Études de cas pratique

EGC

Calcul des Coefficients de Perméabilité

Calcul des Coefficients de Perméabilité

Comprendre le Calcul des Coefficients de Perméabilité

Vous êtes ingénieur en hydraulique et devez concevoir un système de drainage pour un terrain agricole à pente modérée. Le sol est stratifié en trois couches, chacune ayant une perméabilité distincte :

Couche A (de la surface jusqu’à 2 m) : Sable fin
Perméabilité mesurée : \(K_A = 1,2 \times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}\).

Couche B (de 2 m à 5 m) : Argile
Perméabilité mesurée : \(K_B = 0,5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m/s}\) (soit \(5,0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m/s}\)).

Couche C (de 5 m à 10 m) : Gravier
Perméabilité mesurée : \(K_C = 2,5 \times 10^{-2}\,\mathrm{m/s}\).

Le terrain présente un angle d’inclinaison moyen \(\theta = 5^\circ\) par rapport à l’horizontale, et la nappe phréatique se situe à une profondeur de 3 m.

Calcul des Coefficients de Perméabilité

1. Calculez les coefficients de perméabilité horizontale\((K_{he})\) et verticale \((K_{ve})\) pour chaque couche}, en tenant compte de la formule d’anisotropie :

\[ K_{he} = K \cdot \sin(\theta), \quad K_{ve} = K \cdot \cos(\theta). \]

2. Déterminez la perméabilité moyenne :

  • d’abord sur l’ensemble de l’épaisseur du sol (0 à 10 m),
  • puis pour la seule zone saturée (à partir de 3 m de profondeur, où la nappe est présente), en tenant compte de l’épaisseur de chaque couche.

3. Discutez les implications de ces résultats (anisotropie, fortes/faibles perméabilités, position de la nappe…) pour la conception du système de drainage : configuration et profondeur des drains, importance de l’argile comme couche à faible perméabilité, etc.

(Vous pouvez supposer que la perméabilité mesurée \(K\) correspond à l’orientation « neutre » et appliquer directement \(\sin(\theta)\) et \(\cos(\theta)\) pour en déduire \(K_{he}\) et \(K_{ve}\). En outre, considérez que la nappe phréatique sature complètement les couches sous 3 m de profondeur.)

Correction : Calcul des Coefficients de Perméabilité

Données Techniques:

  • Couche A : de 0 à 2 m (Sable fin), perméabilité mesurée \(K_A = 1,2 \times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}.\)
  • Couche B : de 2 à 5 m (Argile), perméabilité mesurée \(K_B = 0,5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m/s}\quad (\text{soit } 5,0\times 10^{-6}\,\mathrm{m/s}).\)
  • Couche C : de 5 à 10 m (Gravier), perméabilité mesurée \(K_C = 2,5 \times 10^{-2}\,\mathrm{m/s}.\)

De plus, le terrain présente un angle d’inclinaison moyen \(\theta = 5^\circ\) par rapport à l’horizontale, et la nappe phréatique se trouve à une profondeur de 3 m.

(Remarque : Au-delà de 3 m de profondeur, le sol est en principe saturé ; entre 0 et 3 m, il peut être partiellement ou non saturé, selon les conditions. Dans les calculs de conception de drainage, on considère souvent la partie saturée pour l’évaluation des débits et des coefficients effectifs.)

Formules Utilisées:

La formule (simplifiée) de perméabilité anisotrope donnée est :

\[ K_{he} = K \cdot \sin(\theta) \quad\text{et}\quad K_{ve} = K \cdot \cos(\theta) \]

où :

  • \(K\) est la perméabilité mesurée (en laboratoire ou in situ) en orientation « neutre ».
  • \(\theta\) est l’angle d’inclinaison du terrain par rapport à l’horizontale.

On utilisera les valeurs approchées suivantes :

\[ \sin(5^\circ) \approx 0,08716, \quad \cos(5^\circ) \approx 0,99619. \]

1. Calcul des Coefficients \(K_{he}\) et \(K_{ve}\) pour Chaque Couche

Nous appliquons directement les formules :

\[ K_{he} = K \cdot \sin(5^\circ), \quad K_{ve} = K \cdot \cos(5^\circ). \]

1.1. Couche A (Sable fin)
  • \(K_A = 1,2 \times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}.\)

\[ K_{he,A} = K_A \cdot \sin(5^\circ)
\] \[ K_{he,A} = 1,2 \times 10^{-3} \times 0,08716 \] \[ K_{he,A} \approx 1,05 \times 10^{-4}\,\mathrm{m/s} \]

\[ K_{ve,A} = K_A \cdot \cos(5^\circ)
\] \[ K_{ve,A} = 1,2 \times 10^{-3} \times 0,99619 \] \[ K_{ve,A} \approx 1,20 \times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}. \]

1.2. Couche B (Argile)
  • \(K_B = 0,5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m/s} = 5,0\times 10^{-6}\,\mathrm{m/s}.\)

\[ K_{he,B} = K_B \cdot \sin(5^\circ)
\] \[ K_{he,B} = 5,0\times 10^{-6} \times 0,08716 \] \[ K_{he,B} \approx 4,36 \times 10^{-7}\,\mathrm{m/s} \]

\[ K_{ve,B} = K_B \cdot \cos(5^\circ)
\] \[ K_{ve,B} = 5,0\times 10^{-6} \times 0,99619 \] \[ K_{ve,B} \approx 4,98 \times 10^{-6}\,\mathrm{m/s}. \]

1.3. Couche C (Gravier)
  • \(K_C = 2,5 \times 10^{-2}\,\mathrm{m/s} = 0,025\,\mathrm{m/s}.\)

\[ K_{he,C} = K_C \cdot \sin(5^\circ)
\] \[ K_{he,C} = 0,025 \times 0,08716 \] \[ K_{he,C} \approx 2,18 \times 10^{-3}\,\mathrm{m/s} \]

\[ K_{ve,C} = K_C \cdot \cos(5^\circ)
\] \[ K_{ve,C}= 0,025 \times 0,99619 \] \[ K_{ve,C}\approx 2,49 \times 10^{-2}\,\mathrm{m/s}. \]

Récapitulatif des \(K_{he}\) et \(K_{ve}\) :

– Couche A :

  • \(K_{he,A} \approx 1,05 \times 10^{-4}\,\mathrm{m/s}\)
  • \(K_{ve,A} \approx 1,20 \times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}.\)

– Couche B :

  • \(K_{he,B} \approx 4,36 \times 10^{-7}\,\mathrm{m/s}\)
  • \(K_{ve,B} \approx 4,98 \times 10^{-6}\,\mathrm{m/s}\)

– Couche C :

  • \(K_{he,C} \approx 2,18 \times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}\)
  • \(K_{ve,C} \approx 2,49 \times 10^{-2}\,\mathrm{m/s}\)

2. Calcul du Coefficient de Perméabilité Moyen

Le calcul du coefficient de perméabilité moyen peut se faire de plusieurs façons selon que l’on considère :

  1. L’ensemble du profil (0 à 10 m), indépendamment de la saturation.
  2. La seule zone saturée (sous la nappe, c’est-à-dire de 3 m à 10 m).

En pratique, pour un système de drainage, on s’intéresse souvent aux couches saturées, car ce sont elles qui influent directement sur les débits à drainer. Nous présenterons ci-dessous les deux méthodes de calcul.


2.1. Méthode de Pondération pour le Profil Complet (0 à 10 m)
Coefficient de Perméabilité Horizontale Moyen (\(K_{he,\text{total}}\)) :

Pour un flux horizontal global dans un milieu stratifié en parallèle (sur toute l’épaisseur), on fait une moyenne pondérée en fonction des hauteurs :

\[ K_{he,\text{total}}
= \frac{1}{H_{\text{total}}}\Bigl[ h_A\,K_{he,A} + h_B\,K_{he,B} + h_C\,K_{he,C} \Bigr], \]

avec \(H_{\text{total}} = 10\,\mathrm{m}\), \(h_A=2\,\mathrm{m}\), \(h_B=3\,\mathrm{m}\), \(h_C=5\,\mathrm{m}\).

  • \(h_A\,K_{he,A} = 2 \times 1,05\times 10^{-4} = 2,10\times 10^{-4}\)
  • \(h_B\,K_{he,B} = 3 \times 4,36\times 10^{-7} = 1,308\times 10^{-6}\)
  • \(h_C\,K_{he,C} = 5 \times 2,18\times 10^{-3} = 1,09\times 10^{-2}.\)

\[
\begin{aligned}
K_{he,\text{total}}
&= \frac{2,10\times 10^{-4} + 1,308\times 10^{-6} + 1,09\times 10^{-2}}{10}\\[8pt]
&\approx \frac{0,00021 + 0,000001308 + 0,0109}{10}\\[8pt]
&\approx \frac{0,011111308}{10}\\[8pt]
&\approx 1,11 \times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}.
\end{aligned}
\]

Coefficient de Perméabilité Verticale Moyen (\(K_{ve,\text{total}}\)) :

En régime de flux vertical à travers des couches superposées (en série), la perméabilité moyenne se calcule via la formule harmonique :

\[ \frac{1}{K_{ve,\text{total}}}
= \frac{1}{H_{\text{total}}} \Bigl[\frac{h_A}{K_{ve,A}} + \frac{h_B}{K_{ve,B}} + \frac{h_C}{K_{ve,C}}\Bigr]. \]

  • \(\frac{h_A}{K_{ve,A}} = \frac{2}{1,20\times 10^{-3}} \approx 1666,67,\)
  • \(\frac{h_B}{K_{ve,B}} = \frac{3}{4,98\times 10^{-6}} \approx 602409,64,\)
  • \(\frac{h_C}{K_{ve,C}} = \frac{5}{2,49\times 10^{-2}} \approx 200,80.\)

\[ \sum \frac{h_i}{K_{ve,i}} = 1666,67 + 602409,64 + 200,80 \] \[ \sum \frac{h_i}{K_{ve,i}} \approx 604277,11,\]

\[ \frac{1}{K_{ve,\text{total}}}
= \frac{604277,11}{10} \] \[ \frac{1}{K_{ve,\text{total}}} \approx 60427,71,\]

\[ K_{ve,\text{total}} \approx \frac{1}{60427,71} \approx 1,65 \times 10^{-5}\,\mathrm{m/s}.\]

⇒ Pour l’ensemble 0-10 m (hypothèse de saturation complète) :

\[ K_{he,\text{total}} \approx 1,11\times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}, \quad K_{ve,\text{total}} \approx 1,65\times 10^{-5}\,\mathrm{m/s}. \]

2.2 Méthode de Pondération pour la Zone Saturée Seule (3 à 10 m)

La nappe phréatique se trouve à 3 m de profondeur ; ainsi, seules les couches sous 3 m sont effectivement saturées. Dans ce cas :

  • Couche A (0 à 2 m) : non saturée (entièrement au-dessus de la nappe).
  • Couche B (2 à 5 m) : partiellement saturée de 3 à 5 m → (2\,\mathrm{m}\) saturés.
  • Couche C (5 à 10 m) : 5 m saturés.

L’épaisseur saturée totale est alors \(2+5=7\,\mathrm{m}\).

Perméabilité Horizontale Moyenne en Zone Saturée (\(K_{he,\text{sat}}\)) :

\[ K_{he,\text{sat}} = \frac{1}{7}\Bigl[ 2\,K_{he,B} + 5\,K_{he,C}\Bigr]. \]

  • \(2\,K_{he,B} = 2 \times 4,36\times 10^{-7} = 8,72\times 10^{-7},\)
  • \(5\,K_{he,C} = 5 \times 2,18\times 10^{-3} = 1,09\times 10^{-2}.\)

\[ K_{he,\text{sat}} = \frac{8,72\times 10^{-7} + 1,09\times 10^{-2}}{7}\] \[ K_{he,\text{sat}} \approx \frac{0,000000872 + 0,0109}{7} \] \[ K_{he,\text{sat}} \approx 1,56\times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}.\]

Perméabilité Verticale Moyenne en Zone Saturée (\(K_{ve,\text{sat}}\)) :

\[ \frac{1}{K_{ve,\text{sat}}} = \frac{1}{7}\Bigl[\frac{2}{K_{ve,B}} + \frac{5}{K_{ve,C}}\Bigr]. \]

  • \(\frac{2}{K_{ve,B}} = \frac{2}{4,98\times 10^{-6}} \approx 401606,43,\)
  • \(\frac{5}{K_{ve,C}} = \frac{5}{2,49\times 10^{-2}} \approx 200,80.\)

\[ \sum \frac{h_i}{K_{ve,i}} = 401606,43 + 200,80 \] \[ \sum \frac{h_i}{K_{ve,i}} \approx 401807,23 \] \[ \frac{1}{K_{ve,\text{sat}}} = \frac{401807,23}{7} \] \[ \frac{1}{K_{ve,\text{sat}}} \approx 57401,03,\] \[ K_{ve,\text{sat}} \approx \frac{1}{57401,03} \] \[ K_{ve,\text{sat}} \approx 1,74 \times 10^{-5}\,\mathrm{m/s}. \]

⇒ Pour la zone saturée 3-10 m :

\[ K_{he,\text{sat}} \approx 1,56\times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}, \quad K_{ve,\text{sat}} \approx 1,74\times 10^{-5}\,\mathrm{m/s}. \]

3. Interprétation et Implications pour la Conception du Drainage

1. Ordre de grandeur des perméabilités :

  • La couche d’Argile (Couche B) présente une perméabilité très faible, ce qui freine grandement la circulation d’eau verticale.
  • La couche de Gravier (Couche C), quant à elle, présente une perméabilité élevée, facilitant ainsi un drainage rapide dans cette zone.
  • La couche de Sable fin (Couche A) se situe entre ces deux extrêmes.

2. Anisotropie due à la pente :

  • Pour une pente de \(5^\circ\), la composante horizontale \(K_{he}\) est réduite par le facteur \(\sin(5^\circ)\) tandis que la composante verticale \(K_{ve}\) reste proche de la valeur mesurée (puisque \(\cos(5^\circ) \approx 0,996\)).

3. Rôle de la zone saturée :

Le drainage est principalement influencé par la zone saturée (au-dessous de la nappe, c’est-à-dire de 3 m à 10 m). Les moyennes calculées pour cette zone donnent une estimation réaliste de la vitesse à laquelle l’eau peut s’écouler.

4. Implications pratiques :

  • La faible perméabilité verticale dans l’Argile (Couche B) suggère de positionner les drains de manière à contourner ou traverser cette couche.
  • La forte perméabilité du Gravier (Couche C) permet d’évacuer rapidement l’eau horizontalement, à condition que les collecteurs soient dimensionnés en conséquence.
  • La conception du système de drainage doit tenir compte des différences de perméabilité pour éviter l’accumulation d’eau et la remontée de la nappe.
Conclusion

Ces résultats montrent clairement que la couche d’Argile (faible perméabilité) domine le comportement vertical, tandis que la couche de Gravier (très perméable) offre de fortes possibilités de drainage horizontal. Pour la conception du système de drainage, il faudra tenir compte de la faible perméabilité verticale dans l’Argile et positionner judicieusement les drains pour exploiter la forte perméabilité de la couche de Gravier.

Calcul des Coefficients de Perméabilité

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