Études de cas pratique

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Calcul des armatures d’une poutre

Calcul des armatures d’une poutre

Comprendre le calcul des armatures d’une poutre:

Vous êtes ingénieur en structure et devez concevoir les armatures d’une poutre en béton armé pour un petit pont routier. Le pont doit supporter à la fois son propre poids (poids propre) et la charge des véhicules (charge d’exploitation).

Pour comprendre le Calcul de la Section d’Armature d’une poutre, cliquez sur le lien.

Données :

  • Dimensions de la poutre : Longueur = 10 m, Largeur = 0,3 m, Hauteur = 0,5 m.
  • Matériaux :

– Béton : Classe C30/37.

– Acier : FeE500.

  • Charges :

– Poids propre de la poutre : 25 kN/m.

– Charge d’exploitation : 45 kN/m (charge uniformément répartie).

  • Conditions de support : La poutre est simplement appuyée aux deux extrémités.
calcul des armatures d'une poutre

Questions :

1. Détermination des efforts internes :

  • Calculer le moment fléchissant maximal (Mmax) et l’effort tranchant maximal (Vmax) dans la poutre.

2. Calcul de l’armature longitudinale :

  • Utiliser les formules de l’Eurocode pour déterminer la section d’acier nécessaire à la résistance à la flexion (As,flexion).
  • Vérifier la contrainte dans le béton et l’acier.

3. Calcul de l’armature transversale (étriers) :

  • Calculer l’espacement des étriers pour résister à l’effort tranchant, en suivant les règles de l’Eurocode.

4. Vérifications supplémentaires :

  • Vérifier l’enrobage minimal des armatures.
  • S’assurer que les dispositions constructives (espacement minimal entre les barres, diamètre minimal des barres, etc.) sont respectées.

Correction : calcul des armatures d’une poutre

Données du problème:

Dimensions de la poutre :

  • Longueur : \( L = 10\,m \)
  • Largeur : \( b = 0,3\,m \)
  • Hauteur totale : \( h = 0,5\,m \)

Matériaux :

  • Béton : classe C30/37.
  • Acier : FeE500. On adopte un coefficient de sécurité pour l’acier \( \gamma_s = 1,15 \) ce qui conduit à :

\[ f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} = \frac{500}{1,15} \approx 435\,MPa \]

Charges (exprimées en kN/m) :

  • Poids propre : \( q_{pp} = 25\,kN/m \)
  • Charge d’exploitation : \( q_{ce} = 45\,kN/m \)
  • Charge uniformément répartie totale :

\[ q = q_{pp} + q_{ce} \] \[ q = 25 + 45 \] \[ q = 70\,kN/m \]

Conditions de support :
Poutre simplement appuyée aux deux extrémités.

Hypothèses supplémentaires :

  • La hauteur utile \( d \) (distance entre le bord comprimé et le centre d’action des armatures en tension) est estimée en tenant compte d’un enrobage de 50~mm et d’un diamètre de barre d’environ 20~mm. On prendra alors :

\[ d \approx h – 50\,mm – 10\,mm \] \[ d = 500 – 50 – 10 \] \[ d = 440\,mm \quad (\approx 0,44\,m) \]

Pour simplifier, nous utiliserons \( d = 430\,mm \) dans la suite.

  • Pour la vérification de l’armature longitudinale, on utilisera un bras de levier effectif approximé : \( z \approx 0,9\,d \).

1. Calcul des Efforts Internes

a) Moment fléchissant maximal \( M_{max} \)

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie \( q \), le moment fléchissant maximal se situe en milieu de travée et s’exprime par :

\[ M_{max} = \frac{q\,L^2}{8} \]

Calcul :

  • \( q = 70\,kN/m \)
  • \( L = 10\,m \)

\[ M_{max} = \frac{70 \times 10^2}{8} \] \[ M_{max} = \frac{70 \times 100}{8} \] \[ M_{max} = \frac{7000}{8} = 875\,kN\cdot m \]

Remarque sur les unités :

Pour les calculs ultérieurs, il est souvent utile d’exprimer le moment en \( N\cdot mm \) :

\[ 875\,kN\cdot m = 875 \times 10^3\,N\cdot m \] \[ = 875 \times 10^6\,N\cdot mm = 8,75 \times 10^8\,N\cdot mm \]

b) Effort tranchant maximal \( V_{max} \)

Pour une charge uniformément répartie sur une poutre simplement appuyée, l’effort tranchant maximal se trouve aux appuis et s’exprime par :

\[ V_{max} = \frac{q\,L}{2} \]

Calcul :
  • \( q = 70\,kN/m \)
  • \( L = 10\,m \)

\[ V_{max} = \frac{70 \times 10}{2} = 350\,kN \]

Soit en \( N \) : \( 350 \times 10^3 = 350\,000\,N \).

2. Calcul de l’Armature Longitudinale (pour la flexion)

a) Hypothèses et données complémentaires
  • Hauteur utile : \( d = 430\,mm \)
  • Bras effectif : On suppose \( z \approx 0,9\,d \)

\[ z = 0,9 \times 430 = 387\,mm \]

  • Moment fléchissant de calcul : \( M_{max} = 8,75 \times 10^8\,N\cdot mm \)
Formule de dimensionnement en flexion :

Une relation simplifiée de l’Eurocode permet de déterminer l’aire d’acier nécessaire :

\[ A_{s,\text{flexion}} = \frac{M_{max}}{z\,f_{yd}} \]

où :

  • \( A_{s,\text{flexion}} \) est l’aire d’armature en \( mm^2 \),
  • \( f_{yd} \) est la résistance de calcul de l’acier (en \( MPa \) ou \( N/mm^2 \)).
Calcul de \( A_{s,\text{flexion}} \) :

Substitution des valeurs :

\[ A_{s,\text{flexion}} = \frac{8,75 \times 10^8\,N\cdot mm}{387\,mm \times 435\,N/mm^2} \] \[ A_{s,\text{flexion}} = \frac{8,75 \times 10^8}{168\,645} \] \[ A_{s,\text{flexion}} \approx 5188\,mm^2 \]

Conclusion :

Il faut prévoir environ \( 5200\,mm^2 \) d’armature longitudinale (en arrondissant) pour résister au moment fléchissant maximal.

b) Vérification des contraintes dans le béton et l’acier

Une fois l’aire d’acier déterminée, il convient de vérifier que :

La contrainte dans l’acier \( \sigma_s \) reste inférieure à \( f_{yd} \) ;

  • La compression dans le béton n’excède pas la limite d’élasticité ou la contrainte de rupture définie pour le béton de classe C30/37.
  • Ces vérifications nécessitent, pour une étude complète, la détermination du point neutre et l’utilisation des diagrammes \( M \)-\( \epsilon \). Dans le cadre de cet exercice simplifié, le choix de \( A_{s,\text{flexion}} \) a été réalisé de manière à satisfaire l’exigence de résistance à la flexion.

3. Calcul de l’Armature Transversale (Étriers) pour la Vérification du Tranchant

a) Hypothèses et données
  • Effort tranchant maximal :

\( V_{max} = 350\,kN = 350\,000\,N \)

  • Disposition des étriers :

On considérera l’utilisation d’étriers à deux branches (double étrier) réalisés en acier FeE500.

  • Hypothèse sur les étriers :

On choisit des étriers de diamètre \( \phi = 8\,mm \).

L’aire d’une barre de diamètre 8~mm est :

\[ A_{\text{barre}} = \frac{\pi\,\phi^2}{4} = \frac{\pi \times 8^2}{4} \approx 50,3\,mm^2 \]

Ainsi, pour un étrier à deux branches, l’aire totale par étrier est :

\[ A_{sw} = 2 \times 50,3 \approx 100,6\,mm^2 \]

  • Résistance de l’acier pour les étriers : On prendra \( f_{yd} = 435\,MPa \).
  • Hauteur utile : \( d = 430\,mm \)
b) Formule de vérification du tranchant

L’apport des étriers à la résistance au cisaillement est donné par :

\[ V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}\,f_{yd}\,d}{s} \]

où \( s \) est l’espacement des étriers le long de la poutre (en mm).

Pour assurer la sécurité, il faut que :

\[ V_{Rd,s} \ge V_{max} \]

D’où, on peut dimensionner \( s \) par :

\[ s \le \frac{A_{sw}\,f_{yd}\,d}{V_{max}} \]

Calcul de l’espacement \( s \)

Substitution des valeurs :

  • \( A_{sw} = 100,6\,mm^2 \)
  • \( f_{yd} = 435\,N/mm^2 \)
  • \( d = 430\,mm \)
  • \( V_{max} = 350\,000\,N \)

Calcul du numérateur :

\[ A_{sw}\,f_{yd}\,d = 100,6 \times 435 \times 430 \] \[ A_{sw}\,f_{yd}\,d = \approx 18\,817\,230\,N\cdot mm \]

Calcul de \( s \) :

\[ s \le \frac{18\,817\,230\,N\cdot mm}{350\,000\,N} \approx 53,8\,mm \]

Interprétation :

L’espacement maximal des étriers calculé est d’environ 54~mm. Dans la pratique, on adoptera un espacement inférieur à cette valeur pour respecter les prescriptions de l’Eurocode et tenir compte des dispositions constructives (par exemple, on pourra choisir \( s = 50\,mm \) ou encore recourir à des étriers de diamètre plus important ou à plus de branches afin d’augmenter l’aire transversale effective).

4. Vérifications Supplémentaires

a) Enrobage minimal

L’Eurocode impose une épaisseur minimale d’enrobage pour protéger les armatures contre la corrosion et le feu.

  • Pour une exposition non agressive, une valeur typique est de 30 à 50 mm.
    Ici, nous avons supposé un enrobage de 50 mm pour la face tendue.
    Il convient de vérifier que, dans la disposition retenue, cette épaisseur minimale est respectée sur toutes les faces de la poutre.
b) Dispositions constructives

Les règles de l’Eurocode imposent également :

  • Un espacement minimal entre les barres d’armature (souvent égal au diamètre de la barre ou à 20 mm, le plus grand des deux).
  • Un diamètre minimal des barres (pour éviter les effets de flambement lors du coulage du béton, souvent \( \phi \ge 10\,mm \) en flexion).
  • La disposition et le recouvrement des armatures doivent permettre une bonne compacité du béton et le respect des ancrages.

Dans notre cas :

  • L’armature longitudinale, d’aire totale environ \( 5200\,mm^2 \), sera réalisée par un assemblage de barres (par exemple, 4 barres de 20~mm de diamètre donnent :

\[ 4 \times \frac{\pi \times 20^2}{4} \approx 4 \times 314 = 1256\,mm^2. \] Ce choix devra être adapté (augmentation du nombre ou du diamètre) pour atteindre l’aire requise.

  • Les étriers ont été envisagés en 8~mm, avec un espacement maximal calculé d’environ 54~mm ; en pratique, on choisira un espacement réduit (ex. 50~mm ou moins) afin de garantir un bon confinement.

Il faudra vérifier par ailleurs la faisabilité de la mise en place (espacement effectif, passage de la main d’œuvre, recouvrement minimum, etc.).

Calcul des armatures d’une poutre

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1 Commentaire

  1. Charles Staviguens

    Etant qu’un ingenieur civil je veux apprendre d’avantage sur le metier

    Réponse

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