Vérification de la résistance à la compression
Comprendre la Vérification de la résistance à la compression
Vous êtes ingénieur(e) en structure dans une entreprise de construction et vous travaillez sur la conception d’un bâtiment résidentiel. L’une des poutres principales du rez-de-chaussée, qui supportera plusieurs étages, doit être conçue pour garantir la sécurité et la stabilité de la structure. Vous devez vérifier si la section de poutre proposée peut résister aux charges de compression prévues sans dépassement de sa capacité.
Pour comprendre le calcul de la Contrainte de Compression dans un Pilier, cliquez sur le lien.
Données:
- Matériaux:
- Béton: C25/30 (résistance caractéristique à la compression de 25 MPa, résistance moyenne à la compression de 30 MPa)
- Acier: B500B (résistance caractéristique à la traction de 500 MPa)
- Section de la poutre:
- Largeur: 300 mm
- Hauteur: 500 mm
- Portée de la poutre:
- Armature:
- Nombre de barres en acier en tension: 4
- Diamètre des barres en acier: 16 mm
- Charges:
- Charge permanente (G): 150 kN
- Charge variable (Q): 90 kN
Questions:
1. Calcul de l’aire d’acier (As):
Calculer l’aire des barres d’acier en tension dans la section transversale de la poutre.
2. Calcul du moment de résistance ultime (MRd):
Utiliser la méthode des sections pour déterminer le moment de résistance ultime de la section de poutre en béton armé. Considérer un coefficient partiel de sécurité pour le béton (\(\gamma_c\)) de 1,5 et pour l’acier (\(\gamma_s\)) de 1,15.
3. Calcul de la charge ultime (Fu):
Calculer la charge ultime que la poutre peut supporter en utilisant les valeurs de charge permanente et variable données, en considérant les facteurs de charge selon les normes applicables (par exemple, 1,35 pour G et 1,5 pour Q pour l’Eurocode).
4. Vérification de la capacité portante:
Vérifier si le moment de résistance ultime (MRd) est supérieur ou égal au moment provoqué par la charge ultime \( M_u \approx 253,1\,\text{kN·m} \). Cela indique si la section de la poutre est adéquate pour résister aux charges appliquées sans dépassement de sa capacité.
Correction : Vérification de la résistance à la compression
1. Calcul de l’aire d’acier (\(A_s\))
Formule utilisée :
\[ A_s = n \times \frac{\pi d^2}{4} \]
Données :
- Nombre de barres : \( n = 4 \)
- Diamètre de chaque barre : \( d = 16\,\text{mm} \)
Calcul :
\[ A_s = 4 \times \frac{\pi \times (16)^2}{4} \] \[ A_s = 4 \times \frac{\pi \times 256}{4} \] \[ A_s = 4 \times (64\pi) \] \[ A_s = 256\pi\,\text{mm}^2 \] \[ A_s \approx 256 \times 3{,}14 \] \[ A_s \approx 804{,}25\,\text{mm}^2 \]
On calcule l’aire d’une barre par la formule de l’aire d’un cercle \(\frac{\pi d^2}{4}\) et on multiplie par le nombre total de barres.
2. Calcul du moment de résistance ultime (\(M_{Rd}\))
Pour déterminer le moment résistant ultime de la section, on utilise la méthode des sections en équilibre des forces en flexion.
Hypothèses et données complémentaires
Section de la poutre :
- Largeur : \( b = 300\,\text{mm} \)
- Hauteur totale : \( H = 500\,\text{mm} \)
- Hypothèse sur la profondeur efficace : en l’absence d’une valeur de couverture précise, on suppose une profondeur efficace \( d = 480\,\text{mm} \).
Matériaux :
– Béton :
- Résistance caractéristique à la compression : \( f_{ck} = 25\,\text{MPa} \)
- Coefficient partiel de sécurité pour le béton : \( \gamma_c = 1,5 \)
- Résistance de calcul du béton :
\[ f_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c} = \frac{25}{1,5} \approx 16,67\,\text{MPa} \]
– Acier :
- Résistance caractéristique à la traction : \( f_y = 500\,\text{MPa} \)
- Coefficient partiel de sécurité pour l’acier : \( \gamma_s = 1,15 \)
- Résistance de calcul de l’acier :
\[ f_{yd} = \frac{f_y}{\gamma_s} = \frac{500}{1,15} \approx 434,78\,\text{MPa} \]
Étape 2.1 : Recherche de la profondeur de la zone comprimée \(x\)
Principe :
À rupture, l’effort en compression dans le béton est équilibré par l’effort en tension dans l’acier.
La force de compression dans le béton est donnée par :
\[ C = 0,85\,f_{cd}\,b\,x \]
La force en tension dans l’acier est :
\[ T = A_s\,f_{yd} \]
À l’équilibre :
\[ 0,85\,f_{cd}\,b\,x = A_s\,f_{yd} \]
Calcul de \(x\) :
\[ x = \frac{A_s\,f_{yd}}{0,85\,f_{cd}\,b} \]
Substituons les valeurs :
- \( A_s = 804,25\,\text{mm}^2 \)
- \( f_{yd} \approx 434,78\,\text{MPa} \)
- \( f_{cd} \approx 16,67\,\text{MPa} \)
- \( b = 300\,\text{mm} \)
\[ x = \frac{804,25 \times 434,78}{0,85 \times 16,67 \times 300} \] \[ x \approx \frac{349\,670}{4250,85} \approx 82,27\,\text{mm} \]
Étape 2.2 : Détermination du bras de levier \(z\)
On prend pour approximation le bras de levier :
\[ z = d – 0,4\,x \]
Calcul :
\[ z = 480 – 0,4 \times 82,27 \] \[ z \approx 480 – 32,91 \] \[ z \approx 447,09\,\text{mm} \]
Étape 2.3 : Calcul du moment résistant ultime \(M_{Rd}\)
Formule :
\[ M_{Rd} = T \times z = A_s\,f_{yd}\,z \]
Calcul :
\[ M_{Rd} = 804,25 \times 434,78 \times 447,09 \] \[ M_{Rd} \approx 156\,281\,000\,\text{Nmm} \]
Conversion en kN·m :
\[ 156\,281\,000\,\text{Nmm} \div 10^6 \approx 156,28\,\text{kN·m} \]
Conclusion étape 2 :
Le moment de résistance ultime de la section est \(M_{Rd} \approx 156,3\,\text{kN·m}\).
3. Calcul de la charge ultime (\(F_u\))
But :
Calculer la charge ultime en combinant la charge permanente et la charge variable selon les facteurs de sécurité de l’Eurocode.
Formule utilisée :
\[ F_u = 1,35\,G + 1,5\,Q \]
Données :
- Charge permanente : \( G = 150\,\text{kN} \)
- Charge variable : \( Q = 90\,\text{kN} \)
Calcul :
\[ F_u = 1,35 \times 150 + 1,5 \times 90 \] \[ F_u = 202,5 + 135 \] \[ F_u = 337,5\,\text{kN} \]
Les coefficients 1,35 et 1,5 sont appliqués respectivement à la charge permanente et à la charge variable pour tenir compte des incertitudes et des facteurs de sécurité.
4. Vérification de la capacité portante
But : Comparer le moment résistant ultime \(M_{Rd}\) de la section avec le moment provoqué par la charge ultime \(M_u\) pour s’assurer que la poutre est suffisante.
Principe :
La vérification consiste à s’assurer que :
\[ M_{Rd} \geq M_u \]
Calcul du moment sollicité \(M_u\) :
Le calcul précis de \(M_u\) dépend de la configuration de la poutre (type d’appui, portée, position de la charge, etc.). Par exemple, pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge concentrée en son centre, le moment maximum est :
\[ M_u = \frac{F_u \times L}{4} \]
où \(L\) est la portée de la poutre.
Calcul :
- La portée de la poutre est \( L = 3\,\text{m} \)
\[ M_u = \frac{337,5 \times 3}{4} \] \[ M_u = \frac{1012,5}{4} \] \[ M_u \approx 253,13\,\text{kN·m} \]
Comparaison :
- Moment résistant ultime : \( M_{Rd} \approx 156,3\,\text{kN·m} \)
- Moment sollicité : \( M_u \approx 253,1\,\text{kN·m} \)
\( M_{Rd} < M_u \) ce qui indiquerait que la section proposée ne satisfait pas la condition de sécurité.
Vérification de la résistance à la compression
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