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Sélection d’un Acier pour Armatures Passives

Sélection d'un Acier pour Armatures Passives (Eurocode 2)

Sélection d'un Acier pour Armatures Passives (Eurocode 2)

Comprendre le Calcul d'Armatures en Béton Armé

Le dimensionnement des armatures passives dans une section en béton armé est une étape fondamentale de la conception des structures. Il vise à déterminer la quantité d'acier nécessaire pour reprendre les efforts de traction générés par la flexion, que le béton seul ne peut supporter. Selon l'Eurocode 2, le calcul à l'État Limite Ultime (ELU) s'assure que la section peut résister au moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)) en toute sécurité, en utilisant les diagrammes contrainte-déformation rectangulaire simplifié pour le béton et bilinéaire pour l'acier.

Données de l'étude

On étudie une poutre en béton armé de section rectangulaire, simplement appuyée, soumise à un moment fléchissant de calcul à l'ELU.

Caractéristiques des matériaux et géométrie :

  • Classe de résistance du béton : C25/30 (\(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Nuance d'acier pour armatures : S500B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Section de la poutre : \(b \times h = 25 \, \text{cm} \times 50 \, \text{cm}\)
  • Enrobage nominal des armatures : \(c_{\text{nom}} = 3.0 \, \text{cm}\)
  • Diamètre des étriers (cadres) : \(\phi_{\text{cadre}} = 8 \, \text{mm}\)
  • Diamètre supposé des armatures longitudinales : \(\phi_{\text{longi}} = 16 \, \text{mm}\)
  • Coefficients partiels de sécurité : \(\gamma_{\text{c}} = 1.5\) (béton), \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\) (acier)

Sollicitations (ELU) :

  • Moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)) : \(160 \, \text{kN.m}\)

Hypothèse : On ne considère que les armatures tendues. La zone comprimée est entièrement reprise par le béton.

Schéma : Section de la poutre en Béton Armé
h = 500 mm b = 250 mm d x Zone Comprimée Zone Tendue

Section rectangulaire d'une poutre avec ses armatures tendues.

Questions à traiter

  1. Calculer les contraintes de calcul du béton (\(f_{\text{cd}}\)) et de l'acier (\(f_{\text{yd}}\)).
  2. Déterminer la hauteur utile (\(d\)) de la section.
  3. Calculer le moment réduit centré (\(\mu_{\text{cu}}\)).
  4. Vérifier si des armatures comprimées sont nécessaires en comparant \(\mu_{\text{cu}}\) au moment réduit limite \(\mu_{\text{lim}}\).
  5. Calculer le bras de levier (\(z\)) des efforts internes.
  6. Déterminer la section d'armatures requise (\(A_{\text{s, req}}\)).
  7. Proposer un choix d'armatures (nombre et diamètre de barres) et calculer la section d'armatures fournie (\(A_{\text{s, prov}}\)).
  8. Vérifier les conditions de non-fragilité (pourcentage minimum) et de bon bétonnage (pourcentage maximum).

Correction : Sélection d'Armatures Passives

Question 1 : Contraintes de Calcul (\(f_{\text{cd}}\) et \(f_{\text{yd}}\))

Principe :

Les contraintes de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques (\(f_{\text{ck}}\) pour le béton, \(f_{\text{yk}}\) pour l'acier) par les coefficients de sécurité respectifs (\(\gamma_{\text{c}}\) et \(\gamma_{\text{s}}\)). Ces valeurs de calcul sont utilisées pour le dimensionnement à l'ELU.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{\text{cd}} = \frac{\alpha_{\text{cc}} \cdot f_{\text{ck}}}{\gamma_{\text{c}}}\] \[f_{\text{yd}} = \frac{f_{\text{yk}}}{\gamma_{\text{s}}}\]

Avec \(\alpha_{\text{cc}} = 0.85\) (coefficient tenant compte des effets à long terme sur la résistance du béton).

Calcul :
\[ f_{\text{cd}} = \frac{0.85 \times 25 \, \text{MPa}}{1.5} \approx 14.17 \, \text{MPa} \]
\[ f_{\text{yd}} = \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \approx 434.78 \, \text{MPa} \]
Résultat Question 1 : \(f_{\text{cd}} \approx 14.17 \, \text{MPa}\) et \(f_{\text{yd}} \approx 434.78 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Hauteur Utile (\(d\))

Principe :

La hauteur utile (\(d\)) est la distance entre la fibre la plus comprimée de la section et le centre de gravité des armatures tendues. C'est une dimension clé pour le calcul de la résistance en flexion.

Formule(s) utilisée(s) :
\[d = h - c_{\text{nom}} - \phi_{\text{cadre}} - \frac{\phi_{\text{longi}}}{2}\]
Calcul (en mm) :
\[ \begin{aligned} d &= 500 \, \text{mm} - 30 \, \text{mm} - 8 \, \text{mm} - \frac{16 \, \text{mm}}{2} \\ &= 500 - 30 - 8 - 8 \\ &= 454 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La hauteur utile est \(d = 454 \, \text{mm}\) (soit 0.454 m).

Question 3 : Moment Réduit Centré (\(\mu_{\text{cu}}\))

Principe :

Le moment réduit (\(\mu_{\text{cu}}\)) est un nombre sans dimension qui compare le moment fléchissant appliqué à la capacité de résistance de la section en béton seul. Il permet de situer le mode de fonctionnement de la section (pivot A, pivot B).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\mu_{\text{cu}} = \frac{M_{\text{Ed}}}{b \cdot d^2 \cdot f_{\text{cd}}}\]
Calcul (unités : N, mm) :
\[ \begin{aligned} \mu_{\text{cu}} &= \frac{160 \times 10^6 \, \text{N.mm}}{250 \, \text{mm} \times (454 \, \text{mm})^2 \times 14.17 \, \text{N/mm}^2} \\ &= \frac{160 \times 10^6}{250 \times 206116 \times 14.17} \\ &\approx \frac{160 \times 10^6}{7.315 \times 10^8} \\ &\approx 0.2187 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le moment réduit est \(\mu_{\text{cu}} \approx 0.219\).

Question 4 : Vérification des Armatures Comprimées

Principe :

Pour éviter une rupture fragile du béton par compression excessive avant que l'acier n'atteigne sa limite élastique, l'Eurocode 2 impose une limite au moment réduit. Si \(\mu_{\text{cu}}\) dépasse cette limite (\(\mu_{\text{lim}}\)), il faut ajouter des armatures dans la zone comprimée.

Formule(s) utilisée(s) (pour acier S500) :
\[\mu_{\text{lim}} \approx 0.372\]
Comparaison :
\[0.219 < 0.372 \Rightarrow \text{OK}\]

La condition est vérifiée. La section est en Pivot B, et des armatures comprimées ne sont pas nécessaires pour la résistance.

Résultat Question 4 : Pas besoin d'armatures comprimées.

Question 5 : Bras de Levier (\(z\))

Principe :

Le bras de levier (\(z\)) est la distance verticale entre le centre de la résultante des forces de compression dans le béton et le centre de gravité des armatures tendues. Le moment résistant est le produit de la force de traction dans l'acier par ce bras de levier.

Formule(s) utilisée(s) :
\[z = d \left(0.5 + 0.5\sqrt{1 - 2\mu_{\text{cu}}}\right)\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} z &= 0.454 \left(0.5 + 0.5\sqrt{1 - 2 \times 0.2187}\right) \\ &= 0.454 \left(0.5 + 0.5\sqrt{1 - 0.4374}\right) \\ &= 0.454 \left(0.5 + 0.5\sqrt{0.5626}\right) \\ &\approx 0.454 \left(0.5 + 0.5 \times 0.750\right) \\ &\approx 0.454 \times 0.875 \\ &\approx 0.397 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le bras de levier est \(z \approx 397 \, \text{mm}\).

Question 6 : Section d'Armatures Requise (\(A_{\text{s, req}}\))

Principe :

La section d'acier requise est calculée en équilibrant le moment appliqué. La force de traction dans l'acier (\(A_{\text{s}} \cdot f_{\text{yd}}\)) multipliée par le bras de levier (\(z\)) doit être égale au moment de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_{\text{s, req}} = \frac{M_{\text{Ed}}}{z \cdot f_{\text{yd}}}\]
Calcul (unités : kN, m) :
\[ \begin{aligned} A_{\text{s, req}} &= \frac{160 \, \text{kN.m}}{0.397 \, \text{m} \times (434.78 \times 1000 \, \text{kN/m}^2)} \\ &\approx \frac{160}{172618} \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.000927 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Conversion en cm² : \(A_{\text{s, req}} \approx 9.27 \, \text{cm}^2\)

Résultat Question 6 : La section d'armatures requise est \(A_{\text{s, req}} \approx 9.27 \, \text{cm}^2\).

Question 7 : Choix des Armatures

Principe :

On choisit une combinaison de barres d'acier standards dont la section totale (\(A_{\text{s, prov}}\)) est supérieure ou égale à la section requise (\(A_{\text{s, req}}\)).

Recherche :

On cherche une combinaison de barres pour atteindre au moins 9.27 cm². On peut utiliser un tableau de sections d'aciers.

  • Essai 1 : 3 HA 20 (\(A_{\text{s}} = 3 \times 3.14 = 9.42 \, \text{cm}^2\))
  • Essai 2 : 5 HA 16 (\(A_{\text{s}} = 5 \times 2.01 = 10.05 \, \text{cm}^2\))

Le choix de 3 HA 20 est économique et simple à mettre en place.

Résultat Question 7 : On choisit 3 HA 20, soit \(A_{\text{s, prov}} = 9.42 \, \text{cm}^2\).

Question 8 : Vérifications Finales

Principe :

L'Eurocode 2 impose des pourcentages d'armatures minimum (pour éviter la rupture fragile du béton à la fissuration) et maximum (pour garantir un bon enrobage et une bonne mise en œuvre du béton).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_{\text{s,min}} = \max\left(0.26 \frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}} b_t d, \, 0.0013 b_t d\right)\] \[A_{\text{s,max}} = 0.04 A_{\text{c}} = 0.04 \cdot b \cdot h\]

Avec \(f_{\text{ctm}} = 0.30 f_{\text{ck}}^{(2/3)} = 0.30 \times 25^{(2/3)} \approx 2.56 \, \text{MPa}\).

Calcul (unités cm) :
\[ \begin{aligned} A_{\text{s,min,1}} &= 0.26 \frac{2.56}{500} \times 25 \times 45.4 \approx 1.52 \, \text{cm}^2 \\ A_{\text{s,min,2}} &= 0.0013 \times 25 \times 45.4 \approx 1.48 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \] \[ A_{\text{s,min}} = \max(1.52, 1.48) \Rightarrow A_{\text{s,min}} = 1.52 \, \text{cm}^2 \]
\[ A_{\text{s,max}} = 0.04 \times (25 \times 50) = 50 \, \text{cm}^2 \]
Comparaison :
\[ A_{\text{s,min}} (1.52) \le A_{\text{s,prov}} (9.42) \le A_{\text{s,max}} (50) \quad (\text{OK}) \]
Résultat Question 8 : Le ferraillage choisi respecte les conditions de l'Eurocode 2.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. À quoi sert le coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{c}} = 1.5\) ?

2. Si le moment réduit \(\mu_{\text{cu}}\) est supérieur au moment réduit limite \(\mu_{\text{lim}}\), cela signifie que :

3. La section d'armature minimale \(A_{\text{s,min}}\) est requise pour :

Glossaire

Armatures Passives
Barres d'acier (non précontraintes) incorporées dans le béton pour en améliorer la résistance, notamment en traction.
Béton Armé
Matériau composite constitué de béton (résistant bien en compression) et d'armatures en acier (résistant bien en traction).
Hauteur Utile (\(d\))
Distance entre la fibre la plus comprimée de la section de béton et le centre de gravité des armatures tendues. C'est le bras de levier interne principal.
Enrobage (\(c_{\text{nom}}\))
Épaisseur de béton qui recouvre les armatures. Elle les protège de la corrosion et assure une bonne adhérence.
Moment Réduit (\(\mu_{\text{cu}}\))
Valeur adimensionnelle qui rapporte le moment fléchissant sollicitant (\(M_{\text{Ed}}\)) à la capacité de la section de béton seul.
Bras de Levier (\(z\))
Distance interne entre la résultante des forces de compression dans le béton et la résultante des forces de traction dans l'acier.
\(f_{\text{ck}}\) et \(f_{\text{yk}}\)
Respectivement, la résistance caractéristique à la compression du béton et la limite d'élasticité caractéristique de l'acier.
\(f_{\text{cd}}\) et \(f_{\text{yd}}\)
Respectivement, les résistances de calcul du béton et de l'acier, obtenues en divisant les valeurs caractéristiques par les coefficients de sécurité.
État Limite Ultime (ELU)
État qui, s'il est dépassé, correspond à un effondrement ou à une rupture de la structure. Le dimensionnement à l'ELU garantit la sécurité.
Sélection d'Armatures Passives - Exercice d'Application (Eurocode 2)

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