Études de cas pratique

EGC

Vérifier le non-écrasement des bielles de béton

Vérification du Non-Écrasement des Bielles de Béton

Comprendre la Vérification du Non-Écrasement des Bielles de Béton

Dans une poutre en béton armé soumise à un effort tranchant, le mécanisme de résistance peut être modélisé par un treillis (analogie de Ritter-Mörsch). Les armatures transversales (étriers) reprennent les efforts de traction (montants tendus), tandis que des bielles de béton inclinées reprennent les efforts de compression. Il est crucial de vérifier que ces bielles de béton ne s'écrasent pas sous l'effet de la compression, ce qui limiterait la capacité de la poutre à reprendre l'effort tranchant. Cette vérification est effectuée à l'État Limite Ultime (ELU).

Données de l'étude

On étudie une poutre rectangulaire en béton armé soumise à un effort tranchant important.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la poutre (\(b_w\)) : \(300 \, \text{mm}\)
  • Hauteur totale de la poutre (\(h\)) : \(600 \, \text{mm}\)
  • Hauteur utile (\(d\)) : \(550 \, \text{mm}\)
  • Béton : C30/37 (\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\)
  • Coefficient \(\alpha_{cw}\) pour éléments non précontraints : \(1.0\)

Sollicitations (ELU) :

  • Effort tranchant de calcul (\(V_{Ed}\)) : \(450 \, \text{kN}\)

Hypothèse : On choisit une inclinaison des bielles \(\theta = 45^\circ\).

Schéma : Modèle Treillis pour Effort Tranchant
θ VEd Modèle Treillis (Effort Tranchant) z (bras de levier)

Analogie du treillis pour la résistance à l'effort tranchant.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance de calcul du béton en compression (\(f_{cd}\)).
  2. Calculer le coefficient réducteur de résistance du béton pour les bielles comprimées (\(\nu_1\)). Utiliser la formule \(\nu_1 = 0.6 \left(1 - \frac{f_{ck}}{250}\right)\) (pour \(f_{ck} \leq 60\) MPa).
  3. Calculer le bras de levier interne (\(z\)). On prendra l'approximation \(z \approx 0.9 d\).
  4. Calculer la résistance maximale à l'effort tranchant des bielles d'âme (\(V_{Rd,max}\)). Utiliser la formule \(V_{Rd,max} = \frac{\alpha_{cw} b_w z \nu_1 f_{cd}}{\cot\theta + \tan\theta}\).
  5. Comparer l'effort tranchant agissant (\(V_{Ed}\)) à la résistance maximale des bielles (\(V_{Rd,max}\)) et conclure sur le non-écrasement des bielles de béton.

Correction : Vérification du Non-Écrasement des Bielles

Question 1 : Résistance de Calcul du Béton (\(f_{cd}\)) et Coefficient (\(\nu_1\))

Principe :

La résistance de calcul du béton \(f_{cd}\) est la résistance caractéristique \(f_{ck}\) divisée par le coefficient partiel de sécurité \(\gamma_c\), et affectée du coefficient \(\alpha_{cc}\). Le coefficient \(\nu_1\) réduit la résistance du béton pour tenir compte de l'état de contrainte multiaxial dans les bielles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\] \[\nu_1 = 0.6 \left(1 - \frac{f_{ck}}{250}\right)\]
Données spécifiques :
  • Béton C30/37 : \(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\) (souvent pris à 1.0 pour le calcul de \(f_{cd}\) dans le contexte de l'effort tranchant selon certaines annexes nationales, mais on utilise 0.85 comme indiqué dans l'énoncé précédent pour la compression simple. Pour l'effort tranchant, l'EC2 utilise souvent \(f_{cd}\) sans \(\alpha_{cc}\) ou un \(\alpha_{cw}\) spécifique. On va suivre la définition stricte de \(f_{cd}\) avec \(\alpha_{cc}=0.85\) pour la cohérence, ou noter que pour l'effort tranchant, \(\alpha_{cc}\) est parfois omis ou remplacé par \(\alpha_{cw}\) qui est pris à 1 ici).

    Pour cet exercice, nous allons considérer \(f_{cd} = f_{ck}/\gamma_c\) comme c'est souvent le cas dans les formules de cisaillement de l'EC2 où \(\nu_1\) et \(\alpha_{cw}\) modulent déjà la résistance.

    \[f_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c}\]
  • \(\gamma_c = 1.5\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{30 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= 20.0 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \nu_1 &= 0.6 \left(1 - \frac{30}{250}\right) \\ &= 0.6 \left(1 - 0.12\right) \\ &= 0.6 \times 0.88 \\ &= 0.528 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(f_{cd} = 20.0 \, \text{MPa}\) et \(\nu_1 = 0.528\).

Question 2 : Angle d'Inclinaison des Bielles (\(\theta\))

Principe :

L'angle \(\theta\) de l'inclinaison des bielles de compression par rapport à l'axe longitudinal de la poutre peut être choisi dans certaines limites (généralement \(21.8^\circ \leq \theta \leq 45^\circ\), soit \(1 \leq \cot\theta \leq 2.5\)). Un angle plus faible sollicite davantage les armatures transversales, un angle plus fort sollicite davantage les bielles de béton.

Données spécifiques :
  • Angle choisi : \(\theta = 45^\circ\)
Valeurs associées :
\[ \cot(45^\circ) = 1 \]\[ \tan(45^\circ) = 1 \]
Résultat Question 2 : L'angle choisi est \(\theta = 45^\circ\), donc \(\cot\theta = 1\) et \(\tan\theta = 1\).

Question 3 : Bras de Levier Interne (\(z\))

Principe :

Le bras de levier interne \(z\) est la distance entre les résultantes des forces de compression et de traction dans la section. Pour une poutre rectangulaire, on peut l'approximer.

Formule(s) utilisée(s) (Approximation) :
\[z \approx 0.9 d\]
Données spécifiques :
  • Hauteur utile (\(d\)) : \(550 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} z &\approx 0.9 \times 550 \, \text{mm} \\ &= 495 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le bras de levier interne est \(z \approx 495 \, \text{mm}\).

Question 4 : Résistance Maximale des Bielles (\(V_{Rd,max}\))

Principe :

La résistance maximale à l'effort tranchant que peuvent reprendre les bielles de béton avant écrasement est donnée par la formule de l'Eurocode 2.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 2) :
\[V_{Rd,max} = \frac{\alpha_{cw} b_w z \nu_1 f_{cd}}{\cot\theta + \tan\theta}\]

Ou, de manière équivalente : \(V_{Rd,max} = \alpha_{cw} b_w z \nu_1 f_{cd} \sin\theta \cos\theta\)

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(\alpha_{cw} = 1.0\)
  • \(b_w = 300 \, \text{mm}\)
  • \(z \approx 495 \, \text{mm}\)
  • \(\nu_1 = 0.528\)
  • \(f_{cd} = 20.0 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\cot\theta = 1\), \(\tan\theta = 1\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{Rd,max} &= \frac{1.0 \times 300 \times 495 \times 0.528 \times 20.0}{1 + 1} \\ &= \frac{1568160}{2} \, \text{N} \\ &= 784080 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN :

\[ V_{Rd,max} \approx 784.1 \, \text{kN} \]
Résultat Question 4 : La résistance maximale à l'effort tranchant des bielles d'âme est \(V_{Rd,max} \approx 784.1 \, \text{kN}\).

Question 5 : Vérification du Non-Écrasement des Bielles

Principe :

Pour éviter l'écrasement des bielles de béton, l'effort tranchant de calcul (\(V_{Ed}\)) doit être inférieur ou égal à la résistance maximale des bielles (\(V_{Rd,max}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{Ed} \leq V_{Rd,max}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{Ed} = 450 \, \text{kN}\)
  • \(V_{Rd,max} \approx 784.1 \, \text{kN}\) (calculé)
Comparaison :
\[450 \, \text{kN} \leq 784.1 \, \text{kN}\]

La condition est vérifiée.

Résultat Question 5 : L'effort tranchant agissant (\(V_{Ed} = 450 \, \text{kN}\)) est inférieur à la résistance maximale des bielles (\(V_{Rd,max} \approx 784.1 \, \text{kN}\)). Les bielles de béton ne s'écrasent pas.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Dans le modèle en treillis pour l'effort tranchant, que représentent les bielles de béton ?

2. Le coefficient \(\nu_1\) dans le calcul de \(V_{Rd,max}\) :

3. Si la condition \(V_{Ed} > V_{Rd,max}\) est obtenue, cela signifie :

Glossaire

Effort Tranchant (\(V_{Ed}\))
Effort interne dans une poutre tendant à faire glisser les sections transversales les unes par rapport aux autres.
Bielles de Béton
Zones de béton comprimées, inclinées, qui, dans le modèle en treillis, transmettent les forces de compression dues à l'effort tranchant.
Modèle en Treillis (Analogie de Ritter-Mörsch)
Modèle simplifié représentant le comportement d'une poutre en béton armé sous effort tranchant comme un treillis, avec des membrures comprimées (béton), des montants tendus (étriers) et des diagonales comprimées (bielles de béton).
Non-Écrasement des Bielles
Vérification à l'ELU s'assurant que la contrainte de compression dans les bielles de béton ne dépasse pas la résistance du béton, évitant une rupture fragile.
\(f_{cd}\)
Résistance de calcul du béton en compression.
\(\nu_1\)
Coefficient réducteur de la résistance du béton, tenant compte de la fissuration et de l'état de contrainte multiaxial dans les bielles d'âme.
\(\theta\)
Angle d'inclinaison des bielles de compression par rapport à l'axe longitudinal de la poutre.
\(z\)
Bras de levier interne, distance entre les résultantes des forces de compression et de traction dans la section.
\(b_w\)
Largeur de l'âme de la poutre (ou largeur de la section rectangulaire).
\(V_{Rd,max}\)
Résistance maximale à l'effort tranchant limitée par l'écrasement des bielles de béton.
\(\alpha_{cw}\)
Coefficient tenant compte de l'état de contrainte dans la membrure comprimée (généralement 1.0 pour les éléments non précontraints soumis à la flexion et à l'effort tranchant).
Vérification du Non-Écrasement des Bielles - Exercice d'Application

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