Calcul des Combinaisons de Charges en Béton Armé
Contexte : Pourquoi combiner les charges ?
Une structure est soumise à de multiples actions tout au long de sa vie : son propre poids, les charges d'exploitation (personnes, mobilier), la neige, le vent, etc. Il est statistiquement impossible que toutes ces charges agissent simultanément à leur valeur maximale. Les combinaisons de chargesFormules réglementaires qui définissent les scénarios de chargement à considérer pour le calcul d'une structure, en pondérant les différentes actions par des coefficients de sécurité et de simultanéité. sont des scénarios de chargement réalistes et sécuritaires définis par les normes (Eurocodes). Elles permettent de déterminer les sollicitations de calcul (moment fléchissant, effort tranchant, etc.) les plus défavorables pour chaque état limite (ELU et ELS), en appliquant des coefficients de sécurité et des facteurs de réduction pour tenir compte de la probabilité de leur occurrence simultanée.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à construire les combinaisons de charges les plus courantes pour un bâtiment selon l'Eurocode 0. Vous apprendrez à identifier l'action de base et les actions d'accompagnement, et à appliquer les bons coefficients de sécurité (\(\gamma\)) et de combinaison (\(\psi\)) pour les états limites ultime (ELU) et de service (ELS).
Objectifs Pédagogiques
- Distinguer les charges permanentes (G) des charges variables (Q).
- Identifier l'action de base et les actions d'accompagnement dans une combinaison.
- Appliquer la formule de la combinaison fondamentale à l'ELU (Éq. 6.10).
- Construire les trois combinaisons à l'ELS : Caractéristique, Fréquente et Quasi-permanente.
- Comprendre l'utilité de chaque combinaison (résistance, flèche, fissuration).
Données de l'étude
Charges appliquées sur le poteau
- Charge permanente (poids des structures) : \(G_k = 1200 \, \text{kN}\).
- Charge d'exploitation (bureaux) : \(Q_k = 400 \, \text{kN}\).
- Charge de neige : \(S_k = 150 \, \text{kN}\).
| Action | \(\psi_0\) (Combinaison) | \(\psi_1\) (Fréquente) | \(\psi_2\) (Quasi-permanente) |
|---|---|---|---|
| Exploitation (Q) | 0.7 | 0.5 | 0.3 |
| Neige (S) | 0.5 | 0.2 | 0 |
Questions à traiter
- Calculer l'effort normal de calcul à l'ELU (\(N_{Ed}\)) en considérant successivement la charge d'exploitation puis la neige comme action de base.
- Calculer l'effort normal de calcul à l'ELS Caractéristique (\(N_{ser,car}\)).
- Calculer l'effort normal de calcul à l'ELS Fréquent (\(N_{ser,freq}\)).
- Calculer l'effort normal de calcul à l'ELS Quasi-permanent (\(N_{ser,qp}\)).
Correction : Calcul des Combinaisons de Charges en Béton Armé
Question 1 : Calculer l'effort normal de calcul à l'ELU (\(N_{Ed}\))
Principe avec image animée (le concept physique)
La combinaison à l'ELU vise à trouver le scénario de chargement le plus défavorable pour la résistance de la structure. On majore toutes les charges permanentes par 1.35. Ensuite, on considère tour à tour chaque charge variable comme "action de base" (majorée par 1.5) et les autres comme "actions d'accompagnement" (majorées par \(1.5 \times \psi_0\)). On retient la combinaison qui donne l'effort le plus élevé.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le coefficient \(\psi_0\) représente la probabilité que deux charges variables différentes atteignent leur valeur maximale en même temps. Par exemple, il est peu probable d'avoir la charge maximale d'exploitation (tout le monde dans le bureau) et la charge de neige maximale en même temps. Le coefficient \(\psi_0\) (inférieur à 1) réduit donc la valeur de l'action d'accompagnement pour créer un scénario plus réaliste, tout en restant sécuritaire.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Il faut tester toutes les possibilités. Si vous avez trois charges variables (Q, S, W), vous devez faire trois calculs pour l'ELU : un avec Q comme base, un avec S comme base, et un avec W comme base. La valeur de \(N_{Ed}\) à retenir pour le dimensionnement sera la plus grande des trois.
Normes (la référence réglementaire)
Eurocode 0 (NF EN 1990), Équation 6.10 : \(\sum_{j \ge 1} \gamma_{G,j} G_{k,j} + \gamma_{Q,1} Q_{k,1} + \sum_{i > 1} \gamma_{Q,i} \psi_{0,i} Q_{k,i}\). C'est la formule générale qui est appliquée ici.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les charges d'exploitation et de neige sont des actions indépendantes. Les coefficients de sécurité sont \(\gamma_G = 1.35\) et \(\gamma_Q = 1.5\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Cas 1 (Q est l'action de base) :
Cas 2 (S est l'action de base) :
Effort de calcul à retenir :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(G_k = 1200 \, \text{kN}\)
- \(Q_k = 400 \, \text{kN}\) (avec \(\psi_0 = 0.7\))
- \(S_k = 150 \, \text{kN}\) (avec \(\psi_0 = 0.5\))
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul pour le Cas 1 (Q de base) :
Calcul pour le Cas 2 (S de base) :
Détermination de la valeur maximale :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le cas le plus défavorable est celui où la charge d'exploitation est considérée comme l'action de base. C'est donc la valeur de \(N_{Ed} = 2332.5 \, \text{kN}\) qui devra être utilisée pour le dimensionnement à la rupture du poteau.
Point à retenir : À l'ELU, on teste chaque charge variable comme action de base (avec \(\gamma_Q=1.5\)) et les autres comme actions d'accompagnement (avec \(\gamma_Q \psi_0\)), puis on retient le cas le plus défavorable.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape est la plus importante pour garantir la sécurité de la structure. Elle permet de s'assurer que l'élément résistera au scénario de chargement le plus critique plausible au cours de sa vie.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne tester qu'un seul cas : Il est obligatoire de tester chaque charge variable comme action de base. Omettre un cas pourrait conduire à ignorer la situation la plus défavorable.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Question 2 : Calculer l'effort normal à l'ELS Caractéristique (\(N_{ser,car}\))
Principe avec image animée (le concept physique)
La combinaison Caractéristique, aussi appelée "combinaison rare", est utilisée pour vérifier des états limites irréversibles à l'ELS, comme la fissuration. Elle représente un scénario de chargement sévère mais de courte durée. On prend la totalité des charges permanentes, l'action variable de base à sa pleine valeur, et les autres actions variables d'accompagnement avec leur facteur de combinaison \(\psi_0\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette combinaison est dimensionnante pour les vérifications de contraintes dans les matériaux à l'ELS. Par exemple, pour vérifier que le béton comprimé ne dépasse pas une certaine limite (\(0.6 f_{ck}\)) ou que l'acier tendu ne dépasse pas une limite fixée pour maîtriser la fissuration, c'est la combinaison caractéristique qui est généralement utilisée.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Notez qu'à l'ELS, il n'y a pas de coefficients de sécurité sur les charges (pas de 1.35 ou 1.5). On utilise les charges caractéristiques (dites "non pondérées"), mais on les combine avec les facteurs \(\psi\) pour représenter des scénarios réalistes.
Normes (la référence réglementaire)
Eurocode 0 (NF EN 1990), Équation (6.14b) : Définit la combinaison caractéristique : \(\sum_{j \ge 1} G_{k,j} + Q_{k,1} + \sum_{i > 1} \psi_{0,i} Q_{k,i}\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On doit, comme à l'ELU, tester chaque charge variable comme action de base pour trouver la valeur maximale.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Cas 1 (Q est l'action de base) :
Cas 2 (S est l'action de base) :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(G_k = 1200 \, \text{kN}\)
- \(Q_k = 400 \, \text{kN}\) (avec \(\psi_0 = 0.7\))
- \(S_k = 150 \, \text{kN}\) (avec \(\psi_0 = 0.5\))
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul pour le Cas 1 (Q de base) :
Calcul pour le Cas 2 (S de base) :
La valeur à retenir est la plus défavorable :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'effort de service caractéristique est de 1675 kN. C'est sous cette charge que l'on vérifiera, par exemple, que les contraintes dans les matériaux ne dépassent pas les limites fixées pour éviter des dommages irréversibles.
Point à retenir : La combinaison Caractéristique (\(G + Q_{base} + \sum \psi_0 Q_{accomp}\)) sert aux vérifications ELS irréversibles, comme le calcul de contraintes pour la fissuration.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul des contraintes et de la fissuration repose sur un comportement élastique des matériaux. Il est donc logique d'utiliser des charges non pondérées (de service), mais combinées de manière à représenter un scénario rare et défavorable pour la durabilité.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Confondre les coefficients \(\psi\) : Chaque combinaison ELS a ses propres coefficients (\(\psi_0, \psi_1, \psi_2\)). Utiliser le mauvais coefficient pour une combinaison donnée est une erreur fréquente.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Question 3 : Calculer l'effort normal à l'ELS Fréquent (\(N_{ser,freq}\))
Principe avec image animée (le concept physique)
La combinaison Fréquente est utilisée pour les vérifications ELS réversibles, comme les déformations (flèches) qui peuvent affecter l'apparence ou le confort des usagers. Elle représente un niveau de charge qui est dépassé plusieurs fois par an. On prend la totalité de G, l'action de base avec son facteur de valeur fréquente \(\psi_1\), et les actions d'accompagnement avec leur facteur quasi-permanent \(\psi_2\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le coefficient \(\psi_1\) transforme la valeur caractéristique d'une action en sa "valeur fréquente", qui a une probabilité plus élevée d'être atteinte. Cette combinaison est donc moins sévère que la combinaison caractéristique. Elle est particulièrement pertinente pour le calcul des flèches, car une déformation excessive, même temporaire, peut être gênante pour les utilisateurs ou endommager des éléments non structuraux comme les cloisons.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : La hiérarchie des coefficients est toujours \(\psi_2 \le \psi_1 \le \psi_0 \le 1\). Par conséquent, l'effort calculé suivra la même hiérarchie : \(N_{ser,qp} \le N_{ser,freq} \le N_{ser,car}\). C'est un bon moyen de vérifier la cohérence de vos résultats.
Normes (la référence réglementaire)
Eurocode 0 (NF EN 1990), Équation (6.15b) : Définit la combinaison fréquente : \(\sum_{j \ge 1} G_{k,j} + \psi_{1,1} Q_{k,1} + \sum_{i > 1} \psi_{2,i} Q_{k,i}\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On continue de tester chaque charge variable comme action de base pour déterminer le cas le plus défavorable pour cette combinaison spécifique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Cas 1 (Q est l'action de base) :
Cas 2 (S est l'action de base) :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(G_k = 1200 \, \text{kN}\)
- \(Q_k = 400 \, \text{kN}\) (avec \(\psi_1 = 0.5, \psi_2 = 0.3\))
- \(S_k = 150 \, \text{kN}\) (avec \(\psi_1 = 0.2, \psi_2 = 0\))
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul pour le Cas 1 (Q de base) :
Calcul pour le Cas 2 (S de base) :
La valeur à retenir est la plus défavorable :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'effort fréquent (1400 kN) est, comme attendu, inférieur à l'effort caractéristique (1675 kN). C'est cette valeur qui servirait de base pour calculer la flèche d'une poutre, par exemple.
Point à retenir : La combinaison Fréquente (\(G + \psi_1 Q_{base} + \sum \psi_2 Q_{accomp}\)) est principalement utilisée pour les vérifications de déformations réversibles.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette combinaison est nécessaire pour les vérifications de service qui sont réversibles. Il n'est pas nécessaire de garantir l'absence de déformations gênantes sous la charge maximale (rare), mais il est important de le faire pour une charge qui se produit régulièrement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Inverser \(\psi_1\) et \(\psi_2\) : L'action de base est affectée du coefficient \(\psi_1\), tandis que les actions d'accompagnement sont affectées du coefficient \(\psi_2\). Inverser ces deux coefficients est une erreur courante.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Question 4 : Calculer l'effort normal à l'ELS Quasi-permanent (\(N_{ser,qp}\))
Principe avec image animée (le concept physique)
La combinaison Quasi-permanente représente l'état de chargement de longue durée. Elle est utilisée pour les vérifications des effets qui dépendent du temps, comme le fluage du béton, et pour la fissuration dans des environnements agressifs. Elle est la plus simple à calculer : on prend la totalité des charges permanentes et on y ajoute chaque charge variable multipliée par son coefficient quasi-permanent \(\psi_2\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le fluage est la propriété du béton de se déformer dans le temps sous une charge constante. La flèche à long terme d'une poutre peut être 2 à 3 fois supérieure à sa flèche instantanée à cause de ce phénomène. C'est pourquoi le calcul des flèches à long terme doit se faire avec la combinaison quasi-permanente, qui représente la charge appliquée de manière continue.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Dans cette combinaison, il n'y a plus de notion d'action de base ou d'accompagnement. Toutes les charges variables sont traitées de la même manière, en prenant leur part quasi-permanente (\(\psi_2 Q_i\)).
Normes (la référence réglementaire)
Eurocode 0 (NF EN 1990), Équation (6.16b) : Définit la combinaison quasi-permanente : \(\sum_{j \ge 1} G_{k,j} + \sum_{i \ge 1} \psi_{2,i} Q_{k,i}\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On applique simplement la formule en sommant les parts quasi-permanentes de toutes les charges variables.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Combinaison quasi-permanente :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(G_k = 1200 \, \text{kN}\)
- \(Q_k = 400 \, \text{kN}\) (avec \(\psi_2 = 0.3\))
- \(S_k = 150 \, \text{kN}\) (avec \(\psi_2 = 0\))
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de l'effort quasi-permanent :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'effort quasi-permanent de 1320 kN représente la charge que le poteau supporte la grande majorité du temps. C'est sous cette charge que le béton va "fluer" et que les déformations à long terme vont se développer.
Point à retenir : La combinaison Quasi-permanente (\(G + \sum \psi_2 Q\)) est la plus légère et sert aux vérifications des effets à long terme (fluage) et de la fissuration préjudiciable.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette combinaison est essentielle pour la durabilité et l'aspect à long terme de la structure. Une flèche excessive qui apparaît après plusieurs années peut rendre un plancher inutilisable, même si sa résistance ultime n'est pas en jeu.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Négliger une charge : Même si une charge a un coefficient \(\psi_2\) faible, elle doit être incluse dans le calcul. Omettre une charge variable est une erreur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Outil Interactif : Calculateur de Combinaisons de Charges
Modifiez les charges caractéristiques pour voir leur influence sur les efforts de calcul.
Charges Caractéristiques
Résultats (kN)
Pour Aller Plus Loin : Combinaisons Accidentelles et Sismiques
Situations extrêmes : En plus des combinaisons fondamentales (ELU) et de service (ELS), les Eurocodes définissent des combinaisons pour des situations de projet particulières. Les combinaisons **accidentelles** sont utilisées pour vérifier la robustesse d'une structure face à un événement exceptionnel (choc de véhicule, explosion). Les combinaisons **sismiques** sont utilisées dans les zones à risque pour s'assurer que la structure peut résister à un tremblement de terre sans s'effondrer.
Le Saviez-Vous ?
L'approche des combinaisons de charges est basée sur la théorie des probabilités. Les coefficients de sécurité et de combinaison sont calibrés pour garantir un niveau de fiabilité uniforme pour la structure, c'est-à-dire une probabilité de défaillance très faible et acceptable sur sa durée de vie de conception (généralement 50 ans pour un bâtiment courant).
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si j'ai deux charges d'exploitation différentes (ex: bureaux et stockage) ?
Dans ce cas, vous devez les considérer comme deux actions variables distinctes, Q1 et Q2. Pour le calcul à l'ELU, vous devrez tester trois cas : 1) Q1 comme action de base, 2) Q2 comme action de base, et 3) la neige S comme action de base, en appliquant à chaque fois les bons coefficients \(\psi_0\) aux actions d'accompagnement.
Le vent est-il toujours une action d'accompagnement ?
Non. Pour les structures légères ou très hautes (comme les pylônes, les cheminées ou les bâtiments de grande hauteur), le vent peut devenir l'action de base la plus défavorable, et c'est la charge d'exploitation qui devient une action d'accompagnement.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle combinaison d'actions est utilisée pour vérifier la résistance à la rupture d'une poutre ?
2. La combinaison quasi-permanente est principalement utilisée pour vérifier :
- Action (Charge)
- Toute force (poids, vent, neige...) ou déformation imposée (température, tassement) s'appliquant sur une structure.
- Action de Base
- Dans une combinaison, l'action variable considérée à sa valeur la plus défavorable (pondérée par \(\gamma_Q\) à l'ELU, ou prise à sa valeur caractéristique/fréquente à l'ELS).
- Action d'Accompagnement
- Toute autre action variable présente dans la combinaison, dont la valeur est réduite par un coefficient \(\psi\) pour tenir compte de la faible probabilité qu'elle soit maximale en même temps que l'action de base.
- Coefficients \(\psi\)
- Facteurs de réduction (\(\psi_0, \psi_1, \psi_2\)) appliqués aux actions variables pour obtenir leurs valeurs de combinaison, fréquente ou quasi-permanente.
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