Études de cas pratique

EGC

Conception d’une poutre en béton armé

Conception d’une Poutre en Béton Armé

Comprendre la Conception d’une Poutre en Béton Armé

La conception d'une poutre en béton armé à l'État Limite Ultime (ELU) implique de déterminer les dimensions de la section de béton et la quantité d'armatures (acier) nécessaires pour résister en toute sécurité aux sollicitations (moment fléchissant \(M_{Ed}\), effort tranchant \(V_{Ed}\)). Cet exercice se concentre sur le calcul des armatures longitudinales de flexion pour une section rectangulaire donnée soumise à un moment \(M_{Ed}\).

Données de l'étude

On souhaite dimensionner les armatures longitudinales tendues d'une poutre rectangulaire en béton armé pour reprendre un moment fléchissant à l'ELU.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la poutre (\(b\)) : \(250 \, \text{mm}\)
  • Hauteur totale de la poutre (\(h\)) : \(500 \, \text{mm}\)
  • Enrobage des armatures (\(c\)) : \(35 \, \text{mm}\)
  • Diamètre des cadres/étriers (\(\phi_t\)) : \(8 \, \text{mm}\)
  • Diamètre supposé des armatures longitudinales (\(\phi_L\)) : \(16 \, \text{mm}\) (pour estimer \(d\))
  • Béton : C30/37 (\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\)
  • Coefficient \(\alpha_{cc}\) : \(0.85\) (ou \(\lambda=0.8\) pour diagramme rectangulaire)

Sollicitations (ELU) :

  • Moment fléchissant de calcul (\(M_{Ed}\)) : \(200 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

Hypothèse : On calcule uniquement les armatures tendues (pas d'aciers comprimés). On utilise le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton.

Schéma : Section de Poutre et Diagramme ELU
Section As xᵣ b=250 h=500 d Forces ELU Fₜ 0.8xᵣ fₜₖ Fₛ xᵣ z

Section de poutre et diagramme rectangulaire simplifié des contraintes/forces à l'ELU.

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur utile (\(d\)).
  2. Calculer les résistances de calcul \(f_{cd}\) et \(f_{yd}\).
  3. Calculer le moment réduit (\(\mu_{cu}\)) : \(\mu_{cu} = \frac{M_{Ed}}{b d^2 f_{cd}}\).
  4. Vérifier si \(\mu_{cu}\) est inférieur au moment réduit limite (\(\mu_{lim}\) pour un acier S500, \(\mu_{lim} \approx 0.372\) pour un diagramme rectangulaire). Si oui, la section est simplement armée.
  5. Calculer la position relative de l'axe neutre (\(\alpha_u = x_u/d\)) à partir de \(\mu_{cu}\) : \(\alpha_u = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{cu}})\).
  6. Calculer le bras de levier (\(z\)) : \(z = d (1 - 0.4 \alpha_u)\).
  7. Calculer la section d'acier requise (\(A_s\)) : \(A_s = \frac{M_{Ed}}{z f_{yd}}\).
  8. Vérifier la condition de non-fragilité (\(A_{s,min}\)) et choisir un ferraillage pratique (nombre et diamètre de barres HA).

Correction : Conception d’une Poutre en Béton Armé

Question 1 : Hauteur Utile (\(d\))

Principe :

La hauteur utile \(d\) est la distance entre la fibre la plus comprimée (fibre supérieure) et le centre de gravité des armatures tendues (inférieures). Elle est calculée en soustrayant de la hauteur totale \(h\) l'enrobage \(c\), le diamètre des étriers \(\phi_t\), et la moitié du diamètre des armatures longitudinales \(\phi_L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[d = h - c - \phi_t - \frac{\phi_L}{2}\]
Données spécifiques :
  • Hauteur totale (\(h\)) : \(500 \, \text{mm}\)
  • Enrobage (\(c\)) : \(35 \, \text{mm}\)
  • Diamètre cadres (\(\phi_t\)) : \(8 \, \text{mm}\)
  • Diamètre supposé armatures long. (\(\phi_L\)) : \(16 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d &= 500 - 35 - 8 - \frac{16}{2} \, \text{mm} \\ &= 500 - 35 - 8 - 8 \\ &= 449 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion en cm : \(d = 44.9 \, \text{cm}\)

Résultat Question 1 : La hauteur utile est \(d = 449 \, \text{mm}\) (ou 44.9 cm).

Question 2 : Résistances de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))

Principe :

Pour les calculs à l'ELU, on utilise les résistances de calcul des matériaux. Celles-ci sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques (\(f_{ck}\) pour le béton, \(f_{yk}\) pour l'acier) par les coefficients partiels de sécurité respectifs (\(\gamma_c\) et \(\gamma_s\)). Pour le béton, on applique aussi le coefficient \(\alpha_{cc}\) qui tient compte des effets à long terme et de la manière dont la charge est appliquée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\] \[f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}\]
Données spécifiques :
  • Béton C30/37 : \(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 30 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= \frac{25.5}{1.5} \, \text{MPa} \\ &= 17.0 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} = 17.0 \, \text{MPa}\) et \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Moment Réduit (\(\mu_{cu}\)) et Vérification

Principe :

Le moment réduit \(\mu_{cu}\) est un paramètre sans dimension qui normalise le moment fléchissant agissant (\(M_{Ed}\)) par rapport à la capacité de la section de béton en compression. Il permet de déterminer si la section peut être armée simplement (uniquement avec des aciers tendus) ou si des aciers comprimés sont nécessaires. Si \(\mu_{cu}\) est inférieur à une valeur limite \(\mu_{lim}\), la section est considérée comme simplement armée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\mu_{cu} = \frac{M_{Ed}}{b d^2 f_{cd}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed} = 200 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 200 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Largeur poutre (\(b\)) : \(250 \, \text{mm}\)
  • Hauteur utile (\(d\)) : \(449 \, \text{mm}\)
  • \(f_{cd} = 17.0 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\mu_{lim} \approx 0.372\) (pour acier S500, diagramme rectangulaire)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \mu_{cu} &= \frac{200 \times 10^6}{250 \times (449)^2 \times 17.0} \\ &= \frac{200 \times 10^6}{250 \times 201601 \times 17.0} \\ &= \frac{200 \times 10^6}{856804250} \\ &\approx 0.2334 \end{aligned} \]

Vérification : \(\mu_{cu} \approx 0.233 < \mu_{lim} \approx 0.372\). La section est simplement armée, ce qui signifie que les aciers tendus seuls suffiront à reprendre le moment, sans avoir besoin d'aciers en zone comprimée pour aider le béton.

Résultat Question 3 : Le moment réduit est \(\mu_{cu} \approx 0.233\), ce qui est inférieur à \(\mu_{lim}\). Pas besoin d'aciers comprimés par le calcul.

Question 4 : Position Relative de l'Axe Neutre (\(\alpha_u\)) et Bras de Levier (\(z\))

Principe :

\(\alpha_u = x_u/d\) est la position relative de l'axe neutre (la ligne où la déformation est nulle) par rapport à la hauteur utile. Elle est calculée à partir du moment réduit. Le bras de levier \(z\) est la distance verticale entre le centre de la force de compression dans le béton et le centre de la force de traction dans l'acier. Il est essentiel pour calculer la section d'acier.

Formule(s) utilisée(s) (Diagramme rectangulaire) :
\[\alpha_u = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{cu}})\] \[z = d (1 - 0.4 \alpha_u)\]
Données spécifiques :
  • \(\mu_{cu} \approx 0.233\)
  • \(d = 449 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \alpha_u &= 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 2 \times 0.2334}) \\ &= 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 0.4668}) \\ &= 1.25 \times (1 - \sqrt{0.5332}) \\ &\approx 1.25 \times (1 - 0.7302) \\ &= 1.25 \times 0.2698 \\ &\approx 0.337 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} z &= 449 \times (1 - 0.4 \times 0.337) \\ &= 449 \times (1 - 0.1348) \\ &= 449 \times 0.8652 \\ &\approx 388.47 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(\alpha_u \approx 0.337\) et \(z \approx 388.5 \, \text{mm}\).

Question 5 : Section d'Acier Requise (\(A_s\))

Principe :

La section d'acier nécessaire \(A_s\) est déterminée en assurant que la force de traction que l'acier peut reprendre (\(A_s f_{yd}\)) multipliée par le bras de levier (\(z\)) équilibre le moment fléchissant agissant \(M_{Ed}\). On suppose que l'acier atteint sa limite d'élasticité de calcul \(f_{yd}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_s = \frac{M_{Ed}}{z f_{yd}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed} = 200 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(z \approx 388.47 \, \text{mm}\)
  • \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_s &= \frac{200 \times 10^6}{388.47 \times 434.78} \\ &\approx \frac{200 \times 10^6}{168918} \\ &\approx 1184.0 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion en cm² : \(A_s \approx 11.84 \, \text{cm}^2\)

Résultat Question 5 : La section d'acier requise est \(A_s \approx 11.84 \, \text{cm}^2\).

Question 6 : Vérification Non-Fragilité et Choix Pratique

Principe :

Il faut s'assurer que la section d'acier mise en place est au moins égale à une section minimale (\(A_{s,min}\)) pour éviter une rupture fragile (le béton se romprait avant que l'acier ne puisse travailler). Ensuite, on choisit un nombre et un diamètre de barres commerciales dont la section totale est supérieure ou égale à la plus grande des deux valeurs (\(A_s\) calculée et \(A_{s,min}\)).

Formule(s) utilisée(s) (Non-fragilité EC2) :
\[A_{s,min} = \max \left( 0.26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} b d \, ; \, 0.0013 b d \right)\]

Avec \(f_{ctm}\) la résistance moyenne en traction du béton. Pour C30/37, \(f_{ctm} = 2.9 \, \text{MPa}\).

Données spécifiques :
  • \(A_s \approx 1184 \, \text{mm}^2\) (calculée)
  • Béton C30/37 : \(f_{ctm} = 2.9 \, \text{MPa}\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(b = 250 \, \text{mm}\)
  • \(d = 449 \, \text{mm}\)
Calcul de \(A_{s,min}\) :

Premier terme :

\[ \begin{aligned} 0.26 \frac{2.9}{500} \times 250 \times 449 &= 0.26 \times 0.0058 \times 250 \times 449 \\ &= 0.001508 \times 112250 \\ &\approx 169.27 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Deuxième terme :

\[ \begin{aligned} 0.0013 \times 250 \times 449 &= 145.925 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Minimum requis :

\[ A_{s,min} = \max(169.27 \, \text{mm}^2, 145.925 \, \text{mm}^2) \approx 169.3 \, \text{mm}^2 \]

Comparaison : \(A_s \approx 1184 \, \text{mm}^2 > A_{s,min} \approx 169.3 \, \text{mm}^2\). La condition de non-fragilité est vérifiée. La section d'acier requise par le calcul (\(11.84 \, \text{cm}^2\)) est donc dimensionnante.

Choix pratique :

On cherche une combinaison de barres \(\geq 11.84 \, \text{cm}^2\).

  • 3 HA 25 (\(3 \times 4.91 = 14.73 \, \text{cm}^2\)) - OK
  • 4 HA 20 (\(4 \times 3.14 = 12.56 \, \text{cm}^2\)) - OK
  • 6 HA 16 (\(6 \times 2.01 = 12.06 \, \text{cm}^2\)) - OK

On choisit par exemple 4 HA 20 (\(A_{s,prov} = 12.56 \, \text{cm}^2\)), car c'est un choix courant et qui offre une bonne répartition.

Résultat Question 6 : La section minimale est \(A_{s,min} \approx 1.69 \, \text{cm}^2\). La section requise est \(A_s \approx 11.84 \, \text{cm}^2\). Un choix pratique est 4 HA 20 (\(A_{s,prov} = 12.56 \, \text{cm}^2\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Quel est l'objectif principal du calcul des armatures à l'ELU en flexion simple ?

2. Le moment réduit \(\mu_{cu}\) est utilisé pour :

3. La condition de non-fragilité (\(A_{s,min}\)) pour les armatures de flexion vise à :

Glossaire

Dimensionnement à l'ELU
Processus de calcul visant à s'assurer que la structure ou ses éléments ont une résistance suffisante pour ne pas atteindre un état de rupture sous les charges de calcul (pondérées).
Flexion Simple
Sollicitation d'une poutre par un moment fléchissant, sans effort normal significatif.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre la plus comprimée de la section de béton et le centre de gravité des armatures longitudinales tendues.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment sollicitant la section, calculé à l'ELU.
Résistance de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))
Résistance des matériaux (béton, acier) utilisée pour les calculs à l'ELU.
Moment Réduit (\(\mu_{cu}\))
Moment de calcul normalisé par rapport à la capacité de compression du béton. Utilisé pour déterminer le mode de rupture et si des aciers comprimés sont nécessaires.
Moment Réduit Limite (\(\mu_{lim}\))
Valeur maximale du moment réduit pour laquelle une section peut être dimensionnée sans aciers comprimés, tout en assurant une rupture ductile.
Axe Neutre (\(x_u\))
Position de la ligne dans la section où la déformation est nulle à l'ELU.
Position Relative de l'Axe Neutre (\(\alpha_u\))
Rapport \(x_u/d\).
Bras de Levier (z)
Distance entre la résultante des forces de compression dans le béton et la résultante des forces de traction dans l'acier.
Section d'Acier Requise (\(A_s\))
Quantité d'armatures longitudinales nécessaires pour reprendre les efforts de traction dus à la flexion.
Condition de Non-Fragilité (\(A_{s,min}\))
Exigence d'une section minimale d'armatures pour garantir une rupture ductile.
Conception d’une Poutre en Béton Armé - Exercice d'Application

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