Études de cas pratique

EGC

Gradient Hydraulique Critique pour un Sable

Calcul du Gradient Hydraulique Critique pour un Sable

Comprendre le Gradient Hydraulique Critique

En géotechnique, lorsqu'un écoulement d'eau ascendant se produit à travers un sol granulaire (comme le sable), la force de cet écoulement (force d'infiltration) s'oppose au poids des grains du sol. Si le gradient hydraulique (\(i\)), qui est la perte de charge hydraulique par unité de longueur d'écoulement, devient suffisamment élevé, la force d'infiltration peut égaler ou dépasser le poids déjaugé du sol. À ce point, la contrainte effective entre les grains devient nulle, et le sol perd toute sa résistance au cisaillement, se comportant comme un fluide. Ce phénomène est appelé "boulance", "renard hydraulique" ou "sables mouvants" (sand boiling/piping en anglais). Le gradient hydraulique pour lequel ce phénomène se produit est appelé gradient hydraulique critique (\(i_c\)). La connaissance de \(i_c\) est cruciale pour la sécurité des excavations sous la nappe phréatique, des barrages en terre, et d'autres ouvrages où des écoulements ascendants peuvent se produire.

Données de l'étude

Un échantillon de sable est soumis à un écoulement d'eau ascendant en laboratoire.

Caractéristiques du sable :

  • Indice des vides (\(e\)) : \(0.65\)
  • Masse volumique des grains solides (\(\rho_s\)) : \(2.65 \, \text{g/cm}^3\)

Données de référence :

  • Masse volumique de l'eau (\(\rho_w\)) : \(1.00 \, \text{g/cm}^3\)
  • Poids volumique de l'eau (\(\gamma_w\)) : \(9.81 \, \text{kN/m}^3\) (ou \(\approx 10 \, \text{kN/m}^3\) pour simplification si besoin, mais utilisons 9.81 pour plus de précision).

Objectif : Calculer le gradient hydraulique critique (\(i_c\)) pour ce sable.

Schéma d'un Écoulement Ascendant et Risque de Boulance
Gradient Hydraulique Critique Échantillon de Sable Niveau Eau Amont (h1) Niveau Eau Aval (h2) Écoulement Risque Boulance si i > ic Delta h L (épaisseur)

Schéma illustrant un écoulement ascendant dans un échantillon de sol et le concept de gradient hydraulique.

Questions à traiter

  1. Calculer la masse volumique déjaugée (\(\rho'\)) du sable en \(\text{g/cm}^3\).
  2. Calculer le poids volumique déjaugé (\(\gamma'\)) du sable en \(\text{kN/m}^3\).
  3. Calculer le gradient hydraulique critique (\(i_c\)) pour ce sable.
  4. Si une perte de charge de \(0.9 \, \text{m}\) est observée sur une épaisseur de \(1.0 \, \text{m}\) de ce sable, y a-t-il un risque de boulance ? Justifier.

Correction : Calcul du Gradient Hydraulique Critique

Question 1 : Masse volumique déjaugée (\(\rho'\)) du sable

Principe :

La masse volumique déjaugée (\(\rho'\)) représente la masse effective des grains de sol par unité de volume total lorsque le sol est immergé. Elle est calculée à partir de la masse volumique des grains solides (\(\rho_s\)), de la masse volumique de l'eau (\(\rho_w\)) et de l'indice des vides (\(e\)). La formule est : \(\rho' = \frac{\rho_s - \rho_w}{1 + e}\). Alternativement, on peut calculer la masse volumique saturée \(\rho_{\text{sat}} = \frac{\rho_s + e \rho_w}{1+e}\) puis \(\rho' = \rho_{\text{sat}} - \rho_w\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\rho' = \frac{\rho_s - \rho_w}{1 + e}\]
Données spécifiques :
  • Masse volumique des grains (\(\rho_s\)) : \(2.65 \, \text{g/cm}^3\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho_w\)) : \(1.00 \, \text{g/cm}^3\)
  • Indice des vides (\(e\)) : \(0.65\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \rho' &= \frac{2.65 \, \text{g/cm}^3 - 1.00 \, \text{g/cm}^3}{1 + 0.65} \\ &= \frac{1.65 \, \text{g/cm}^3}{1.65} \\ &= 1.00 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La masse volumique déjaugée du sable est \(\rho' = 1.00 \, \text{g/cm}^3\).

Question 2 : Poids volumique déjaugé (\(\gamma'\)) du sable

Principe :

Le poids volumique déjaugé (\(\gamma'\)) est le poids effectif du sol par unité de volume lorsqu'il est immergé. Il est obtenu en multipliant la masse volumique déjaugée (\(\rho'\)) par l'accélération due à la gravité (\(g\)). Pour obtenir \(\gamma'\) en \(\text{kN/m}^3\), il faut s'assurer que \(\rho'\) est en \(\text{kg/m}^3\) (ou \(\text{t/m}^3\)) et \(g\) en \(\text{m/s}^2\). \(1 \, \text{g/cm}^3 = 1000 \, \text{kg/m}^3\). \(\gamma' = \rho' \times g\). Si \(\rho'\) est en \(\text{g/cm}^3\), alors \(\rho' (\text{kg/m}^3) = \rho' (\text{g/cm}^3) \times 1000\). \(\gamma' = \frac{(\rho_s - \rho_w) \times g}{1+e}\). Alternativement, \(\gamma' = \frac{G_s - 1}{1 + e} \gamma_w\), où \(G_s = \rho_s / \rho_w\). Ici, \(G_s = 2.65 / 1.00 = 2.65\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\gamma' = \frac{G_s - 1}{1 + e} \gamma_w\]

Ou, à partir de \(\rho'\) : \(\gamma' = \rho'[\text{en kg/m}^3] \times g / 1000\) (pour avoir en kN/m³)

Données spécifiques :
  • \(G_s = 2.65\)
  • \(e = 0.65\)
  • \(\gamma_w = 9.81 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(\rho' = 1.00 \, \text{g/cm}^3 = 1000 \, \text{kg/m}^3\) (de Q1)
Calcul :

Méthode 1 (avec \(G_s\)) :

\[ \begin{aligned} \gamma' &= \frac{2.65 - 1}{1 + 0.65} \times 9.81 \, \text{kN/m}^3 \\ &= \frac{1.65}{1.65} \times 9.81 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 1 \times 9.81 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 9.81 \, \text{kN/m}^3 \end{aligned} \]

Méthode 2 (avec \(\rho'\)) :

\[ \begin{aligned} \gamma' &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 9810 \, \text{N/m}^3 \\ &= 9.81 \, \text{kN/m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le poids volumique déjaugé du sable est \(\gamma' = 9.81 \, \text{kN/m}^3\).

Question 3 : Gradient hydraulique critique (\(i_c\))

Principe :

Le gradient hydraulique critique (\(i_c\)) est le gradient hydraulique pour lequel la force d'infiltration ascendante équilibre le poids déjaugé du sol. À ce point, la contrainte effective devient nulle et le sol entre en "boulance". Il est calculé comme le rapport entre le poids volumique déjaugé du sol (\(\gamma'\)) et le poids volumique de l'eau (\(\gamma_w\)). Alternativement, il peut être exprimé en fonction de l'indice des vides (\(e\)) et de la densité relative des grains (\(G_s = \rho_s / \rho_w\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[i_c = \frac{\gamma'}{\gamma_w}\]

Ou, en remplaçant \(\gamma' = \frac{G_s - 1}{1 + e} \gamma_w\) :

\[i_c = \frac{G_s - 1}{1 + e}\]
Données spécifiques :
  • Poids volumique déjaugé (\(\gamma'\)) : \(9.81 \, \text{kN/m}^3\) (de Q2)
  • Poids volumique de l'eau (\(\gamma_w\)) : \(9.81 \, \text{kN/m}^3\)
  • Ou : \(G_s = 2.65\), \(e = 0.65\)
Calcul :

En utilisant \(\gamma'\) et \(\gamma_w\) :

\[ \begin{aligned} i_c &= \frac{9.81 \, \text{kN/m}^3}{9.81 \, \text{kN/m}^3} \\ &= 1.00 \end{aligned} \]

En utilisant \(G_s\) et \(e\) :

\[ \begin{aligned} i_c &= \frac{2.65 - 1}{1 + 0.65} = \frac{1.65}{1.65} \\ &= 1.00 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le gradient hydraulique critique pour ce sable est \(i_c = 1.00\).

Question 4 : Risque de boulance pour \(\Delta h = 0.9 \, \text{m}\) sur \(L = 1.0 \, \text{m}\)

Principe :

Le gradient hydraulique (\(i\)) dans la couche de sable est la perte de charge hydraulique (\(\Delta h\)) divisée par la longueur d'écoulement (\(L\)) sur laquelle cette perte de charge se produit. Si ce gradient hydraulique appliqué (\(i\)) est supérieur ou égal au gradient hydraulique critique (\(i_c\)) calculé précédemment, il y a un risque de boulance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[i = \frac{\Delta h}{L}\]
Données spécifiques :
  • Perte de charge (\(\Delta h\)) : \(0.9 \, \text{m}\)
  • Épaisseur de la couche de sable (\(L\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
  • Gradient hydraulique critique (\(i_c\)) : \(1.00\) (de Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} i &= \frac{0.9 \, \text{m}}{1.0 \, \text{m}} \\ &= 0.90 \end{aligned} \]

Comparaison : Le gradient hydraulique appliqué est \(i = 0.90\). Le gradient hydraulique critique est \(i_c = 1.00\).
Puisque \(i = 0.90 < i_c = 1.00\), le gradient appliqué est inférieur au gradient critique.

Résultat Question 4 : Le gradient hydraulique appliqué est \(i = 0.90\). Comme \(0.90 < 1.00\), il n'y a pas de risque de boulance dans ces conditions. Le sol reste stable.

Quiz Intermédiaire (Fin) : Si le gradient hydraulique critique \(i_c = 0.8\) et que le gradient appliqué \(i = 1.0\), y a-t-il risque de boulance ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le gradient hydraulique critique est le rapport :

2. La boulance se produit lorsque :

3. Si \(G_s = 2.7\) et \(e = 0.8\), le gradient hydraulique critique \(i_c\) est environ :

Glossaire

Gradient Hydraulique (\(i\))
Perte de charge hydraulique (\(\Delta h\)) par unité de longueur d'écoulement (\(L\)) dans un sol. \(i = \Delta h / L\). C'est une mesure de la "pente" de l'écoulement de l'eau.
Gradient Hydraulique Critique (\(i_c\))
Valeur du gradient hydraulique ascendant pour laquelle la contrainte effective dans un sol granulaire devient nulle, entraînant une perte de résistance et le phénomène de boulance.
Boulance (ou Renard Hydraulique, Sand Boiling/Piping)
Phénomène d'instabilité d'un sol granulaire saturé soumis à un écoulement ascendant, lorsque la force d'infiltration égale ou dépasse le poids déjaugé du sol. Le sol se comporte alors comme un fluide.
Force d'Infiltration (Seepage Force)
Force exercée par l'eau en écoulement sur les particules de sol. Par unité de volume, elle est égale à \(i \cdot \gamma_w\).
Masse Volumique des Grains Solides (\(\rho_s\))
Masse des particules solides du sol divisée par leur volume (sans les vides).
Densité Relative des Grains (\(G_s\))
Rapport entre la masse volumique des grains solides du sol et la masse volumique de l'eau (\(G_s = \rho_s / \rho_w\)).
Indice des Vides (\(e\))
Rapport du volume des vides (air et/ou eau) au volume des particules solides dans un échantillon de sol.
Masse Volumique Déjaugée (\(\rho'\))
Masse effective des grains de sol par unité de volume total lorsque le sol est immergé. \(\rho' = \rho_{\text{sat}} - \rho_w\).
Poids Volumique Déjaugé (\(\gamma'\))
Poids effectif du sol par unité de volume lorsqu'il est immergé. \(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w\). Il représente le poids du sol "allégé" par la poussée d'Archimède.
Contrainte Effective
Contrainte transmise par le contact entre les grains solides du sol. C'est la contrainte totale moins la pression interstitielle de l'eau.
Calcul du Gradient Hydraulique Critique - Exercice d'Application

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