Études de cas pratique

EGC

Contrôle de la Fissuration d’une Poutre

Contrôle de la Fissuration d’une Poutre

Comprendre le Contrôle de la Fissuration

Le contrôle de la fissuration en béton armé vise à limiter l'ouverture des fissures sous les charges de service (ELS) pour garantir la durabilité de l'ouvrage (protection des aciers contre la corrosion) et son aspect esthétique. L'Eurocode 2 propose des méthodes pour limiter cette ouverture, soit par un calcul direct de l'ouverture de fissure (\(w_k\)), soit par des règles indirectes limitant le diamètre ou l'espacement des armatures en fonction de la contrainte dans l'acier sous charges quasi-permanentes.

Données

On considère une poutre rectangulaire en béton armé sur deux appuis simples, soumise à une charge uniformément répartie.

Géométrie :

  • Section rectangulaire : \(b = 300 \, \text{mm}\), \(h = 500 \, \text{mm}\)
  • Portée de la poutre : \(L = 6.0 \, \text{m}\)
  • Enrobage des aciers : \(c_{nom} = 35 \, \text{mm}\)

Charges (caractéristiques) :

  • Charge permanente (poids propre inclus) : \(g_k = 15 \, \text{kN/m}\)
  • Charge d'exploitation : \(q_k = 10 \, \text{kN/m}\)

Combinaisons de charges :

  • ELU : \(p_{Ed} = 1.35 g_k + 1.5 q_k\)
  • ELS (quasi-permanente) : \(p_{qp} = g_k + \psi_2 q_k\)
  • Facteur pour valeur quasi-permanente de la charge variable (bâtiment résidentiel) : \(\psi_2 = 0.3\)

Matériaux :

  • Béton : Classe C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\), \(f_{cd} = 16.67 \, \text{MPa}\), \(E_{cm} = 31 \, \text{GPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\), \(f_{yd} = 435 \, \text{MPa}\), \(E_s = 200 \, \text{GPa}\))

Environnement :

  • Classe d'exposition : XC1 (sec ou humide en permanence)
Schéma : Poutre et Section
A B g_k, q_k L = 6.0 m Section b=300 h=500 As

Questions

  1. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul à l'ELU (\(M_{Ed}\)).
  2. Calculer la section d'acier (\(A_s\)) nécessaire à l'ELU pour reprendre \(M_{Ed}\). On prendra une hauteur utile \(d \approx 0.9h\).
  3. Choisir un ferraillage pratique (par exemple, 3 barres HA) et calculer la section réellement mise en place (\(A_{s,prov}\)). Recalculer la hauteur utile \(d\) correspondante.
  4. Calculer le moment fléchissant sous combinaison quasi-permanente (\(M_{qp}\)).
  5. Calculer la contrainte dans les aciers \(\sigma_s\) sous \(M_{qp}\) (on pourra utiliser l'hypothèse simplifiée de la section fissurée et du comportement élastique des matériaux).
  6. Déterminer l'ouverture de fissure maximale admissible (\(w_{max}\)) pour la classe d'exposition XC1.
  7. Vérifier le contrôle de la fissuration par la méthode indirecte (limitation du diamètre ou de l'espacement) en utilisant les tables de l'Eurocode 2 (ou des formules approchées) en fonction de \(\sigma_s\). Comparer avec le ferraillage choisi.

Correction : Contrôle de la Fissuration d’une Poutre

Question 1 : Calcul du Moment Fléchissant Maximal à l'ELU (\(M_{Ed}\))

Principe :

Pour une poutre sur deux appuis soumise à une charge uniformément répartie \(p_{Ed}\), le moment maximal se produit à mi-portée.

Formule :
\[M_{Ed,max} = \frac{p_{Ed} L^2}{8}\]

Avec la charge de calcul ELU :

\[p_{Ed} = 1.35 g_k + 1.5 q_k\]
Données :
  • \(g_k = 15 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_k = 10 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Calcul :

Charge ELU :

\[p_{Ed} = 1.35 \times 15 \, \text{kN/m} + 1.5 \times 10 \, \text{kN/m} \] \[p_{Ed} = 20.25 + 15 \] \[p_{Ed} = 35.25 \, \text{kN/m}\]

Moment ELU maximal :

\[M_{Ed} = \frac{35.25 \, \text{kN/m} \times (6.0 \, \text{m})^2}{8} \] \[M_{Ed} = \frac{35.25 \times 36}{8} \] \[M_{Ed} = 158.625 \, \text{kN} \cdot \text{m}\]
Résultat Question 1 : Le moment fléchissant maximal à l'ELU est \(M_{Ed} \approx 158.6 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 2 : Calcul de la Section d'Acier Nécessaire à l'ELU (\(A_s\))

Principe (ELU - Flexion Simple) :

On utilise les formules de flexion simple pour déterminer la section d'acier \(A_s\) requise pour équilibrer \(M_{Ed}\).

On utilise l'approximation \(d \approx 0.9h\) pour une première estimation.

Formules (Méthode simplifiée) :
\[d \approx 0.9h\] \[\mu_{cu} = \frac{M_{Ed}}{b d^2 f_{cd}}\] \[z \approx d (1 - 0.4 \alpha) \quad \text{avec } \alpha = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{cu}})\] \[A_s = \frac{M_{Ed}}{z f_{yd}}\]
Données :
  • \(M_{Ed} = 158.6 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(b = 300 \, \text{mm}\)
  • \(h = 500 \, \text{mm}\)
  • \(f_{cd} = 16.67 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{yd} = 435 \, \text{MPa}\)
Calcul :

Hauteur utile approchée :

\[d \approx 0.9 \times 500 \, \text{mm} \] \[d = 450 \, \text{mm}\]

Moment réduit :

\[\mu_{cu} = \frac{158.6 \times 10^6}{300 \times (450)^2 \times 16.67} \] \[\mu_{cu} \approx 0.156\]

(\(\mu_{cu} = 0.156 < 0.37\), Pivot A/B)

Calcul de \(\alpha\) :

\[\alpha = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \times 0.156}) \] \[\alpha \approx 0.213\]

Calcul du bras de levier \(z\) :

\[z = d (1 - 0.4 \alpha) \] \[z = 450 \times (1 - 0.4 \times 0.213) \] \[z \approx 450 \times 0.915 \] \[z = 411.7 \, \text{mm}\]

Calcul de \(A_s\) :

\[A_s = \frac{158.6 \times 10^6}{411.7 \times 435} \approx 886 \, \text{mm}^2\]
Résultat Question 2 : La section d'acier nécessaire à l'ELU est \(A_s \approx 886 \, \text{mm}^2\).

Question 3 : Choix du Ferraillage Pratique et Hauteur Utile Réelle

Choix :

On cherche une combinaison de barres dont la section totale est \(\ge 886 \, \text{mm}^2\). Essayons 3 barres.

Section par barre : \(886 / 3 \approx 295 \, \text{mm}^2\). Cela correspond à un diamètre \(\phi \approx \sqrt{4 \times 295 / \pi} \approx 19.4 \, \text{mm}\). On choisit le diamètre commercial supérieur : HA 20.

Choix proposé : **3 HA 20**.

Calcul de la Section Fournie (\(A_{s,prov}\)) :

Section d'une barre HA 20 :

\[A_{\phi 20} = \pi \frac{(20 \, \text{mm})^2}{4} \approx 314.16 \, \text{mm}^2\]

Section totale fournie par 3 HA 20 :

\[A_{s,prov} = 3 \times 314.16 \, \text{mm}^2 \] \[A_{s,prov} = 942.5 \, \text{mm}^2\]

Vérification : \(A_{s,prov} = 942.5 \, \text{mm}^2 \ge A_s = 886 \, \text{mm}^2\). OK.

Calcul de la Hauteur Utile Réelle (\(d\)) :

On suppose une seule nappe d'acier.

\[d = h - c_{nom} - \frac{\phi}{2}\]
\[d = 500 - 35 - \frac{20}{2} \] \[d = 500 - 35 - 10 \] \[d = 455 \, \text{mm}\]

(Note : Cette valeur est très proche de l'estimation initiale de 450 mm).

Résultat Question 3 : Le ferraillage retenu est **3 HA 20** (\(A_{s,prov} = 942.5 \, \text{mm}^2\)). La hauteur utile réelle correspondante est \(d = 455 \, \text{mm}\).

Question 4 : Calcul du Moment Fléchissant Quasi-Permanent (\(M_{qp}\))

Principe :

On calcule le moment maximal sous la combinaison ELS quasi-permanente, qui est utilisée pour le calcul des contraintes et la vérification de la fissuration.

Formule :
\[M_{qp} = \frac{p_{qp} L^2}{8}\]

Avec la charge quasi-permanente :

\[p_{qp} = g_k + \psi_2 q_k\]
Données :
  • \(g_k = 15 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_k = 10 \, \text{kN/m}\)
  • \(\psi_2 = 0.3\)
  • \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Calcul :

Charge quasi-permanente :

\[p_{qp} = 15 \, \text{kN/m} + 0.3 \times 10 \, \text{kN/m} \] \[p_{qp} = 15 + 3 \] \[p_{qp} = 18 \, \text{kN/m}\]

Moment quasi-permanent maximal :

\[M_{qp} = \frac{18 \, \text{kN/m} \times (6.0 \, \text{m})^2}{8} \] \[M_{qp} = \frac{18 \times 36}{8} \] \[M_{qp} = 81 \, \text{kN} \cdot \text{m}\]
Résultat Question 4 : Le moment fléchissant maximal sous charges quasi-permanentes est \(M_{qp} = 81 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 5 : Calcul de la Contrainte dans les Aciers (\(\sigma_s\)) sous \(M_{qp}\)

Principe (ELS - Section fissurée) :

Sous charges de service, on considère que le béton tendu est fissuré et ne participe pas à la reprise des efforts. On calcule la position de l'axe neutre (\(y\)) et le moment d'inertie de la section fissurée homogénéisée (\(I_{fiss}\)) pour déterminer la contrainte dans l'acier.

Coefficient d'équivalence acier/béton : \(n = E_s / E_{cm}\).

Formules (Comportement élastique) :

Position de l'axe neutre (depuis la fibre la plus comprimée) :

\[\frac{b y^2}{2} = n A_{s,prov} (d - y)\]

Contrainte dans l'acier :

\[\sigma_s = n \frac{M_{qp} (d - y)}{I_{fiss}}\]

Où \(I_{fiss} = \frac{b y^3}{3} + n A_{s,prov} (d - y)^2\).

Alternativement, une fois \(y\) trouvé, on peut calculer le bras de levier \(z_{qp} = d - y/3\) et utiliser :

\[\sigma_s = \frac{M_{qp}}{A_{s,prov} z_{qp}}\]
Données :
  • \(M_{qp} = 81 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 81 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(b = 300 \, \text{mm}\)
  • \(d = 455 \, \text{mm}\) (réel)
  • \(A_{s,prov} = 942.5 \, \text{mm}^2\) (3 HA 20)
  • \(E_s = 200 \, \text{GPa} = 200 \, 000 \, \text{MPa}\)
  • \(E_{cm} = 31 \, \text{GPa} = 31 \, 000 \, \text{MPa}\)
Calcul :

Coefficient d'équivalence :

\[n = \frac{E_s}{E_{cm}} = \frac{200 \, 000}{31 \, 000} \approx 6.45\]

Équation pour trouver \(y\) :

\[\frac{300 y^2}{2} = 6.45 \times 942.5 \times (455 - y)\] \[150 y^2 = 6079.1 (455 - y)\] \[150 y^2 + 6079.1 y - 2766000 \approx 0\]

Résolution de l'équation du second degré (\(ay^2+by+c=0\)) :

\(a=150\), \(b=6079.1\), \(c=-2766000\)

\[y = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[y == \frac{-6079.1 + \sqrt{6079.1^2 - 4(150)(-2766000)}}{2 \times 150}\] \[y \approx \frac{-6079.1 + \sqrt{36.95 \times 10^6 + 1.66 \times 10^9}}{300} \] \[y =\approx \frac{-6079.1 + 41180}{300} \] \[y =\approx 117 \, \text{mm}\]

Calcul du bras de levier \(z_{qp}\) :

\[z_{qp} = d - \frac{y}{3} = 455 - \frac{117}{3} \] \[z_{qp} = 455 - 39 = 416 \, \text{mm}\]

Calcul de la contrainte \(\sigma_s\) :

\[\sigma_s = \frac{M_{qp}}{A_{s,prov} z_{qp}} \] \[\sigma_s = \frac{81 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{942.5 \, \text{mm}^2 \times 416 \, \text{mm}} \] \[\sigma_s \approx 206.6 \, \text{MPa}\]
Résultat Question 5 : La contrainte dans les aciers sous charges quasi-permanentes est \(\sigma_s \approx 207 \, \text{MPa}\).

Question 6 : Ouverture de Fissure Maximale Admissible (\(w_{max}\))

Principe (EC2 - Tableau 7.1N) :

L'ouverture de fissure maximale admissible (\(w_{max}\)) dépend de la classe d'exposition.

Données :
  • Classe d'exposition : XC1 (Risque de corrosion faible - intérieur de bâtiment sec)
Valeur :

Pour la classe XC1, l'Eurocode 2 recommande :

\[w_{max} = 0.4 \, \text{mm} \quad (\text{pour des raisons d'aspect})\]

(Pour des classes plus agressives comme XC3/XC4, on aurait \(w_{max} = 0.3 \, \text{mm}\)).

Résultat Question 6 : Pour la classe d'exposition XC1, l'ouverture de fissure maximale admissible est \(w_{max} = 0.4 \, \text{mm}\).

Question 7 : Vérification du Contrôle de Fissuration (Méthode Indirecte)

Principe (EC2 - 7.3.3) :

Pour éviter un calcul direct de \(w_k\), on peut utiliser des règles limitant le diamètre maximal des barres (\(\phi_s^*\)) ou leur espacement maximal (\(s_{max}\)) en fonction de la contrainte calculée \(\sigma_s\).

Les valeurs limites sont données dans les Tableaux 7.2N (diamètre max) et 7.3N (espacement max) de l'Eurocode 2, en fonction de \(\sigma_s\) et de \(w_k\) (qui est \(w_{max}\)).

Vérification par le Diamètre Maximal (Tableau 7.2N) :

On cherche le diamètre maximal \(\phi_s^*\) autorisé pour \(\sigma_s = 207 \, \text{MPa}\) et \(w_k = 0.4 \, \text{mm}\).

Extrait simplifié du Tableau 7.2N pour \(w_k = 0.4 \, \text{mm}\) :

  • Pour \(\sigma_s = 200 \, \text{MPa}\), \(\phi_s^* = 25 \, \text{mm}\)
  • Pour \(\sigma_s = 240 \, \text{MPa}\), \(\phi_s^* = 16 \, \text{mm}\)

Interpolation linéaire (ou simplement vérifier par rapport à la valeur la plus proche) : Pour \(\sigma_s = 207 \, \text{MPa}\), on est proche de 200 MPa. Le diamètre maximal autorisé \(\phi_s^*\) est supérieur à 20 mm.

Diamètre choisi : \(\phi = 20 \, \text{mm}\).

\[\phi = 20 \, \text{mm} \le \phi_s^*(\sigma_s=207, w_k=0.4) \quad (\text{OK})\]
Vérification par l'Espacement Maximal (Tableau 7.3N) :

On cherche l'espacement maximal \(s_{max}\) autorisé pour \(\sigma_s = 207 \, \text{MPa}\) et \(w_k = 0.4 \, \text{mm}\).

Extrait simplifié du Tableau 7.3N pour \(w_k = 0.4 \, \text{mm}\) :

  • Pour \(\sigma_s = 200 \, \text{MPa}\), \(s_{max} = 250 \, \text{mm}\)
  • Pour \(\sigma_s = 240 \, \text{MPa}\), \(s_{max} = 150 \, \text{mm}\)

Interpolation linéaire : \(s_{max} \approx 250 - \frac{207-200}{240-200}(250-150)\) \(= 250 - \frac{7}{40}(100) \)\(\approx 232.5 \, \text{mm}\).

Espacement réel des barres (3 HA 20 dans 300 mm de largeur) :

Espace disponible \(= b - 2 c_{nom} - \phi = 300 - 2 \times 35 - 20 = 210 \, \text{mm}\). Nombre d'intervalles = 2.

\[s_{reel} = \frac{210 \, \text{mm}}{2} = 105 \, \text{mm}\]
\[s_{reel} = 105 \, \text{mm} \le s_{max} \approx 232.5 \, \text{mm} \quad (\text{OK})\]
Résultat Question 7 : Le ferraillage choisi (3 HA 20) respecte les conditions de contrôle de la fissuration par la méthode indirecte pour une classe d'exposition XC1 (\(w_{max} = 0.4 \, \text{mm}\)). Le diamètre utilisé (20 mm) est inférieur au diamètre maximal autorisé, et l'espacement réel (105 mm) est inférieur à l'espacement maximal autorisé.
Contrôle de la Fissuration d’une Poutre

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