Études de cas pratique

EGC

Contrôle de la Fissuration d’une Poutre

Contrôle de la Fissuration d’une Poutre

Comprendre le contrôle de la Fissuration d’une Poutre

En tant qu’ingénieur en construction, vous êtes chargé d’évaluer la durabilité et la sécurité d’une poutre en béton armé exposée à des conditions environnementales classées XC3 selon l’Eurocode 2. Votre objectif principal est de calculer et de vérifier la largeur maximale des fissures pour s’assurer que la structure reste dans les limites de sécurité et de performance définies par les normes européennes.

Pour comprendre le Ferraillage transversal d’une poutre, cliquez sur le lien.

Données de l’Exercice:

  • Dimensions de la poutre: Longueur : 8 mètres, Largeur : 300 mm, Hauteur : 500 mm
  • Matériaux: Béton : C25/30, Acier d’armature : B500B
  • Charges: Charge permanente (G) : 25 kN/m, Charge variable (Q) : 15 kN/m
  • Conditions environnementales: Classe d’exposition : XC3

Données pour le Calcul de fissure:

  • Espacement des Armatures, \( s_r \): Valeur: \( s_r = 0.2 \) m, Basé sur les limites prescrites par l’Eurocode pour le contrôle de la fissuration.
  • -Déformation Moyenne de l’Acier, \( \epsilon_{sm} \): Valeur: \( \epsilon_{sm} = 0.2\% \) (ou \( 2 \times 10^{-3} \)), Estimation typique utilisée pour simplifier les évaluations initiales, reflétant une contrainte proche de la limite élastique de l’acier.
  • Déformation du Béton au Niveau de l’Acier, \( \epsilon_{cm} \): Valeur: \( \epsilon_{cm} = 0 \), Négligée dans ce calcul pour simplifier, supposant une contribution minime au total de la déformation au niveau des fissures.
contrôle de la Fissuration d'une Poutre

Questions:

1. Déterminer les moments fléchissants maximaux:

  • Utilisez la théorie des poutres pour calculer les moments dus aux charges permanentes et variables.

2. Choix et disposition des armatures:

  • Vous devez travailler avec des barres d’armature de 16 mm de diamètre, espacées de 200 mm. Vérifiez si cette configuration peut résister aux moments calculés.

3. Calcul de la fissuration:

  • Calculez la contrainte dans l’acier à l’aide de l’Eurocode 2.
  • Déterminez la largeur de fissure admissible en fonction de la classe d’exposition et du type de structure.
  • Utilisez la formule de l’Eurocode 2 pour calculer la largeur de fissure.

Vérifiez si la largeur de fissure calculée est inférieure à la valeur limite spécifiée par l’Eurocode pour la classe d’exposition donnée. Si ce n’est pas le cas, proposez des modifications dans la conception de l’armature.

Correction : contrôle de la Fissuration d’une Poutre

1. Calcul des moments fléchissants maximaux

Pour une poutre soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal (dans le cas d’une poutre simplement appuyée) est donné par la formule :

\[ M_{\text{max}} = \frac{q\,L^2}{8} \]

Données :
  • Charge uniformément répartie totale (service) :

\[ q = G + Q \] \[ q = 25 + 15 = 40\,\mathrm{kN/m} \]

  • Longueur de la poutre : \(L = 8\,\mathrm{m}\)
Calcul :

\[ M_{\text{max}} = \frac{40\,\mathrm{kN/m} \times (8\,\mathrm{m})^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{40 \times 64}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 320\,\mathrm{kN\cdot m} \]

Conversion en N·mm (souvent utilisé en calcul de conception) :

\[ 320\,\mathrm{kN\cdot m} = 320 \times 10^6\,\mathrm{N\cdot mm} \]

2. Choix et disposition des armatures

a) Vérification de la capacité en flexion

Objectif :
Vérifier que la configuration proposée (barres de 16 mm de diamètre, espacées de 200 mm) fournit une aire d’armature suffisante pour résister au moment fléchissant maximal calculé.

Hypothèses et données complémentaires :
  • Proposition : On envisage d’utiliser des barres de 16 mm de diamètre.

  • Aire d’une barre de 16 mm :

\[ A_{\text{bar}} = \frac{\pi}{4}d^2 = \frac{\pi}{4}\,(16)^2 \approx 201\,\mathrm{mm^2} \]

  • Disposition proposée :
    Les barres sont disposées dans la zone tendue avec un espacement longitudinal (dans le sens de la poutre) contrôlé par le critère de fissuration (\(s_r = 200\) mm).

Attention : La disposition longitudinale pour la résistance (la quantité totale d’armature nécessaire pour la flexion) est généralement définie en calcul de la résistance ultime. Ici, nous allons estimer l’aire nécessaire et comparer avec la quantité proposée.

  • Hypothèse sur la hauteur efficace :

On suppose que la hauteur utile (distance du centre de gravité de l’armature tendue à la fibre comprimée) est :

\[ d \approx 450\,\mathrm{mm} \]
(soit une retenue d’environ 50 mm par rapport au bord comprimé).

Calcul de l’aire d’armature requise :

Pour un acier sous contrainte, on peut utiliser la relation (en simplification et en considérant un levier moyen \( z \) approximé par \( 0,9\,d \)) :

\[ A_{s,\text{req}} = \frac{M_{\text{max}}}{f_{yd}\,z} \]

Où :

  • \( f_{yd} \) est la résistance de calcul de l’acier. Pour du B500B, en appliquant un coefficient partiel (par exemple \(\gamma_s = 1.15 \)) :

\[ f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} \approx \frac{500}{1.15} \approx 435\,\mathrm{N/mm^2} \]

  • On prend \( z \approx 0.9\,d = 0.9 \times 450 = 405\,\mathrm{mm} \).

Calcul numérique :

\[ A_{s,\text{req}} = \frac{320 \times 10^6\,\mathrm{N\cdot mm}}{435\,\mathrm{N/mm^2}\times 405\,\mathrm{mm}} \]

Calcul du dénominateur :

\[ 435 \times 405 = 176\,175\,\mathrm{N/mm} \]

Ainsi :

\[ A_{s,\text{req}} \approx \frac{320\,000\,000}{176\,175} \approx 1\,815\,\mathrm{mm^2} \]

Comparaison avec la configuration proposée :

Situation 1 – Disposition en une seule rangée le long de la poutre :
Si l’on considère que l’espacement longitudinal est de \(200\,\mathrm{mm}\) le long de la poutre, l’aire d’armature fournie par mètre linéaire de poutre sera :

\[ A_{s,\text{prov}} = \frac{201\,\mathrm{mm^2}}{0.2\,\mathrm{m}} = 1\,005\,\mathrm{mm^2/m} \]

Sur toute la longueur de la poutre (8 m), l’aire totale serait :

\[ A_{s,\text{prov,total}} = 1\,005 \times 8 = 8\,040\,\mathrm{mm^2} \]

Cependant, attention : en conception, ce calcul doit être appliqué à la section critique (la section où le moment est maximal). Dans une poutre continue, l’armature est concentrée dans la zone tendue de la section critique et non distribuée sur toute la longueur. La solution proposée suggère que la densité d’armature (en mm² par m de largeur de la section) est contrôlée par le critère de fissuration (espacement maximum de 200 mm).

Pour la résistance, on doit disposer d’un nombre suffisant de barres sur la largeur de la poutre. Par exemple, si l’on place les barres dans la zone tendue (en général en une ou deux rangées), il faut que l’aire totale fournie dans la section critique soit au moins \( 1\,815\,\mathrm{mm^2} \).

  • Exemples de disposition :

Deux barres de 16 mm donnent : \( 2 \times 201 = 402\,\mathrm{mm^2} \) → Insuffisant.

Quatre barres de 16 mm donnent : \( 4 \times 201 = 804\,\mathrm{mm^2} \) → Toujours insuffisant.

Pour atteindre ou dépasser \( 1\,815\,\mathrm{mm^2} \), il faudrait par exemple utiliser 10 barres (10 × 201 = 2 010 mm²) ou envisager d’augmenter le diamètre des barres.

Conclusion :

La simple disposition avec des barres de 16 mm espacées de 200 mm (si l’on ne prévoit que quelques barres dans la section critique) ne suffirait pas à résister au moment fléchissant calculé. Il faut soit augmenter le nombre de barres (par exemple, en passant à une configuration à 10 barres réparties dans la zone tendue) soit envisager des barres de diamètre supérieur afin d’obtenir une aire d’armature au moins égale à

3. Calcul de la fissuration

a) Formule de l’Eurocode 2 pour la largeur de fissure

Une approche simplifiée utilisée en Eurocode 2 pour le calcul de la largeur de fissure est :

\[ w_k = s_{r} \times \left( \varepsilon_{sm} – \varepsilon_{cm} \right) \]

  • \( s_{r} \) : espacement effectif des barres dans la zone tendue (ici \( s_{r}=0.2\,\mathrm{m} = 200\,\mathrm{mm} \))
  • \( \varepsilon_{sm} \) : déformation moyenne de l’acier (donnée : \( 2 \times 10^{-3} \))
  • \( \varepsilon_{cm} \) : déformation du béton au niveau de l’armature (donnée : 0)

Remarque : Dans des calculs plus détaillés, le coefficient lié à la répartition de la déformation et la prise en compte de l’adhérence peuvent intervenir. Ici, nous suivons l’approche simplifiée proposée dans l’énoncé.

b) Application numérique

\[ w_k = 200\,\mathrm{mm} \times \left( 2 \times 10^{-3} – 0 \right) \] \[ w_k = 200 \times 0.002 = 0.4\,\mathrm{mm} \]

c) Vérification par rapport aux limites réglementaires

Pour la classe d’exposition XC3, l’Eurocode 2 (ainsi que les recommandations associées) impose généralement une largeur de fissure maximale de l’ordre de 0,3 mm (voire moins dans certains cas).

Or, nous obtenons :

\[ w_k = 0.4\,\mathrm{mm} > 0.3\,\mathrm{mm} \]

Conclusion : La largeur de fissure calculée dépasse la valeur limite autorisée pour une exposition XC3.

d) Propositions de modifications

Pour réduire la largeur de fissure et obtenir :

\[ w_k \le 0.3\,\mathrm{mm} \]

plusieurs solutions peuvent être envisagées :

1. Réduire l’espacement des armatures \( s_r \) : 

Par exemple, en passant de \( s_r = 200\,\mathrm{mm} \) à \( s_r = 150\,\mathrm{mm} \), on aurait :

\[ w_k = 150\,\mathrm{mm} \times 0.002 = 0.3\,\mathrm{mm} \]

Ce qui permet d’atteindre la limite admissible.

2. Optimiser l’ancrage et la disposition des barres :
Une meilleure répartition dans la zone tendue peut améliorer le contrôle de fissuration.

3. Utiliser des aciers à meilleure adhérence ou une classe d’acier avec une limite d’élasticité plus basse (tout en restant conforme aux exigences de résistance) :
Cela réduirait la déformation de l’acier \( \varepsilon_{sm} \) et donc la largeur de fissure.

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