Calcul des Combinaisons de Charges

Contexte : Dimensionnement d'une poutre en béton armé.

Vous êtes chargé d'étudier une poutre rectangulaire en Béton ArméMatériau composite alliant la résistance à la compression du béton et la résistance à la traction de l'acier. supportant un plancher d'habitation. Pour dimensionner correctement les aciers (ferraillage), il est impératif de calculer les charges maximales que la poutre devra supporter. Cela implique de combiner les charges permanentes (GActions permanentes (poids propre, poids morts).) et les charges d'exploitation (QActions variables (personnes, meubles, véhicules).).

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour tout ingénieur structure. Une erreur dans la Descente de chargesProcessus de répartition des charges du haut du bâtiment vers les fondations. ou dans le choix des coefficients de sécurité peut conduire soit à l'effondrement de la structure (sous-dimensionnement), soit à un gaspillage inutile de matériaux (sur-dimensionnement).

Objectifs Pédagogiques

Différencier les charges permanentes (G) des charges variables (Q).
Calculer le poids propre linéique d'un élément de structure à partir de sa masse volumique.
Comprendre et appliquer les coefficients de sécurité à l'ELU (État Limite Ultime).
Calculer la combinaison de charges à l'ELS (État Limite de Service) pour les vérifications de flèche.

Données de l'étude

Nous étudions une poutre de section rectangulaire supportant un plancher d'un bâtiment résidentiel. On cherche à déterminer la charge linéique de calcul pour dimensionner le ferraillage.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Dimensions de la poutre (b x h)	0.20 m x 0.50 m
Portée de la poutre (L)	6.00 m
Masse volumique du béton armé	25 kN/m³
Charges mortes du plancher (hors poids poutre)	15 kN/m
Charge d'ExploitationUsage habitation/bureaux (Q).	20 kN/m

Schéma de la Poutre et des Charges

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charges Perm. Plancher	g_plancher	15	kN/m
Charges Variables	q	20	kN/m
Masse vol. Béton	ρ	25	kN/m³

Questions à traiter

Calculer le poids propre linéique de la poutre (g_poutre).
Déterminer la charge permanente totale (G_total).
Calculer la charge de combinaison à l'ELU (P_u).
Calculer la charge de combinaison à l'ELS (P_ser).

Les bases théoriques (Eurocode 2)

En ingénierie structurelle, on ne dimensionne jamais une structure juste pour qu'elle tienne son propre poids. On applique des coefficients de sécurité pour couvrir les incertitudes sur les matériaux et les charges.

L'État Limite Ultime (ELU)
Il s'agit de vérifier que la structure ne va pas s'effondrer (Ruine). On majore fortement les charges pour assurer la sécurité des personnes. C'est un état fictif extrême.

Combinaison Fondamentale ELU

P_{\text{u}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q

Où :

\(1.35\) : Coefficient de sécurité pour les charges permanentes (incertitude modérée).
\(1.5\) : Coefficient de sécurité pour les charges variables (incertitude élevée).

L'État Limite de Service (ELS)
Il s'agit de vérifier le confort d'usage (flèche excessive, fissuration inesthétique). La structure tient, mais est-elle utilisable ? Ici, on utilise généralement les charges réelles (combinaison caractéristique).

Combinaison Caractéristique ELS

P_{\text{ser}} = G + Q

Où :

On additionne simplement les charges sans coefficient majorateur (coeff = 1.0).

Correction : Calcul des Combinaisons de Charges

Question 1 : Poids propre de la poutre

Principe

La poutre a une masse. Il faut transformer son volume et sa masse volumique en une charge linéique (par mètre de longueur). C'est la première charge que la poutre doit supporter : elle-même.

Mini-Cours

Masse Volumique : C'est la masse par unité de volume. Pour le béton, elle varie selon qu'il est armé ou non :

Béton non armé (banché) : ~2400 kg/m³ soit 24 kN/m³.
Béton armé (avec aciers) : ~2500 kg/m³ soit 25 kN/m³ (Standard Eurocode).
Acier seul : ~7850 kg/m³.

Remarque Pédagogique

Oublier le poids propre est une erreur critique. Sur des ouvrages de grande portée (comme les ponts), le poids propre peut représenter plus de 50% de la charge totale que la structure doit supporter !

Normes

La norme NF EN 1991-1-1 (Eurocode 1) fixe les poids volumiques des matériaux de construction. La valeur de référence pour le béton armé ordinaire est de 25 kN/m³.

Formule(s)

Formules utilisées

Poids propre linéique

\begin{aligned} g_{\text{poutre}} &= \text{Volume}_{\text{1m}} \times \rho_{\text{béton}} \\ &= (b \times h) \times \rho_{\text{béton}} \end{aligned}

Hypothèses

Pour ce calcul, nous supposons :

La section de la poutre est constante (prismatique) sur toute sa longueur.
Le matériau est homogène (densité constante de 25 kN/m³ partout).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur	b	0.20	m
Hauteur	h	0.50	m
Poids Volumique	ρ	25	kN/m³

Astuces

Astuce Mentale : 25 kN/m³, c'est équivalent à 2.5 tonnes par mètre cube. Imaginez un cube d'un mètre de côté rempli de béton : il pèse autant qu'un gros 4x4 !

Coupe Transversale de la Poutre

Calcul(s)

1. Calcul de la Section (Aire)

On calcule d'abord la surface de la section transversale du béton. C'est l'aire du rectangle formé par la poutre (largeur \(\times\) hauteur).

\begin{aligned} S &= b \times h \\ &= 0.20 \text{ m} \times 0.50 \text{ m} \\ &= 0.10 \text{ m}^2 \end{aligned}

On obtient une surface de \(0.10 \text{ m}^2\). Cela signifie que pour chaque mètre de longueur de poutre, il y a \(0.10 \text{ m}^3\) de volume de béton.

2. Calcul du Poids Linéique

Application numérique

Maintenant, on multiplie cette surface \(S\) par la masse volumique du béton armé \(\rho\) (fixée à 25 kN/m³ par la norme) pour trouver le poids par mètre linéaire.

Poids propre = Surface × Densité

\begin{aligned} g_{\text{poutre}} &= S \times \rho_{\text{béton}} \\ &= 0.10 \, \text{m}^2 \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 2.5 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Le résultat est de 2.5 kN/m. Concrètement, cela veut dire que chaque mètre de cette poutre pèse environ 250 kg.

Résultat : Charge Répartie

Réflexions

Une charge de 2.5 kN/m correspond environ à 250 kg par mètre de poutre. Cela équivaut au poids d'une grosse moto posée sur chaque mètre de la poutre, juste pour qu'elle se porte elle-même !

Points de vigilance

Attention aux unités ! Si les dimensions vous sont données en cm (ex: 20x50), convertissez-les impérativement en mètres (0.20x0.50) avant de multiplier par la densité en kN/m³. Sinon, votre résultat sera faux d'un facteur 100 ou 10000.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Densité standard BA = 25 kN/m³.
Poids propre linéique [kN/m] = Surface [m²] x Densité [kN/m³].

Le saviez-vous ?

Le béton est un matériau "lourd". C'est l'un de ses inconvénients majeurs par rapport à l'acier ou au bois. Cependant, cette masse apporte une grande inertie thermique (confort d'été) et une bonne isolation acoustique.

FAQ

Est-ce que je dois ajouter le poids des aciers à part ?

Non, la valeur de 25 kN/m³ pour le "béton armé" inclut déjà une moyenne forfaitaire du poids des armatures d'acier noyées dans le béton.

Le poids propre de la poutre est de 2.5 kN/m.

A vous de jouer
Si la poutre faisait 0.30m de large au lieu de 0.20m, quel serait son poids propre ?

📝 Mémo
Le poids propre est une charge permanente inévitable. Toujours la calculer en premier.

Question 2 : Charge Permanente Totale (G)

Principe

Pour dimensionner la poutre, il faut faire le bilan de toutes les charges qui seront présentes de manière constante et durable. C'est ce qu'on appelle la charge permanente \(G\). Elle est composée :

Du poids propre de la structure porteuse (la poutre elle-même).
Du poids des éléments portés fixes (dalle, chape, carrelage, faux-plafond, équipements techniques lourds, cloisons fixes).

Mini-Cours

Principe de Superposition : En résistance des matériaux linéaire, les effets des charges s'additionnent. Pour obtenir la charge permanente totale, on fait simplement la somme arithmétique de toutes les composantes permanentes linéiques.

Remarque Pédagogique

On appelle souvent cette étape la "descente de charges". C'est l'inventaire précis de tout ce qui pèse sur l'élément étudié.

Normes

L'Eurocode 0 (EN 1990) définit \(G\) comme l'ensemble des "actions permanentes", c'est-à-dire celles dont la variation dans le temps est négligeable ou monotone (ex: le béton durcit et ne bouge plus).

Formule(s)

Formules utilisées

Somme des Charges G

G_{\text{total}} = g_{\text{poutre}} + g_{\text{plancher}}

Hypothèses

On considère ici que :

La charge du plancher nous est donnée directement en charge linéique (kN/m) ramenée sur la poutre.
Les cloisons de distribution légères sont incluses dans cette charge forfaitaire.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Poids Propre (calculé)	g_poutre	2.5	kN/m
Charges Mortes Plancher	g_plancher	15	kN/m

Astuces

Vérifiez toujours l'homogénéité des unités ! On ne peut additionner que des kN/m avec des kN/m. Si vous aviez une charge surfacique en kN/m², il faudrait d'abord la multiplier par la "largeur de reprise" de la poutre pour obtenir des kN/m.

Composition de la Charge G

Calcul(s)

Calcul Principal

Application numérique

On somme simplement les deux composantes permanentes :

Calcul de G total

\begin{aligned} G_{\text{total}} &= g_{\text{poutre}} + g_{\text{plancher}} \\ &= 2.5 + 15 \\ &= 17.5 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Nous obtenons une charge permanente totale \(G\) de 17.5 kN/m. C'est cette valeur unique que nous utiliserons pour la suite des combinaisons.

Résultat G Total

Réflexions

Dans cet exemple, le poids propre de la poutre (2.5) représente environ 14% de la charge permanente totale (17.5). La majeure partie de la charge provient du plancher porté. Cela signifie que l'efficacité de la structure est correcte (elle porte beaucoup plus que son propre poids).

Points de vigilance

Modification ultérieure : Si un propriétaire décide plus tard de remplacer un revêtement léger (moquette) par un lourd (pierre naturelle), \(G\) augmentera. C'est souvent la cause de sinistres en rénovation.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

G = Ensemble des charges fixes et durables.
G est connu avec une assez bonne précision (on peut peser les matériaux).

Le saviez-vous ?

Dans les cathédrales gothiques, le poids propre des voûtes en pierre constituait la quasi-totalité de la charge (G >> Q). Aujourd'hui, avec nos matériaux légers et performants, la part de Q devient plus importante.

FAQ

Est-ce que les meubles comptent dans G ?

Non ! Les meubles peuvent être déplacés, changés ou enlevés. Ils font partie des charges variables d'exploitation \(Q\), pas des charges permanentes \(G\).

La charge permanente totale G est de 17.5 kN/m.

A vous de jouer
Si on ajoute une chape lourde de 2.5 kN/m sur le plancher, combien vaudra le nouveau G total ?

📝 Mémo
G = Tout ce qui ne bouge pas (Immeuble vide).

Question 3 : Combinaison à l'ELU

Principe

L'État Limite Ultime (ELU) sert à vérifier que la structure ne va pas rompre ou devenir instable. On se place dans un scénario catastrophe virtuel. Comme on ne connait pas tout avec certitude (qualité exacte du béton, poids réel des charges), on applique des coefficients de sécurité pour majorer les charges. On "gonfle" artificiellement les charges pour être sûr que la structure résistera même dans le pire des cas.

Mini-Cours

Les Coefficients Partiels de Sécurité :

\(\gamma_G = 1.35\) pour les charges permanentes. On majore de 35% car on connait assez bien le poids des matériaux, l'incertitude est modérée.
\(\gamma_Q = 1.50\) pour les charges variables. On majore de 50% car il est très difficile de prévoir exactement combien de personnes ou de meubles seront dans la pièce. L'incertitude est forte.

Remarque Pédagogique

C'est le calcul le plus critique pour la sécurité des personnes. Si vous sous-estimez l'ELU, le bâtiment peut s'effondrer sans prévenir.

Normes

C'est la formule 6.10 de l'Eurocode 0 (EN 1990) pour les situations de projet durables ou transitoires.

Formule(s)

Formules utilisées

Combinaison ELU Fondamentale

P_{\text{u}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q

Hypothèses

On suppose que :

Les charges G et Q sont "défavorables" (elles agissent dans le même sens et augmentent la sollicitation).
On est en situation durable (pas d'incendie, pas de séisme, pas de choc accidentel).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge Permanente Totale	G	17.5	kN/m
Charge Variable	Q	20	kN/m
Coeff Sécurité G	γ_G	1.35	-
Coeff Sécurité Q	γ_Q	1.5	-

Astuces

Moyen mnémotechnique : "Le variable varie plus". C'est pourquoi on lui applique le plus gros coefficient (1.5) comparé au permanent (1.35).

Visualisation de la Majoration

Calcul(s)

1. Calcul des parts pondérées

Pour l'État Limite Ultime, nous allons majorer chaque type de charge par son coefficient de sécurité respectif.

D'abord, la part permanente \(G\) multipliée par 1.35 :

Part Permanente : \(1.35 \times G = 1.35 \times 17.5 = 23.625 \text{ kN/m}\)

Ensuite, la part variable \(Q\) multipliée par 1.5 :

Part Variable : \(1.5 \times Q = 1.5 \times 20 = 30 \text{ kN/m}\)

2. Calcul Final (Somme)

Application numérique

On additionne maintenant ces deux valeurs pondérées pour obtenir la charge totale de calcul à l'ELU.

Pultime = 1.35 G + 1.5 Q

\begin{aligned} P_{\text{u}} &= 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q \\ &= (1.35 \times 17.5) + (1.5 \times 20) \\ &= 23.625 + 30 \\ &= 53.625 \\ &\approx 53.63 \, \text{kN/m} \end{aligned}

La charge ultime à prendre en compte pour le dimensionnement des aciers est donc de 53.63 kN/m. C'est une charge fictive de sécurité.

Charge ELU Résultante

Réflexions

La charge de calcul est de 53.63 kN/m. C'est une valeur "virtuelle" très élevée. Elle ne se produira probablement jamais dans la réalité, mais la poutre doit être capable de la supporter pour garantir qu'il y a une marge de sécurité suffisante avant la rupture.

Points de vigilance

Erreur fatale : Ne jamais utiliser la charge ELU pour calculer la flèche (déformation) de la poutre. Vous obtiendriez des déformations théoriques énormes qui ne correspondent pas à la réalité physique observable.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

ELU = Sécurité Ruine.
Coefficients : 1.35 G + 1.5 Q.
Sert à calculer les aciers (ferraillage).

Le saviez-vous ?

Si une charge permanente est favorable (par exemple le poids d'un mur qui empêche le vent de soulever une toiture), on applique un coefficient de sécurité de 1.0 ou même 0.9 au lieu de 1.35 ! On minimise ce qui nous aide.

FAQ

Pourquoi 1.5 pour Q et pas 2.0 ?

C'est un calcul probabiliste complexe. Le coefficient 1.5 est calibré pour couvrir 95% des cas de surcharge possibles sur une durée de vie de 50 ans, tout en restant économiquement viable pour la construction.

La charge de calcul à l'ELU est de 53.63 kN/m.

A vous de jouer
Si Q passe à 30 kN/m, quel est le nouvel ELU (avec G=17.5) ?

📝 Mémo
ELU = Maximum Maximorum = Sécurité.

Question 4 : Combinaison à l'ELS

Principe

L'État Limite de Service (ELS) concerne l'utilisation normale et quotidienne du bâtiment. On ne cherche pas ici à savoir si ça casse, mais si ça se déforme trop. On vérifie le confort (pas d'effet trampoline), l'aspect (pas de fissures moches) et la fonctionnalité (les portes ne coincent pas). Pour cela, on utilise les charges telles qu'elles sont, sans coefficient majorateur de sécurité.

Mini-Cours

Combinaison Caractéristique : C'est la combinaison la plus simple, utilisée pour les vérifications standards (contraintes de compression, fissuration peu préjudiciable). On considère simplement la somme des charges probables. Les coefficients sont égaux à 1.0.

Remarque Pédagogique

L'ELS est souvent négligé par les étudiants, mais dans la pratique professionnelle moderne, c'est souvent l'ELS qui est dimensionnant ! Si vous respectez l'ELU mais que votre poutre fléchit de 5 cm, votre bâtiment est inutilisable.

Normes

Eurocode 0 définit cette combinaison pour les dommages irréversibles.

Formule(s)

Formules utilisées

Combinaison ELS Caractéristique

P_{\text{ser}} = G + Q

Hypothèses

On suppose ici une combinaison dite "caractéristique" (G + Q). Il existe d'autres combinaisons ELS plus fines (fréquente, quasi-permanente) qui utilisent des coefficients réducteurs \(\psi\) sur Q, mais nous restons ici sur le cas standard.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge Permanente	G	17.5	kN/m
Charge Variable	Q	20	kN/m
Coeff Sécurité	γ	1.0	-

Astuces

ELS = "Service" = "La vie de tous les jours". Dans la vraie vie, les charges ne sont pas multipliées par 1.5. On prend la réalité.

Comparaison ELU vs ELS

Calcul(s)

Calcul Principal

Application numérique

Pour l'État Limite de Service (combinaison caractéristique), les coefficients de sécurité valent 1.0. On fait donc une addition simple des valeurs brutes :

Il suffit d'additionner les valeurs brutes de \(G\) et \(Q\) sans les modifier :

Pservice = 1.0 G + 1.0 Q

\begin{aligned} P_{\text{ser}} &= G + Q \\ &= 17.5 + 20 \\ &= 37.5 \, \text{kN/m} \end{aligned}

La charge de service est de 37.5 kN/m. C'est cette valeur qui servira à vérifier que la poutre ne fléchit pas excessivement sous son chargement réel.

Charge ELS Résultante

Réflexions

On observe un écart significatif : la charge de service (37.5 kN/m) est environ 30% plus faible que la charge ultime (53.6 kN/m). C'est normal : on accepte de se rapprocher de la rupture (ELU) uniquement sous une charge théorique très élevée qui a très peu de chances d'arriver.

Points de vigilance

Même si la poutre tient à l'ELU, si elle a une flèche de 5 cm à l'ELS, elle est refusée. Il faut souvent augmenter la hauteur de la poutre pour satisfaire l'ELS.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

ELS = Confort, Aspect, Fonctionnement.
Coefficients = 1.0 (Somme simple).
Utilisé pour calculer les flèches (déformations).

Le saviez-vous ?

La fissuration du béton tendu est un phénomène normal à l'ELS ! Les calculs ELS servent justement à limiter l'ouverture de ces fissures (par exemple à moins de 0.3 mm) pour qu'elles ne soient pas visibles ni dangereuses pour l'acier (corrosion).

FAQ

Est-ce que l'ELS peut être plus grand que l'ELU ?

Jamais, car les coefficients de l'ELU sont toujours supérieurs à 1 (majorants), alors que ceux de l'ELS sont égaux à 1 (ou inférieurs dans certains cas rares).

La charge de calcul à l'ELS est de 37.5 kN/m.

A vous de jouer
Si G=20 et Q=20, combien vaut l'ELS ?

📝 Mémo
ELS = Simple somme = Réalité.

Schéma Bilan des Charges

Comparaison visuelle des charges linéiques calculées.

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir

Points clés pour le calcul de structure :

⚖️
Poids Propre : Ne jamais oublier le poids de l'élément lui-même (\(25 \text{ kN/m}^3\) pour le béton armé).
🔴
ELU (1.35G + 1.5Q) : Sert à dimensionner les aciers pour éviter la rupture. C'est la charge la plus lourde.
🔵
ELS (G + Q) : Sert à vérifier que la poutre ne se déforme pas trop (flèche) et ne fissure pas trop.

🎛️ Simulateur : Influence des charges

Modifiez les valeurs de G et Q pour voir comment évolue le moment fléchissant maximum dans la poutre (\(M_{max} = \frac{pL^2}{8}\)).

Paramètres de charge (kN/m)

Charge Permanente G : 17.5

Surcharge Q : 20

Moment Max ELU (kN.m) : -

Moment Max ELS (kN.m) : -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Quel est le coefficient de sécurité appliqué aux charges variables (Q) à l'ELU ?

1.35
1.50
1.00

2. Pour vérifier la fissuration du béton, quel état limite utilise-t-on ?

ELS (État Limite de Service)
ELU (État Limite Ultime)

📚 Glossaire

ELU: État Limite Ultime. État au-delà duquel la structure risque la ruine (effondrement).
ELS: État Limite de Service. État au-delà duquel les conditions d'exploitation (confort, aspect) ne sont plus satisfaites.
Charge Permanente (G): Charge constante dans le temps (poids propre, revêtements).
Charge Variable (Q): Charge liée à l'utilisation (meubles, personnes, vent, neige).
Eurocode 2: Norme européenne de calcul des structures en béton.

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma de la Poutre et des Charges

Questions à traiter

Les bases théoriques (Eurocode 2)

Correction : Calcul des Combinaisons de Charges

Question 1 : Poids propre de la poutre

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Coupe Transversale de la Poutre

Calcul(s)

1. Calcul de la Section (Aire)

2. Calcul du Poids Linéique

Résultat : Charge Répartie

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Charge Permanente Totale (G)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Composition de la Charge G

Calcul(s)

Calcul Principal

Résultat G Total

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Combinaison à l'ELU

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Visualisation de la Majoration

Calcul(s)

1. Calcul des parts pondérées

2. Calcul Final (Somme)

Charge ELU Résultante

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Combinaison à l'ELS

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Comparaison ELU vs ELS

Calcul(s)

Calcul Principal

Charge ELS Résultante