Études de cas pratique

EGC

Analyse de la stabilité d’une pente

Analyse de la Stabilité d’une Pente

Analyse de la Stabilité d’une Pente

Comprendre la Stabilité des Pentes

L'analyse de la stabilité des pentes est un aspect crucial de l'ingénierie géotechnique, visant à évaluer le risque de glissement d'une masse de sol ou de roche le long d'une surface de rupture potentielle. La stabilité est quantifiée par le facteur de sécurité (\(FS\)), qui est le rapport entre les forces (ou moments) résistantes et les forces (ou moments) motrices. Un \(FS > 1.0\) indique une condition stable, mais des valeurs minimales plus élevées (souvent entre 1.3 et 1.5 ou plus) sont requises en conception pour tenir compte des incertitudes. Diverses méthodes existent, allant de l'analyse simple de blocs sur un plan incliné à des méthodes plus complexes comme celles des tranches (Fellenius, Bishop) pour des surfaces de rupture circulaires.

Données de l'étude

On considère une pente simple dans un sol homogène avec une surface de rupture plane potentielle.

Géométrie de la pente et de la surface de rupture :

  • Hauteur verticale de la pente (\(H\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Angle de la pente avec l'horizontale (\(\alpha\)) : \(35^\circ\)
  • Angle de la surface de rupture plane avec l'horizontale (\(\beta\)) : \(20^\circ\)
  • La surface de rupture passe par le pied de la pente.

Caractéristiques du sol :

  • Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(19.5 \, \text{kN/m}^3\)
  • Cohésion effective (\(c'\)) : \(10 \, \text{kPa}\)
  • Angle de frottement interne effectif (\(\phi'\)) : \(25^\circ\)

On effectuera l'analyse par mètre linéaire de largeur de la pente.

Objectif : Calculer le facteur de sécurité (\(FS\)) contre le glissement le long de la surface de rupture plane.

Schéma : Pente avec Surface de Rupture Plane
W T N Rmax H = 6m β=20° α=35°

Pente avec une surface de rupture plane potentielle et forces agissantes.

Questions à traiter (par mètre linéaire de largeur)

  1. Calculer la longueur horizontale (\(L_h\)) de la surface de rupture au niveau de la crête de la pente.
  2. Calculer l'aire (\(A_w\)) du coin de sol susceptible de glisser.
  3. Calculer le poids (\(W\)) du coin de sol.
  4. Calculer la longueur de la surface de rupture (\(L_r\)).
  5. Calculer la composante normale (\(N\)) du poids \(W\) sur la surface de rupture.
  6. Calculer la composante tangentielle (\(T\)) du poids \(W\) sur la surface de rupture (force motrice).
  7. Calculer la force résistante maximale mobilisable (\(R_{\text{max}}\)) le long de la surface de rupture.
  8. Calculer le facteur de sécurité (\(FS\)) au glissement.

Correction : Analyse de la Stabilité d’une Pente

Question 1 : Calcul de la Longueur Horizontale (\(L_h\)) de la Surface de Rupture en Crête

Principe :

Le coin de sol susceptible de glisser est un triangle (ou un trapèze si la rupture ne part pas du pied). Ici, la rupture part du pied. La géométrie de la pente et de la surface de rupture permet de déterminer les dimensions du coin. La hauteur de la pente est \(H\). L'angle de la pente est \(\alpha\). L'angle de la surface de rupture est \(\beta\). La longueur horizontale du talus de la pente est \(H/\tan\alpha\). La longueur horizontale de la base du coin de rupture est \(H/\tan\beta\). La longueur \(L_h\) est la différence entre ces deux, ou la projection horizontale de la partie de la crête interceptée par la surface de rupture.

La surface de rupture coupe la crête de la pente à une certaine distance horizontale du pied. Soit \(x_B\) la coordonnée horizontale du pied de la pente (origine). L'équation de la surface de la pente est \(y = x \tan \alpha\). L'équation de la surface de rupture est \(y = x \tan \beta\). La crête de la pente est à une hauteur \(H\). Le point où la surface de la pente atteint la hauteur \(H\) est \(x_C = H / \tan \alpha\). Le point où la surface de rupture atteint la hauteur \(H\) (si elle le fait avant de sortir de la pente) est \(x_R = H / \tan \beta\). Ici, la surface de rupture part du pied et coupe la crête ou le talus. La longueur horizontale du coin de sol sur la crête est \(L_h = (H / \tan \beta) - (H / \tan \alpha)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_h = H \left( \frac{1}{\tan\beta} - \frac{1}{\tan\alpha} \right)\]
Données spécifiques :
  • Hauteur de la pente (\(H\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Angle de la pente (\(\alpha\)) : \(35^\circ\) (\(\tan 35^\circ \approx 0.7002\))
  • Angle de la surface de rupture (\(\beta\)) : \(20^\circ\) (\(\tan 20^\circ \approx 0.3640\))
Calcul de la longueur horizontale :
\[ \begin{aligned} L_h &= 6.0 \left( \frac{1}{0.3640} - \frac{1}{0.7002} \right) \, \text{m} \\ &= 6.0 \left( 2.7473 - 1.4281 \right) \, \text{m} \\ &= 6.0 \cdot 1.3192 \, \text{m} \\ &\approx 7.915 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La longueur horizontale de la surface de rupture en crête est \(L_h \approx 7.92 \, \text{m}\).

Question 2 : Calcul de l'Aire (\(A_w\)) du Coin de Sol

Principe :

Le coin de sol susceptible de glisser a une forme triangulaire. Son aire (\(A_w\)) peut être calculée comme la moitié du produit de sa base (la longueur horizontale \(L_h\) calculée précédemment) par sa hauteur (\(H\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_w = \frac{1}{2} L_h H\]

Alternativement, en utilisant la formule de l'aire d'un triangle formé par la surface de la pente, la surface de rupture et la ligne de crête : \(A_w = \frac{H^2}{2} \left( \frac{1}{\tan\beta} - \frac{1}{\tan\alpha} \right)\).

Données spécifiques :
  • Longueur horizontale (\(L_h\)) : \(\approx 7.915 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la pente (\(H\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
Calcul de l'aire du coin :
\[ \begin{aligned} A_w &= \frac{1}{2} \cdot 7.915 \, \text{m} \cdot 6.0 \, \text{m} \\ &\approx 23.745 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'aire du coin de sol susceptible de glisser est \(A_w \approx 23.75 \, \text{m}^2\).

Question 3 : Calcul du Poids (\(W\)) du Coin de Sol

Principe :

Le poids (\(W\)) du coin de sol par mètre linéaire de largeur est le produit de son aire (\(A_w\)) par le poids volumique du sol (\(\gamma\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W = A_w \cdot \gamma \cdot (1 \, \text{m de largeur})\]
Données spécifiques :
  • Aire du coin (\(A_w\)) : \(\approx 23.745 \, \text{m}^2\)
  • Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(19.5 \, \text{kN/m}^3\)
Calcul du poids du coin :
\[ \begin{aligned} W &= 23.745 \, \text{m}^2 \cdot 19.5 \, \text{kN/m}^3 \\ &\approx 463.0275 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le poids du coin de sol est \(W \approx 463.03 \, \text{kN/m}\).

Question 4 : Calcul de la Longueur de la Surface de Rupture (\(L_r\))

Principe :

La longueur de la surface de rupture plane (\(L_r\)) peut être calculée en utilisant la hauteur \(H\) et l'angle de la surface de rupture \(\beta\) : \(L_r = H / \sin\beta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_r = \frac{H}{\sin\beta}\]
Données spécifiques :
  • Hauteur de la pente (\(H\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Angle de la surface de rupture (\(\beta\)) : \(20^\circ\) (\(\sin 20^\circ \approx 0.3420\))
Calcul de la longueur de la surface de rupture :
\[ \begin{aligned} L_r &= \frac{6.0 \, \text{m}}{0.3420} \\ &\approx 17.543 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La longueur de la surface de rupture est \(L_r \approx 17.54 \, \text{m}\).

Question 5 : Calcul de la Composante Normale (\(N\)) du Poids

Principe :

La composante normale (\(N\)) du poids \(W\) sur la surface de rupture inclinée à un angle \(\beta\) est \(N = W \cos\beta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[N = W \cos\beta\]
Données spécifiques :
  • Poids du coin (\(W\)) : \(\approx 463.0275 \, \text{kN/m}\)
  • Angle de la surface de rupture (\(\beta\)) : \(20^\circ\) (\(\cos 20^\circ \approx 0.9397\))
Calcul de la composante normale :
\[ \begin{aligned} N &= 463.0275 \, \text{kN/m} \cdot \cos(20^\circ) \\ &\approx 463.0275 \cdot 0.9397 \, \text{kN/m} \\ &\approx 435.107 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La composante normale du poids est \(N \approx 435.11 \, \text{kN/m}\).

Question 6 : Calcul de la Composante Tangentielle (\(T\)) du Poids

Principe :

La composante tangentielle (\(T\)) du poids \(W\) sur la surface de rupture, agissant parallèlement à celle-ci, est la force motrice qui tend à provoquer le glissement. Elle est calculée par \(T = W \sin\beta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T = W \sin\beta\]
Données spécifiques :
  • Poids du coin (\(W\)) : \(\approx 463.0275 \, \text{kN/m}\)
  • Angle de la surface de rupture (\(\beta\)) : \(20^\circ\) (\(\sin 20^\circ \approx 0.3420\))
Calcul de la composante tangentielle :
\[ \begin{aligned} T &= 463.0275 \, \text{kN/m} \cdot \sin(20^\circ) \\ &\approx 463.0275 \cdot 0.3420 \, \text{kN/m} \\ &\approx 158.355 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La composante tangentielle du poids (force motrice) est \(T \approx 158.36 \, \text{kN/m}\).

Question 7 : Calcul de la Force Résistante Maximale (\(R_{\text{max}}\))

Principe :

La force résistante maximale (\(R_{\text{max}}\)) qui peut être mobilisée le long de la surface de rupture est donnée par le critère de Mohr-Coulomb : \(R_{\text{max}} = c' L_r + N \tan\phi'\). (Ici, \(L_r\) est la longueur de la surface de rupture par mètre linéaire de largeur).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{max}} = (c' \cdot L_r \cdot 1 \, \text{m}) + N \tan\phi'\]

Note : Le terme de cohésion est une force (cohésion \(c'\) multipliée par l'aire de la surface de rupture \(L_r \times 1\text{m}\)).

Données spécifiques :
  • Cohésion effective (\(c'\)) : \(10 \, \text{kPa} = 10 \, \text{kN/m}^2\)
  • Longueur de la surface de rupture (\(L_r\)) : \(\approx 17.543 \, \text{m}\)
  • Composante normale (\(N\)) : \(\approx 435.107 \, \text{kN/m}\)
  • Angle de frottement interne (\(\phi'\)) : \(25^\circ\) (\(\tan 25^\circ \approx 0.4663\))
Calcul de la force résistante maximale :
\[ \begin{aligned} R_{\text{max}} &= (10 \, \text{kN/m}^2 \cdot 17.543 \, \text{m}) + (435.107 \, \text{kN/m} \cdot \tan(25^\circ)) \\ &\approx 175.43 \, \text{kN/m} + (435.107 \cdot 0.4663) \, \text{kN/m} \\ &\approx 175.43 \, \text{kN/m} + 202.86 \, \text{kN/m} \\ &\approx 378.29 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La force résistante maximale est \(R_{\text{max}} \approx 378.29 \, \text{kN/m}\).

Question 8 : Calcul du Facteur de Sécurité (\(FS\))

Principe :

Le facteur de sécurité (\(FS\)) au glissement est le rapport de la force résistante maximale (\(R_{\text{max}}\)) à la force motrice (composante tangentielle \(T\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[FS = \frac{R_{\text{max}}}{T}\]
Données spécifiques :
  • Force résistante maximale (\(R_{\text{max}}\)) : \(\approx 378.29 \, \text{kN/m}\)
  • Force motrice (\(T\)) : \(\approx 158.355 \, \text{kN/m}\)
Calcul du facteur de sécurité :
\[ \begin{aligned} FS &= \frac{378.29 \, \text{kN/m}}{158.355 \, \text{kN/m}} \\ &\approx 2.3889 \end{aligned} \]

Conclusion : Un facteur de sécurité de \(2.39\) est généralement considéré comme adéquat pour la stabilité des pentes. La pente est stable dans les conditions analysées.

Résultat Question 8 : Le facteur de sécurité au glissement est \(FS \approx 2.39\). La pente est considérée comme stable.

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'angle de frottement interne \(\phi'\) du sol diminuait, le facteur de sécurité au glissement :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

9. La force motrice principale dans l'analyse de stabilité d'une pente non chargée est :

10. Un facteur de sécurité de 1.0 pour une pente signifie que :

11. Laquelle de ces actions augmenterait le plus probablement le facteur de sécurité d'une pente existante ?

Glossaire

Stabilité des Pentes
Capacité d'un talus ou d'une pente naturelle à résister aux forces qui tendent à provoquer un glissement de terrain.
Facteur de Sécurité (\(FS\))
Rapport entre les forces (ou moments) résistantes et les forces (ou moments) motrices. Un \(FS > 1\) indique la stabilité.
Surface de Rupture
Surface le long de laquelle une masse de sol ou de roche est susceptible de glisser.
Poids Volumique (\(\gamma\))
Poids d'un matériau par unité de volume.
Cohésion Effective (\(c'\))
Composante de la résistance au cisaillement d'un sol qui est indépendante de la contrainte normale effective.
Angle de Frottement Interne Effectif (\(\phi'\))
Paramètre du sol qui caractérise sa résistance au cisaillement due au frottement entre les particules.
Force Motrice
Force ou composante de force qui tend à provoquer le mouvement ou le glissement.
Force Résistante
Force ou composante de force qui s'oppose au mouvement ou au glissement.
Critère de Mohr-Coulomb
Modèle mathématique qui définit la résistance au cisaillement d'un sol : \(\tau_f = c' + \sigma' \tan \phi'\).
Analyse de la Stabilité d’une Pente - Exercice d'Application

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