Calcul d’une poutre de redressement

Principe :

La poutre de redressement permet d'équilibrer le moment dû à l'excentricité de \(N_{Ed1}\) sur S1. On suppose que la pression sous chaque semelle est uniforme. L'ensemble (P1, P2, S1, S2, Poutre) est en équilibre.

Excentricité de la charge sur S1 : \(e_1 = A_1/2 - a_1/2 \)\(= 1.50/2 - 0.30/2 \)\(= 0.75 - 0.15 = 0.60 \, \text{m}\).

Le centre de pression sous S1 doit coïncider avec l'axe du poteau P1 pour que le système soit équilibré par la poutre. La poutre reprend le moment \(M = N_{Ed1} \times e_1\).

On écrit l'équilibre global. La somme des réactions du sol \(R_1 + R_2\) doit équilibrer la somme des charges des poteaux \(N_{Ed1} + N_{Ed2}\).

On écrit l'équilibre des moments par rapport à l'axe du poteau P2 (ou au centre de la réaction R2, car P2 est centré sur S2).

Équations d'Équilibre :

Somme des forces verticales :

Somme des moments par rapport à l'axe de P2 (point O2) :

Attention : Le moment de \(R_1\) par rapport à O2 est bien \(R_1 \times L\). Le moment de \(N_{Ed1}\) par rapport à O2 est \(N_{Ed1} \times L\). La poutre de redressement transmet l'effort pour équilibrer le moment d'excentricité \(N_{Ed1} \times e_1\) au niveau de la semelle S1, mais pour l'équilibre global du système par rapport à O2, on considère les forces externes et leurs bras de levier.

L'équation des moments montre que \(R_1 = N_{Ed1}\). C'est une simplification courante où l'on considère que la poutre "force" la réaction \(R_1\) à s'appliquer à l'aplomb de P1.

Données :

• \(N_{Ed1} = 800 \, \text{kN}\)
• \(N_{Ed2} = 1000 \, \text{kN}\)
• \(L = 5.00 \, \text{m}\)

Calcul :

D'après l'équilibre des moments \(\sum M_{/O2} = 0\) :

D'après l'équilibre des forces verticales :

Vérification : La réaction \(R_2\) correspond bien à la charge du poteau P2, ce qui est logique car P2 et S2 sont centrés.

Principe :

On isole la poutre. Elle est chargée par :

• La charge descendante du poteau P1 : \(N_{Ed1} = 800 \, \text{kN}\) (appliquée à l'axe de P1).
• La réaction ascendante du sol sous S1 : \(R_1 = 800 \, \text{kN}\) (supposée appliquée à l'axe de P1 grâce à la poutre).
• Une force (verticale) de liaison au niveau de P2 pour assurer l'équilibre.

La poutre fonctionne comme une poutre sur deux appuis (axes P1 et P2) soumise à un moment à l'extrémité P1 dû à l'excentricité de R1 par rapport au centre de S1, ou plus simplement, elle est en équilibre sous l'action de P1, P2 et les réactions R1, R2 transmises par les semelles.

Considérons l'équilibre de la poutre entre les axes des poteaux. Elle est soumise à la charge \(N_{Ed1}\) vers le bas en P1, à une réaction \(V_{P2}\) vers le haut en P2 (transmise par le poteau P2 depuis la semelle S2), et à la réaction du sol \(R_1\) appliquée sous la semelle S1. La poutre transfère l'effort entre P1 et P2.

Vue plus simple : La poutre relie P1 et P2. Elle est soumise à \(N_{Ed1}\) en P1 (vers le bas) et à une réaction \(R_1^{poutre}\) en P1 (vers le haut, transmise par S1) et une réaction \(R_2^{poutre}\) en P2 (vers le haut, transmise par S2 via P2). Pour l'équilibre vertical de la poutre : \(R_1^{poutre} + R_2^{poutre} = N_{Ed1}\). L'équilibre des moments par rapport à P2 donne \(R_1^{poutre} \times L = 0\) (si on néglige le poids propre de la poutre), ce qui n'est pas correct.

Modèle correct : La poutre est chargée par le poteau P1 (\(N_{Ed1}\) vers le bas) et supportée par la réaction \(R_1\) (vers le haut, mais excentrée par rapport à P1 si on considère la semelle) et par une force de liaison en P2. Le système {P1, Poutre, P2} est en équilibre sur les réactions {R1, R2}. Isolons la poutre : elle est soumise à \(N_{Ed1}\) en P1, et à des efforts internes (V, M) transmis par P2. La réaction \(R_1\) agit sous la semelle S1. La poutre "voit" la charge \(N_{Ed1}\) et une réaction \(V_{P2}\) à son autre extrémité.

Considérons la poutre simplement appuyée sur P1 et P2. La charge appliquée est la réaction du sol \(R_1\) agissant vers le haut au centre de la semelle S1 (à une distance \(e_1\) de P1). L'équilibre vertical donne la réaction en P2. C'est un modèle inversé.

Modèle le plus courant : La poutre est considérée comme une poutre sur 2 appuis (les axes des poteaux P1 et P2). Elle est chargée par une force \(R_1 = 800kN\) vers le haut, appliquée avec une excentricité \(e_1 = 0.60m\) par rapport à l'appui P1 (vers l'extérieur). Cette force excentrée crée un moment \(M_1 = R_1 \times e_1\) sur l'appui P1 et une force verticale \(R_1\) qui doit être équilibrée par les réactions aux appuis P1 et P2. Ce modèle est complexe.

Simplification : On considère la poutre chargée par \(N_{Ed1}\) (vers le bas en P1) et \(N_{Ed2}\) (vers le bas en P2), et supportée par les réactions \(R_1\) et \(R_2\) (vers le haut, appliquées aux centres des semelles). La poutre elle-même est en équilibre sous \(N_{Ed1}\), \(N_{Ed2}\) et les forces de liaison avec les semelles. Considérons la poutre comme étant chargée par \(N_{Ed1}\) et la réaction \(R_1\). Le moment à équilibrer est \(M = N_{Ed1} \times e_1 = 800 \times 0.60 = 480 \, kN.m\). Ce moment est transmis par la poutre à la semelle S2.

Approche par équilibre de la poutre seule : La poutre relie P1 et P2. Elle est soumise à \(N_{Ed1}\) en P1. La réaction \(R_1\) sous S1 crée un moment \(M_1 = R_1 \times e_1 = 800 \times 0.60 = 480 \, kN.m\) (moment de renversement que la poutre doit annuler). La poutre exerce donc une force \(V_{poutre/S1}\) vers le bas sur S1 (à l'axe P1) et un couple \(M_1\). Par action-réaction, S1 exerce sur la poutre une force \(R_1^{poutre} = V_{poutre/S1}\) vers le haut et un couple \(-M_1\). La poutre est aussi liée à P2. L'équilibre de la poutre donne les efforts en P2. C'est encore complexe.

Reconsidérons l'équilibre de la semelle S1 : Elle reçoit \(N_{Ed1}\) et une force \(V_{poutre}\) de la poutre. Elle est supportée par \(R_1\). Pour que la pression soit uniforme, \(R_1\) doit être appliquée au centre de S1. Équilibre vertical de S1 : \(N_{Ed1} + V_{poutre} - R_1 = 0\). Équilibre des moments / centre S1 : \(N_{Ed1} \times e_1 + V_{poutre} \times e_1 = 0\). Ceci implique \(V_{poutre} = -N_{Ed1}\). Alors \(N_{Ed1} - N_{Ed1} - R_1 = 0 \Rightarrow R_1 = 0\), ce qui est faux.

Hypothèse clé : La poutre de redressement applique une force \(V\) sur la semelle S1 (à l'axe P1) et une force \(-V\) sur la semelle S2 (à l'axe P2) pour équilibrer le moment d'excentricité. Équilibre des moments de S1 / centre de S1 : \(N_{Ed1} \times e_1 - V \times e_1 = 0 \Rightarrow V = N_{Ed1} = 800 \, kN\). La poutre est donc soumise à une force \(V = 800 \, kN\) vers le haut en P1 et une force \(V = 800 \, kN\) vers le bas en P2. C'est un cas de cisaillement pur ? Non. La poutre est soumise à \(N_{Ed1}\) vers le bas en P1, et à une force de liaison \(V_{P2}\) en P2. Elle est aussi soumise à la réaction \(R_1\) (vers le haut, excentrée) et \(R_2\) (via P2).

Approche finale (classique) : On suppose une pression uniforme sous S1 et S2. \(R_1 = 800kN\), \(R_2 = 1000kN\). La poutre relie P1 et P2. Elle est chargée par \(N_{Ed1}=800kN\) (vers le bas en P1) et par la réaction de S1, \(R_1=800kN\) (vers le haut, appliquée au centre de S1, soit à \(e_1=0.6m\) de P1). La poutre est en appui sur P2. Isolons la poutre : Appui en P2. Charge \(N_{Ed1}\) en P1. Réaction \(R_1\) à \(L-e_1 = 4.4m\) de P2. Réaction en P2 : \(V_{P2} = N_{Ed1} - R_1 = 800 - 800 = 0\). Moment en P2 : \(M_{P2} = N_{Ed1} \times L - R_1 \times (L-e_1) \)\(= 800 \times 5 - 800 \times 4.4 \)\(= 4000 - 3520 = 480 \, kN.m\). La poutre est donc une console de longueur L, encastrée en P2, chargée par \(N_{Ed1}\) vers le bas en P1 et \(R_1\) vers le haut à \(e_1\) de P1.

Efforts sur la Poutre :

Modèle final simplifié : La poutre relie P1 et P2. Elle est soumise à un effort tranchant et un moment fléchissant dus à la nécessité d'équilibrer le moment d'excentricité \(M_{exc} = N_{Ed1} \times e_1 = 800 \times 0.6 = 480 \, kN.m\). Ce moment crée une variation linéaire de l'effort tranchant le long de la poutre. \(V(x) = V_A = M_{exc} / L = 480 / 5 = 96 \, kN\) (constant). \(M(x) = M_A - V_A \times x\). Si on considère l'appui P1 comme origine, le moment est maximal en P1 ou P2. En P1 (rive), \(M_{Ed,P1} = M_{exc} = 480 \, kN.m\). En P2, \(M_{Ed,P2} = 0\). Le moment varie linéairement de 480 à 0.

Ce modèle suppose que la poutre reprend SEUL le moment d'excentricité via un effort tranchant constant. C'est une simplification forte.

Efforts considérés pour le dimensionnement :

• Effort tranchant : \(V_{Ed} = V_A = 96 \, kN\)
• Moment fléchissant max : \(M_{Ed} = 480 \, kN.m\) (moment négatif, aciers en partie supérieure)

Principe :

Basé sur le modèle simplifié où la poutre reprend le moment d'excentricité \(M_{exc} = 480 \, kN.m\) via un effort tranchant constant \(V = M_{exc}/L\).

Diagrammes :

Effort Tranchant \(V_{Ed}(x)\) :

Le diagramme est un rectangle de hauteur 96 kN.

Moment Fléchissant \(M_{Ed}(x)\) (origine en P1) :

• En \(x=0\) (P1) : \(M_{Ed}(0) = -480 \, kN.m\)
• En \(x=L=5\) (P2) : \(M_{Ed}(5) = -480 + 96 \times 5 \)\(= -480 + 480 = 0 \, kN.m\)

Le diagramme est une droite allant de -480 kN.m à 0 kN.m.

Valeurs maximales :

Principe (ELU - Flexion Simple) :

On dimensionne la section pour le moment maximal \(M_{Ed,max} = 480 \, kN.m\). Comme le moment est négatif, les aciers principaux seront en partie supérieure de la poutre.

Formules :

Données :

• \(|M_{Ed,max}| = 480 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 480 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
• \(b_p = 300 \, \text{mm}\)
• \(d_p = 450 \, \text{mm}\) (estimé)
• \(f_{cd} = 16.67 \, \text{MPa}\)
• \(f_{yd} = 435 \, \text{MPa}\)

Calcul :

Moment réduit :

Attention : \(\mu_{cu} = 0.474 > \mu_{lim} \approx 0.37\). La section de béton est insuffisante ou il faut des aciers comprimés. C'est irréaliste pour une poutre de 30x50. Revoyons le modèle.

Reconsidération du modèle : Le modèle simplifié donne un moment très élevé. Dans la réalité, la poutre interagit avec les semelles et le sol. Le moment de 480 kN.m est le moment total d'excentricité, mais il n'est pas forcément repris intégralement par la flexion de la poutre à l'encastrement P1. Une partie est reprise par la torsion ou redistribuée. Cependant, pour un exercice simplifié, on peut continuer avec cette valeur, mais il faudrait augmenter les dimensions de la poutre.

Alternative : Si on limite \(\mu_{cu}\) à \(\mu_{lim} = 0.37\), cela nécessiterait des aciers comprimés. Calculons \(A_s\) avec \(\mu_{cu}=0.474\) (Pivot B limite ou Pivot C).

Calcul de \(\alpha\) :

(Valeur élevée, proche de la limite 0.617 pour \(x/d = 0.45\))

Calcul du bras de levier \(z\) :

Calcul de \(A_s\) (aciers supérieurs) :

Cette section d'acier est très importante (\(\approx 12 HA 20\)) et probablement irréaliste pour une poutre 30x50. Cela indique que le modèle simplifié est trop pénalisant ou que les dimensions de la poutre sont insuffisantes.

Principe (EC2 - 6.2) :

On vérifie si la résistance à l'effort tranchant du béton seul (\(V_{Rd,c}\)) est suffisante pour reprendre \(V_{Ed,max}\). Si \(V_{Ed} > V_{Rd,c}\), des armatures d'effort tranchant (cadres) sont nécessaires.

Formule (Simplifiée) :

Avec \(C_{Rd,c} = 0.18 / \gamma_c = 0.18 / 1.5 = 0.12\).

\(k = 1 + \sqrt{200/d_p} \le 2.0\) (avec \(d_p\) en mm).

\(\rho_l = A_{s,prov} / (b_p d_p) \le 0.02\).

Alternativement, valeur minimale : \(V_{Rd,c,min} = [v_{min}] b_p d_p\) avec \(v_{min} = 0.035 k^{3/2} f_{ck}^{1/2}\).

Données :

• \(V_{Ed,max} = 96 \, \text{kN}\)
• \(b_p = 300 \, \text{mm}\)
• \(d_p = 450 \, \text{mm}\)
• \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
• \(A_{s,prov}\) : Supposons qu'on mette les \(3630 \, \text{mm}^2\) calculés (irréaliste, mais pour l'exemple).

Calcul :

Calcul de \(k\) :

Calcul de \(\rho_l\) :

On limite \(\rho_l\) à 0.02 pour le calcul de \(V_{Rd,c}\).

Calcul de \(V_{Rd,c}\) :

Calcul de \(V_{Rd,c,min}\) :

\(V_{Rd,c}\) à utiliser est \(\max(99.5; 50.8) = 99.5 \, kN\).

Vérification :

Armatures Longitudinales (Supérieures) :

Requis (selon Q4) : \(A_s = 3630 \, \text{mm}^2\). C'est très élevé.

Exemple de choix (si ce calcul était réaliste) :

• 8 HA 25 (\(8 \times 491 = 3928 \, \text{mm}^2\)) ou
• 6 HA 28 (\(6 \times 616 = 3696 \, \text{mm}^2\)) ou
• 5 HA 32 (\(5 \times 804 = 4020 \, \text{mm}^2\))

Il faudrait probablement 2 lits d'acier. Un choix de 6 HA 28 (3+3) pourrait être envisagé, mais la section de la poutre est probablement sous-dimensionnée.

Il faut aussi des aciers inférieurs (montage/peau), par exemple 2 HA 12.

Armatures Transversales (Cadres) :

Même si \(V_{Ed} \le V_{Rd,c}\), des cadres minimaux sont requis (EC2 9.2.2).

Taux minimal \(\rho_w = A_{sw} / (s \times b_p \times \sin \alpha)\). Pour cadres droits (\(\alpha=90^\circ\)) :

Espacement maximal : \(s_{max} = 0.75 d_p = 0.75 \times 450 = 337.5 \, \text{mm}\). On prend \(s \le 300 \, \text{mm}\).

Choix : Cadres HA 8 (\(A_{sw} = 2 \times 50.3 = 100.6 \, \text{mm}^2\)).

On choisit un espacement réaliste respectant \(s \le 300 \, \text{mm}\), par exemple Cadres HA 8 e=25 cm (\(A_{sw}/s = 100.6 / 250 \)\(= 0.40 \, mm^2/mm = 4.0 \, cm^2/m \ge 2.4 \, cm^2/m\)).