Études de cas pratique

EGC

Calcul les aciers d’un poteau

Calcul des Aciers d’un Poteau en Béton Armé

Introduction au Ferraillage des Poteaux

Le ferraillage d'un poteau en béton armé comprend des armatures longitudinales (barres verticales) et des armatures transversales (cadres, étriers ou épingles). Les armatures longitudinales reprennent une partie de l'effort de compression et améliorent la ductilité. Les armatures transversales confinent le béton, empêchent le flambement des barres longitudinales et reprennent une partie de l'effort tranchant (bien que souvent négligeable dans les poteaux courants). Cet exercice se concentre sur le calcul de ces deux types d'armatures selon l'Eurocode 2.

Données de l'étude

On dimensionne les armatures d'un poteau carré P3 soumis à un effort normal de compression à l'ELU.

Caractéristiques géométriques et sollicitations :

  • Section du poteau (carrée) : \(b = h = 35 \, \text{cm}\)
  • Effort normal de calcul à l'ELU (\(N_{Ed}\)) : \(1800 \, \text{kN}\)
  • Hauteur libre du poteau (\(l\)) : \(3.00 \, \text{m}\)
  • Longueur de flambement (\(l_0\)) : \(l_0 = l = 3.00 \, \text{m}\) (hypothèse simplifiée : articulé aux deux extrémités)

Matériaux :

  • Béton : C30/37 (\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\)
  • Coefficient \(\alpha_{cc}\) : \(0.85\)

Hypothèse : On néglige l'excentricité initiale et les effets du second ordre pour le calcul de \(A_s\), mais on tiendra compte du diamètre des barres longitudinales pour les armatures transversales.

Schéma : Section du Poteau P3 (Ferraillage à déterminer)
35 cm 35 cm Section Poteau P3 (35x35)

Section carrée de 35 cm de côté. Le ferraillage est à déterminer.

Questions à traiter

  1. Calculer les résistances de calcul \(f_{cd}\) et \(f_{yd}\).
  2. Calculer la section d'armatures longitudinales requise (\(A_{s,req}\)) pour reprendre l'effort \(N_{Ed}\) en utilisant la formule de résistance en compression simple : \(N_{Ed} \leq A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\). (On prendra \(A_c\) comme la section brute).
  3. Choisir un nombre pair de barres HA (Haute Adhérence) d'un diamètre commercial (\(\phi_L \in \{12, 14, 16, 20, 25\}\) mm) fournissant une section \(A_{s,prov}\) légèrement supérieure à \(A_{s,req}\). Calculer \(A_{s,prov}\).
  4. Vérifier les pourcentages d'armatures minimal et maximal selon l'Eurocode 2 : \(A_{s,min} = \max(0.10 \frac{N_{Ed}}{f_{yd}}, 0.002 A_c)\) et \(A_{s,max} = 0.04 A_c\).
  5. Déterminer le diamètre minimal des armatures transversales (\(\phi_t\)) et leur espacement maximal (\(s_{cl,tmax}\)) selon l'Eurocode 2 (Règle générale : \(\phi_t \geq \max(6 \text{ mm}, \phi_L / 4)\) et \(s_{cl,tmax} \leq \min(20 \phi_L, b, 400 \text{ mm})\)). Choisir un diamètre et un espacement pratiques.

Correction : Calcul des Aciers du Poteau

Question 1 : Résistances de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients partiels de sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\] \[f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}\]
Données spécifiques :
  • Béton C30/37 : \(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 30 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= \frac{25.5}{1.5} \, \text{MPa} \\ &= 17.0 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} = 17.0 \, \text{MPa}\) et \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Section d'Aciers Longitudinaux Requise (\(A_{s,req}\))

Principe :

On utilise la formule de résistance en compression simple \(N_{Rd} = A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\) et on pose \(N_{Rd} = N_{Ed}\) pour trouver la section d'acier minimale théorique.

La section de béton \(A_c\) est la section brute.

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{Ed} \leq A_c f_{cd} + A_{s,req} f_{yd}\] \[A_{s,req} = \frac{N_{Ed} - A_c f_{cd}}{f_{yd}}\]
Données spécifiques :
  • \(N_{Ed} = 1800 \, \text{kN} = 1800000 \, \text{N}\)
  • Section poteau : \(b=h=35 \, \text{cm} = 350 \, \text{mm}\)
  • \(f_{cd} = 17.0 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :

Calcul de la section brute \(A_c\) :

\[ \begin{aligned} A_c &= 350 \, \text{mm} \times 350 \, \text{mm} \\ &= 122500 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la contribution du béton :

\[ \begin{aligned} A_c f_{cd} &= 122500 \, \text{mm}^2 \times 17.0 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 2082500 \, \text{N} \end{aligned} \]

Calcul de \(A_{s,req}\) :

\[ \begin{aligned} A_{s,req} &= \frac{1800000 \, \text{N} - 2082500 \, \text{N}}{434.78 \, \text{N/mm}^2} \\ &= \frac{-282500}{434.78} \, \text{mm}^2 \\ &\approx -649.75 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Un résultat négatif signifie que le béton seul est théoriquement suffisant pour reprendre l'effort \(N_{Ed}\) selon cette formule simplifiée. Cependant, les règlements imposent un pourcentage minimal d'armatures.

Important : La formule \(N_{Rd} = A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\) est une simplification. L'Eurocode 2 utilise \(N_{Rd} = \alpha A_c f_{cd} + A_s \sigma_{sd}\) où \(\alpha\) peut dépendre de la méthode et \(\sigma_{sd}\) est la contrainte dans l'acier. Une formule plus courante est \(N_{Rd} = 0.85 A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\) (en considérant \(\alpha_{cc}\) dans \(f_{cd}\)). Recalculons la contribution béton avec \(\alpha=0.85\) appliqué sur \(A_c f_{cd}\) si \(\alpha_{cc}\) n'était pas inclus dans \(f_{cd}\) : \(0.85 \times 122500 \times 17.0 = 1770125 \, N\). \(A_{s,req} = (1800000 - 1770125) / 434.78 \approx 29875 / 434.78 \approx 68.7 \, \text{mm}^2\). Même avec cette approche, la section requise est très faible. Nous devrons appliquer le minimum réglementaire.

Résultat Question 2 : La section d'acier théoriquement requise est très faible (voire négative selon la formule exacte), indiquant que le minimum réglementaire s'appliquera. \(A_{s,req} \approx 69 \, \text{mm}^2\) (selon la deuxième approche).

Question 3 : Choix des Armatures Longitudinales (\(A_{s,prov}\))

Principe :

On choisit un nombre pair de barres d'un diamètre commercial courant (minimum 4 barres pour un poteau carré) pour obtenir une section d'acier \(A_{s,prov}\) supérieure à la section requise \(A_{s,req}\) et respectant les minimums réglementaires (voir Q4).

Étant donné la faible section requise, on se basera sur le minimum réglementaire calculé à la question suivante. Anticipons : \(A_{s,min}\) sera probablement supérieur à \(A_{s,req}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Section d'une barre HA\(\phi_L\) : \(A_{\phi L} = \pi \phi_L^2 / 4\)

Section totale (\(A_{s,prov}\)) : \(A_{s,prov} = n \times A_{\phi L}\) (où \(n\) est le nombre de barres)

Données spécifiques :
  • Diamètres courants : 12, 14, 16, 20, 25 mm
  • Nombre minimal de barres : 4
  • \(A_{s,req} \approx 69 \, \text{mm}^2\) (mais on s'attend à ce que \(A_{s,min}\) soit plus grand)
Choix (en attente du calcul de \(A_{s,min}\)) :

Calculons d'abord \(A_{s,min}\) (voir Q4).

Calcul de \(A_{s,min}\) :

\[ A_{s,min,1} = 0.10 \frac{N_{Ed}}{f_{yd}} = 0.10 \times \frac{1800000 \, \text{N}}{434.78 \, \text{N/mm}^2} \approx 414 \, \text{mm}^2 \]
\[ A_{s,min,2} = 0.002 A_c = 0.002 \times 122500 \, \text{mm}^2 = 245 \, \text{mm}^2 \]
\[ A_{s,min} = \max(414 \, \text{mm}^2, 245 \, \text{mm}^2) = 414 \, \text{mm}^2 \]

Il faut donc au minimum \(414 \, \text{mm}^2\) d'acier.

Essayons 4 barres :

  • 4 HA 12 : \(4 \times 113 = 452 \, \text{mm}^2\)

Ce choix respecte \(A_{s,min}\) (\(452 > 414\)).

Calcul de \(A_{s,prov}\) pour 4 HA 12 :

\[ A_{s,prov} = 4 \times \frac{\pi (12 \, \text{mm})^2}{4} = 4 \times 113.1 \, \text{mm}^2 \approx 452.4 \, \text{mm}^2 \]
Résultat Question 3 : Le minimum réglementaire impose \(A_{s,min} \approx 414 \, \text{mm}^2\). On choisit 4 HA 12, fournissant \(A_{s,prov} \approx 452.4 \, \text{mm}^2\).

Question 4 : Vérification des Pourcentages d'Armatures

Principe :

L'Eurocode 2 impose des limites minimales et maximales pour la section d'armatures longitudinales afin d'assurer un comportement ductile et d'éviter une congestion du bétonnage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_{s,min} = \max(0.10 \frac{N_{Ed}}{f_{yd}}, 0.002 A_c)\] \[A_{s,max} = 0.04 A_c\] \[ \text{Vérification : } A_{s,min} \leq A_{s,prov} \leq A_{s,max} \]
Données spécifiques :
  • \(N_{Ed} = 1800000 \, \text{N}\)
  • \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(A_c = 122500 \, \text{mm}^2\)
  • \(A_{s,prov} \approx 452.4 \, \text{mm}^2\) (avec 4 HA 12)
Calcul des limites :
\[ A_{s,min} = \max(414 \, \text{mm}^2, 245 \, \text{mm}^2) = 414 \, \text{mm}^2 \]
\[ \begin{aligned} A_{s,max} &= 0.04 \times A_c \\ &= 0.04 \times 122500 \, \text{mm}^2 \\ &= 4900 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Vérification :

\[ 414 \, \text{mm}^2 \leq 452.4 \, \text{mm}^2 \leq 4900 \, \text{mm}^2 \]

La condition est vérifiée.

Pourcentage réel : \(\rho_{prov} = A_{s,prov} / A_c = 452.4 / 122500 \approx 0.0037 = 0.37\%\). (Entre 0.2% et 4%).

Résultat Question 4 : Le ferraillage choisi (4 HA 12) respecte les pourcentages minimal (\(A_{s,min} \approx 414 \, \text{mm}^2\)) et maximal (\(A_{s,max} = 4900 \, \text{mm}^2\)) requis.

Question 5 : Armatures Transversales (\(\phi_t, s_{cl,tmax}\))

Principe :

Les armatures transversales (cadres, étriers) confinent le béton et maintiennent les barres longitudinales. Leur diamètre et leur espacement sont définis par des règles constructives.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 2) :

Diamètre minimal (\(\phi_t\)) :

\[\phi_t \geq \max(6 \, \text{mm}, \phi_L / 4)\]

Espacement maximal (\(s_{cl,tmax}\)) :

\[s_{cl,tmax} \leq \min(20 \phi_{L,min}, b, 400 \, \text{mm})\]

Où \(\phi_{L,min}\) est le plus petit diamètre des barres longitudinales.

Données spécifiques :
  • Diamètre longitudinal choisi (\(\phi_L\)) : 12 mm
  • Dimension du poteau (\(b\)) : 350 mm
Calcul :

Diamètre minimal \(\phi_t\) :

\[ \begin{aligned} \phi_t &\geq \max(6 \, \text{mm}, 12 \, \text{mm} / 4) \\ &\geq \max(6 \, \text{mm}, 3 \, \text{mm}) \\ &\geq 6 \, \text{mm} \end{aligned} \]

On choisit couramment \(\phi_t = 6\) mm ou 8 mm. Prenons \(\phi_t = 8 \, \text{mm}\).

Espacement maximal \(s_{cl,tmax}\) :

\[ \begin{aligned} s_{cl,tmax} &\leq \min(20 \times 12 \, \text{mm}, 350 \, \text{mm}, 400 \, \text{mm}) \\ &\leq \min(240 \, \text{mm}, 350 \, \text{mm}, 400 \, \text{mm}) \\ &\leq 240 \, \text{mm} \end{aligned} \]

On choisit un espacement pratique inférieur ou égal à 240 mm, souvent un multiple de 5 cm ou une valeur standard. Par exemple, \(s_t = 200 \, \text{mm}\) (ou 20 cm).

Résultat Question 5 : Le diamètre minimal des cadres est 6 mm. L'espacement maximal est 240 mm. Un choix pratique serait des cadres HA 8 espacés de 200 mm (\(\phi_t=8\), \(s_t=200\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Quel est le rôle principal des armatures longitudinales dans un poteau comprimé ?

2. Pourquoi impose-t-on un pourcentage minimal d'armatures longitudinales (\(A_{s,min}\)) ?

3. L'espacement maximal des armatures transversales (\(s_{cl,tmax}\)) dépend notamment :

Glossaire

Armatures Longitudinales (\(A_s\))
Barres d'acier principales disposées parallèlement à l'axe du poteau, destinées à reprendre une partie de l'effort normal et à améliorer la ductilité.
Armatures Transversales (\(A_{sw}\))
Cadres, étriers ou épingles disposés perpendiculairement aux armatures longitudinales pour les maintenir, confiner le béton et reprendre l'effort tranchant.
Cadre / Étrier
Armature transversale fermée entourant les armatures longitudinales.
Section d'Acier Requise (\(A_{s,req}\))
Section minimale d'armatures longitudinales nécessaire selon le calcul de résistance.
Section d'Acier Mise en Place (\(A_{s,prov}\))
Section d'armatures longitudinales réellement prévue sur les plans, choisie à partir de barres commerciales, et devant être supérieure ou égale à \(A_{s,req}\) et \(A_{s,min}\).
Pourcentage d'armatures (\(\rho\))
Rapport \(A_s / A_c\), souvent exprimé en %. L'Eurocode 2 impose des limites \(\rho_{min}\) et \(\rho_{max}\).
HA (Haute Adhérence)
Type d'acier pour béton armé caractérisé par des nervures ou des verrous améliorant l'adhérence avec le béton.
Diamètre Nominal (\(\phi\))
Diamètre standard d'une barre d'armature (ex: HA 12 a un \(\phi\) de 12 mm).
Espacement (\(s_t\))
Distance entre les axes des armatures transversales successives le long du poteau.
Confinement
Effet des armatures transversales qui s'opposent à l'expansion latérale du béton sous compression, augmentant ainsi sa résistance et sa ductilité.
Calcul des Aciers d’un Poteau - Exercice d'Application

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