPa}\)
  • Profondeur du point d'analyse sous un coin de la semelle (\(z\)) : \(2.0 \, \text{m}\)

On utilisera la méthode de Boussinesq pour une charge rectangulaire.

Schéma : Semelle Rectangulaire et Point d'Analyse
Surface du Sol Semelle (L x B) q P L = 4.0m B = 2.0m z = 2.0m Augmentation de contrainte Δσz à calculer au point P

Semelle rectangulaire appliquant une pression uniforme au sol. Calcul de l'augmentation de contrainte en profondeur.

Questions à traiter

  1. Définir et calculer les paramètres adimensionnels \(m = B/z\) et \(n = L/z\).
  2. Le facteur d'influence \(I_{\sigma}\) pour le calcul de l'augmentation de contrainte verticale sous le coin d'une aire rectangulaire chargée uniformément est donné par une abaque ou une formule. Pour \(m=1.0\) et \(n=2.0\), on donne \(I_{\sigma} \approx 0.1999\). Utiliser cette valeur.
  3. Calculer l'augmentation de la contrainte verticale (\(\Delta\sigma_z\)) au point P situé à la profondeur \(z\) sous le coin de la semelle.
  4. Si l'on souhaitait calculer l'augmentation de contrainte sous le centre de la semelle, comment pourrait-on utiliser le principe de superposition avec la solution pour le coin ?

Correction : Calcul de la Pression Appliquée sur le Sol

Question 1 : Calcul des Paramètres \(m\) et \(n\)

Principe :

Les paramètres \(m\) et \(n\) sont des rapports adimensionnels entre les dimensions de la semelle (largeur \(B\) et longueur \(L\)) et la profondeur (\(z\)) du point où l'on calcule la contrainte.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ m = \frac{B}{z} \] \[ n = \frac{L}{z} \]
Données spécifiques :
  • Largeur de la semelle (\(B\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Longueur de la semelle (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Profondeur (\(z\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ m = \frac{2.0 \, \text{m}}{2.0 \, \text{m}} = 1.0 \]
\[ n = \frac{4.0 \, \text{m}}{2.0 \, \text{m}} = 2.0 \]
Résultat Question 1 : Les paramètres sont \(m = 1.0\) et \(n = 2.0\).

Question 2 : Facteur d'Influence (\(I_{\sigma}\))

Principe :

Le facteur d'influence \(I_{\sigma}\) (parfois noté \(I_z\) ou \(I_c\)) dépend des rapports \(m\) et \(n\). Il est généralement obtenu à partir d'abaques (comme celui de Fadum) ou de formules complexes issues de l'intégration de la solution de Boussinesq pour une charge ponctuelle sur une surface rectangulaire.

Donnée fournie :

Pour \(m=1.0\) et \(n=2.0\), le facteur d'influence est donné :

\[ I_{\sigma} \approx 0.1999 \]

Nous utiliserons \(I_{\sigma} = 0.200\) pour simplifier les calculs suivants.

Résultat Question 2 : Le facteur d'influence est \(I_{\sigma} = 0.200\).

Question 3 : Calcul de l'Augmentation de Contrainte Verticale (\(\Delta\sigma_z\))

Principe :

L'augmentation de la contrainte verticale (\(\Delta\sigma_z\)) à une profondeur \(z\) sous le coin d'une aire rectangulaire uniformément chargée avec une pression \(q\) est donnée par la formule de Boussinesq adaptée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta\sigma_z = q \cdot I_{\sigma} \]
Données spécifiques :
  • Pression uniforme (\(q\)) : \(150 \, \text{kPa}\)
  • Facteur d'influence (\(I_{\sigma}\)) : \(0.200\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta\sigma_z &= (150 \, \text{kPa}) \cdot 0.200 \\ &= 30.0 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'augmentation de la contrainte verticale à \(2.0 \, \text{m}\) de profondeur sous le coin de la semelle est \(\Delta\sigma_z = 30.0 \, \text{kPa}\).

Question 4 : Calcul de \(\Delta\sigma_z\) sous le Centre de la Semelle

Principe :

Pour calculer l'augmentation de contrainte sous le centre d'une semelle rectangulaire en utilisant la solution pour le coin, on utilise le principe de superposition. On divise la semelle en quatre rectangles identiques dont un coin commun est le centre de la semelle d'origine. Les dimensions de chaque "sous-rectangle" seront \(L/2\) et \(B/2\). L'augmentation de contrainte sous le centre de la semelle d'origine est alors la somme des augmentations de contrainte dues à ces quatre sous-rectangles, chacune calculée sous leur coin commun (qui est le centre de la semelle d'origine).

Pour chaque sous-rectangle :

  • Nouvelle largeur \(B' = B/2\)
  • Nouvelle longueur \(L' = L/2\)

On calcule de nouveaux paramètres \(m' = B'/z\) et \(n' = L'/z\), on trouve le \(I'_{\sigma}\) correspondant, et l'augmentation de contrainte due à un sous-rectangle est \(\Delta\sigma'_{z,coin} = q \cdot I'_{\sigma}\). L'augmentation totale sous le centre est alors \( \Delta\sigma_{z,centre} = 4 \cdot \Delta\sigma'_{z,coin} \).

Résultat Question 4 : Pour calculer \(\Delta\sigma_z\) sous le centre, on divise la semelle en quatre rectangles de dimensions \(L/2 \times B/2\), on calcule \(\Delta\sigma_z\) sous le coin commun de ces quatre rectangles (qui est le centre de la grande semelle) en utilisant le facteur d'influence pour \(m'=(B/2)/z\) et \(n'=(L/2)/z\), puis on multiplie le résultat par 4.

Quiz Intermédiaire 1 : L'augmentation de la contrainte verticale dans le sol due à une charge en surface :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La théorie de Boussinesq pour le calcul des contraintes dans le sol suppose que le sol est :

2. Le facteur d'influence \(I_{\sigma}\) dans le calcul de \(\Delta\sigma_z\) sous le coin d'une semelle rectangulaire dépend :

Glossaire

Contrainte Verticale dans le Sol (\(\sigma_z\))
Pression exercée par le sol ou par des charges appliquées sur un plan horizontal à une certaine profondeur.
Augmentation de Contrainte Verticale (\(\Delta\sigma_z\))
Accroissement de la contrainte verticale en un point du sol dû à l'application d'une charge en surface (par exemple, par une fondation).
Théorie de Boussinesq
Théorie mathématique utilisée pour calculer la distribution des contraintes dans un massif de sol élastique, homogène, isotrope et semi-infini, due à une charge appliquée en surface.
Facteur d'Influence (\(I_{\sigma}\))
Coefficient adimensionnel, dépendant de la géométrie du problème (forme de la charge, position du point d'analyse par rapport à la charge), utilisé dans les formules de Boussinesq pour calculer l'augmentation de contrainte.
Semelle Rectangulaire
Type de fondation superficielle de forme rectangulaire en plan, utilisée pour répartir les charges d'un mur ou de plusieurs poteaux rapprochés.
Pression Uniforme (\(q\))
Charge répartie de manière constante sur une surface, exprimée en force par unité d'aire (par exemple, kPa ou kN/m²).
Principe de Superposition
Principe applicable aux systèmes linéaires (comme un sol élastique), stipulant que l'effet combiné de plusieurs charges est la somme des effets de chaque charge appliquée individuellement.
Calcul de la Pression Appliquée sur le Sol - Exercice d'Application

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