Temps de Consolidation par Préchargement

Dans le cadre de la construction d’un nouvel immeuble de bureaux, une analyse préliminaire du sol a révélé la présence d’une couche d’argile compressible de 6 mètres d’épaisseur, située sous une couche de remblai de 2 mètres d’épaisseur. Afin d’accélérer le tassement de cette couche d’argile et de minimiser les tassements différentiels après la construction, il est décidé d’utiliser la technique de consolidation par préchargement avec des drains verticaux installés selon un maillage carré.

Schéma du Profil de Sol

Données

Épaisseur de la couche d’argile (\(H_c\)) = 6 \(\text{m}\)
Coefficient de consolidation vertical de l’argile (\(C_v\)) = 0.2 \(\text{m}^2/\text{an}\)
Surcharge due au préchargement (\(q\)) = 50 \(\text{kPa}\)
Espacement des drains verticaux (motif carré, \(d\)) = 1.5 \(\text{m}\)
Diamètre des drains verticaux (\(d_w\)) = 0.1 \(\text{m}\)
Autres données (non requises pour ce calcul spécifique) :
- Perméabilité de l’argile (\(k\)) = \(1 \times 10^{-9} \, \text{m/s}\)
- Poids volumique du sol (\(\gamma\)) = 18 \(\text{kN/m}^3\)
- Coefficient de compressibilité de l’argile (\(m_v\)) = 0.8 \(\text{m}^2/\text{MN}\)

Hypothèses Simplificatrices

Le drainage est considéré comme purement radial vers les drains (l'écoulement vertical est négligé ou son effet est considéré comme beaucoup plus lent).
Le coefficient de consolidation radial (\(C_h\)) est égal au coefficient de consolidation vertical (\(C_h = C_v = 0.2 \, \text{m}^2/\text{an}\)).
Les drains sont considérés comme parfaitement perméables (pas de résistance propre du drain) et l'effet du remaniement du sol autour du drain est négligé.

Question

En utilisant la théorie de la consolidation radiale de Barron et les hypothèses ci-dessus, calculer le temps nécessaire (\(t\)) pour atteindre un degré de consolidation moyen de 90% (\(U = 90\%\)) dans la couche d'argile sous l'effet de la surcharge de préchargement.

Correction : Temps de Consolidation par Préchargement

Étape 1 : Comprendre le Problème et la Stratégie

Objectif :

On cherche à savoir combien de temps il faut attendre pour que 90% du tassement total prévu sous la charge de préchargement soit atteint. Le tassement se produit car l'eau contenue dans l'argile est expulsée sous l'effet de la charge. Ce processus s'appelle la consolidation.

Déterminer le temps \(t\) pour un degré de consolidation moyen \(U = 90\%\).

Pourquoi des drains verticaux ?

L'argile est peu perméable, l'eau met donc longtemps à s'échapper naturally vers le haut ou le bas (drainage vertical). Les drains verticaux sont comme des "pailles" plantées dans l'argile : ils offrent un chemin beaucoup plus court et facile pour que l'eau s'échappe horizontalement (radialement) vers le drain, puis verticalement dans le drain. Cela accélère énormément la consolidation.

Données Clés Utiles :

Pour calculer le temps de consolidation radiale, nous avons besoin de savoir à quelle vitesse l'eau peut circuler horizontalement (\(C_h\)), quelle est la distance que l'eau doit parcourir jusqu'au drain (liée à l'espacement \(d\)) et la taille du drain lui-même (\(d_w\)).

\(C_h = C_v = 0.2 \, \text{m}^2/\text{an}\) (Hypothèse)
\(d = 1.5 \, \text{m}\)
\(d_w = 0.1 \, \text{m}\)
\(U = 0.90\)

Méthode de Calcul :

Nous allons suivre les étapes basées sur la théorie de Barron pour la consolidation radiale :

Calculer la zone d'influence de chaque drain (\(D_e\)).
Calculer des facteurs géométriques (\(n\) et \(F(n)\)).
Calculer un "facteur temps" théorique (\(T_r\)) correspondant à 90% de consolidation.
Convertir ce facteur temps théorique en temps réel (\(t\)) en utilisant les propriétés du sol et la géométrie.

Étape 2 : Diamètre de la Zone d'Influence (\(D_e\))

Définition :

Imaginez que chaque drain est au centre d'une zone de sol qu'il est chargé de "vider" de son eau. Pour simplifier les calculs, on approxime cette zone (qui est carrée vue de dessus à cause du maillage) par un cylindre équivalent. \(D_e\) est le diamètre de ce cylindre imaginaire.

Diamètre équivalent de la zone de sol drainée par un seul drain.

Schéma : Zone d'Influence (Vue de dessus)

Formule (pour un motif carré) :

Le facteur 1.13 vient de la conversion géométrique d'un carré de côté \(d\) en un cercle de même surface (\(\text{Surface carré} = d^2\), \(\text{Surface cercle} = \pi (D_e/2)^2\). En égalant les surfaces, on trouve \(D_e = \sqrt{4/\pi} \times d \approx 1.128 \times d\), arrondi à 1.13).

D_e = 1.13 \times d

Données :

\(d = 1.5 \, \text{m}\)

Calcul :

\[ D_e = 1.13 \times 1.5 \, \text{m} = 1.695 \, \text{m} \]

Résultat :

Chaque drain est responsable d'une zone de sol cylindrique d'environ 1.70 m de diamètre.

Le diamètre équivalent de la zone d'influence est \(D_e = 1.695 \, \text{m}\).

Étape 3 : Calcul des Facteurs Géométriques \(n\) et \(F(n)\)

Définition de \(n\) :

Le facteur \(n\) compare simplement la taille de la zone à drainer (\(D_e\)) à la taille du drain lui-même (\(d_w\)). Un grand \(n\) signifie que le drain est petit par rapport à la zone qu'il dessert, ce qui peut influencer le temps de drainage.

\(n\) est le rapport entre le diamètre de la zone d'influence et le diamètre du drain.

n = \frac{D_e}{d_w}

Définition de \(F(n)\) :

Le facteur \(F(n)\) est un terme issu de la théorie de Barron qui prend en compte l'effet de cette géométrie (rapport \(n\)) sur la vitesse de consolidation. Il intervient dans le calcul du facteur temps \(T_r\). La formule \(\ln(n) - 3/4\) est une approximation courante qui suppose que le drain est très efficace (pas de résistance propre) et que le sol n'est pas trop perturbé autour.

Facteur géométrique utilisé dans la formule de consolidation radiale.

F(n) = \ln(n) - \frac{3}{4}

Données :

\(D_e = 1.695 \, \text{m}\)
\(d_w = 0.1 \, \text{m}\)

Calcul :

\[ n = \frac{1.695}{0.1} = 16.95 \] \[ F(n) = \ln(16.95) - 0.75 \] \[ F(n) \approx 2.830 - 0.75 \] \[ F(n) = 2.080 \]

Résultat :

La zone d'influence est environ 17 fois plus grande que le drain (\(n=16.95\)). Le facteur géométrique \(F(n)\) qui en découle est d'environ 2.08.

\(n = 16.95\) et \(F(n) \approx 2.080\).

Étape 4 : Facteur Temps Radial (\(T_r\))

Définition :

Le facteur temps \(T_r\) est un nombre sans dimension qui représente l'avancement "théorique" de la consolidation radiale. Il ne dépend que du degré de consolidation \(U\) que l'on veut atteindre et de la géométrie via \(F(n)\). Ce n'est pas encore le temps réel en années.

Facteur temps adimensionnel pour la consolidation radiale.

Relation (Approximation de Barron pour \(U > 60\%\)) :

Cette formule relie le degré de consolidation \(U\) (la fraction du tassement total atteinte) au facteur temps \(T_r\) et au facteur géométrique \(F(n)\). La forme exponentielle montre que la consolidation ralentit avec le temps (il faut de plus en plus de temps pour gagner quelques pourcents supplémentaires).

U = 1 - \exp\left(-\frac{8 T_r}{F(n)}\right)

Données :

\(U = 0.90\)
\(F(n) \approx 2.080\)

Calcul de \(T_r\) pour \(U = 0.90\) (90%) :

On remplace \(U\) par 0.90 et \(F(n)\) par 2.080, puis on résout l'équation pour trouver \(T_r\).

0.90 = 1 - \exp\left(-\frac{8 T_r}{2.080}\right) \] On isole l'exponentielle : \[ \exp\left(-\frac{8 T_r}{2.080}\right) = 1 - 0.90 = 0.10 \] On applique le logarithme népérien (ln) des deux côtés pour faire "descendre" l'exposant : \[ -\frac{8 T_r}{2.080} = \ln(0.10) \approx -2.3026 \] On isole \(T_r\) : \[ T_r = \frac{-2.3026 \times 2.080}{-8} \] \[ T_r = \frac{4.7894}{8} \] \[ T_r \approx 0.5987

Résultat :

Pour atteindre 90% de consolidation dans cette configuration, il faut atteindre un facteur temps théorique \(T_r\) d'environ 0.6.

Le facteur temps radial requis est \(T_r \approx 0.599\).

Étape 5 : Calcul du Temps de Consolidation Réel (\(t\))

Définition :

Maintenant, on convertit le facteur temps théorique \(T_r\) en un temps réel \(t\) (en années) en utilisant les caractéristiques physiques du problème : la distance que l'eau doit parcourir (liée à \(D_e\)) et la "vitesse" à laquelle le sol permet à l'eau de bouger (\(C_h\)).

Temps réel nécessaire pour atteindre \(U = 90\%\).

Formule :

La formule relie le temps \(t\) au facteur temps \(T_r\). Le temps est proportionnel à \(T_r\) (plus on veut consolider, plus c'est long) et au carré de la distance de drainage \(D_e^2\) (car l'eau doit parcourir cette distance, et le temps augmente vite avec la distance). Il est inversement proportionnel à \(C_h\) (un sol plus "rapide" réduit le temps).

t = \frac{T_r D_e^2}{C_h}

Données :

\(T_r \approx 0.5987\)
\(D_e = 1.695 \, \text{m}\)
\(C_h = 0.2 \, \text{m}^2/\text{an}\)

Calcul :

On remplace \(T_r\), \(D_e\) et \(C_h\) par leurs valeurs numériques, en faisant attention aux unités (\(D_e\) en m, \(C_h\) en m²/an, le résultat \(t\) sera en années).

t = \frac{0.5987 \times (1.695 \, \text{m})^2}{0.2 \, \text{m}^2/\text{an}} \] \[ t = \frac{0.5987 \times 2.873025 \, \text{m}^2}{0.2 \, \text{m}^2/\text{an}} \] \[ t \approx \frac{1.7202 \, \text{m}^2}{0.2 \, \text{m}^2/\text{an}} \, \text{ans} \] \[ t \approx 8.60 \, \text{ans}

Résultat Final :

En tenant compte de la vitesse de consolidation du sol, de l'espacement des drains et du degré de consolidation visé, il faudra attendre environ 8 ans et demi pour que 90% du tassement dû au préchargement soit terminé.

Le temps nécessaire pour atteindre 90% de consolidation avec les drains verticaux, sous les conditions et hypothèses données, est d'environ 8.6 ans.