Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte

Comprendre le Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte

Vous êtes ingénieur en structure et travaillez sur la conception d’une poutre en béton précontraint pour un pont. La poutre doit supporter son propre poids ainsi que des charges supplémentaires dues au trafic. L’optimisation de la conception nécessite le calcul de l’excentricité de la force de précontrainte appliquée.

Pour comprendre le calcul d’une Poutre en Béton Précontraint, cliquez sur le lien.

Données fournies:

• Longueur de la poutre, \( L \): 20 m
• Force de précontrainte, \( P \): 1500 kN
• Module d’élasticité du béton, \( E_c \): 30 GPa
• Aire de la section transversale, \( A \): 0.05 m\(^2\)
• Moment d’inertie de la section transversale, \( I \): 4000 cm\(^4\)
• Hauteur de la section, \( h \): 60 cm
• Position de la ligne neutre par rapport à la base de la section, \( y_n \): 20 cm
• Distance du câble de précontrainte depuis la base de la section, \( d \): 10 cm

Questions:

1. Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte, \( e \):

L’excentricité est la distance entre la ligne d’action de la force de précontrainte et le centre de gravité de la section transversale. Calculer cette distance en utilisant la position de la ligne neutre et la distance du câble.

2. Effet de l’excentricité sur les contraintes dans la section:

Utiliser la formule de flexion pour déterminer les contraintes normales maximales et minimales dans la section de béton due à la force de précontrainte.

3. Discussion sur les implications des résultats obtenus:

Évaluer si l’excentricité obtenue est admissible selon les critères de conception pour la sécurité et la durabilité de la structure.

Correction : Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte

1. Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte, \( e \)

L’excentricité \( e \) représente la distance entre la ligne d’action de la force de précontrainte et la ligne neutre (qui, pour une section symétrique, correspond au centre de gravité). Dans cet exercice, cette distance se calcule en faisant la différence entre la position de la ligne neutre (\( y_n \)) et la position du câble (\( d \)).

Formule utilisée :

\[ e = y_n – d \]

Données :

• Position de la ligne neutre : \( y_n = 20 \, \text{cm} = 0.20 \, \text{m} \)
• Distance du câble : \( d = 10 \, \text{cm} = 0.10 \, \text{m} \)

Calcul :

\[ e = 0.20 \, \text{m} – 0.10 \, \text{m} \] \[ e = 0.10 \, \text{m} \]

Résultat :
L’excentricité de la force de précontrainte est \( e = 0.10 \, \text{m} \).

2. Effet de l’excentricité sur les contraintes dans la section

L’excentricité induit un moment fléchissant \( M \) dans la poutre. Ce moment crée des contraintes normales variables selon la distance \( y \) des fibres par rapport à la ligne neutre. La formule de la contrainte due à la flexion est :

\[ \sigma = \frac{M \times y}{I} \]

où

• \( M \) est le moment fléchissant induit par la force précontrainte,
• \( I \) est le moment d’inertie de la section,
• \( y \) est la distance entre la fibre considérée et la ligne neutre.

Étape 2.1 : Calcul du moment fléchissant, \( M \)

Formule utilisée :

\[ M = P \times e \]

Données :

• Force de précontrainte : \( P = 1500 \, \text{kN} = 1.5 \times 10^6 \, \text{N} \)
• Excentricité : \( e = 0.10 \, \text{m} \)

Calcul :

\[ M = 1.5 \times 10^6 \, \text{N} \times 0.10 \, \text{m} \] \[ M = 150\,000 \, \text{N·m} \]

Étape 2.2 : Calcul des contraintes normales

Pour déterminer les contraintes maximales et minimales, on identifie les fibres les plus éloignées de la ligne neutre dans la section.

• Fibre supérieure :
  Distance par rapport à la ligne neutre :

\[ y_{\text{sup}} = h – y_n \]

avec \( h = 60 \, \text{cm} = 0.60 \, \text{m} \) et \( y_n = 0.20 \, \text{m} \), donc :

\[ y_{\text{sup}} = 0.60 \, \text{m} – 0.20 \, \text{m} \] \[ y_{\text{sup}} = 0.40 \, \text{m} \]

• Fibre inférieure :
  Distance par rapport à la ligne neutre (du côté du câble) :

\[ y_{\text{inf}} = y_n = 0.20 \, \text{m} \]

Le moment d’inertie est donné par :

\[ I = 4000 \, \text{cm}^4 = 4000 \times 10^{-8} \, \text{m}^4 \] \[ I = 4 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \]

Calcul de la contrainte maximale (en fibre supérieure) :

\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M \times y_{\text{sup}}}{I} = \frac{150\,000 \, \text{N·m} \times 0.40 \, \text{m}}{4 \times 10^{-5} \, \text{m}^4} \] \[ \sigma_{\text{max}} = \frac{60\,000}{4 \times 10^{-5}} \] \[ \sigma_{\text{max}} = 1.5 \times 10^9 \, \text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{max}} = 1500 \, \text{MPa} \]

Calcul de la contrainte minimale (en fibre inférieure) :

\[ \sigma_{\text{min}} = -\frac{M \times y_{\text{inf}}}{I} = -\frac{150\,000 \, \text{N·m} \times 0.20 \, \text{m}}{4 \times 10^{-5} \, \text{m}^4} \] \[ \sigma_{\text{min}} = -\frac{30\,000}{4 \times 10^{-5}} \] \[ \sigma_{\text{min}} = -7.5 \times 10^8 \, \text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{min}} = -750 \, \text{MPa} \]

Résultats :

• Contrainte maximale : \( \sigma_{\text{max}} = 1500 \, \text{MPa} \)
• Contrainte minimale : \( \sigma_{\text{min}} = -750 \, \text{MPa} \)

3. Discussion sur les implications des résultats obtenus

Les résultats montrent qu’une excentricité de \( 0.10 \, \text{m} \) induit un moment fléchissant de \( 150\,000 \, \text{N·m} \) qui, appliqué sur la section considérée, produit des contraintes très élevées :

• \( 1500 \, \text{MPa} \) en fibre supérieure,
• \( -750 \, \text{MPa} \) en fibre inférieure.

Analyse des implications :

• Sécurité de la structure :
  Les contraintes calculées sont extrêmement élevées. Pour référence, la résistance en compression du béton est typiquement de l’ordre de 30 à 50 MPa. Des contraintes atteignant 1500 MPa ou même 750 MPa sont bien au-delà des capacités du béton, ce qui mettrait en danger la stabilité de la poutre.

• Durabilité :
  De telles contraintes excessives peuvent entraîner des fissurations importantes, une dégradation prématurée du matériau et, par conséquent, une durée de vie réduite de la structure.

• Conséquences sur la conception :

  • Réévaluation du positionnement des câbles :
    Il serait nécessaire de modifier la position du câble de précontrainte pour réduire l’excentricité et, par conséquent, le moment fléchissant induit.
  • Modification de la section :
    Augmenter le moment d’inertie \( I \) de la section (par exemple, par un renforcement ou une modification géométrique) permettrait de diminuer les contraintes.
  • Révision des hypothèses de charge ou de dimensionnement :
    Un examen complet des hypothèses de conception est indispensable afin de garantir que les contraintes induites restent dans des limites sûres pour le matériau utilisé.

Conclusion :

L’excentricité calculée de \( 0.10 \, \text{m} \) génère des contraintes en flexion (1500 MPa et -750 MPa) largement supérieures aux capacités du béton. Ces résultats indiquent qu’il est impératif de revoir la conception de la poutre (position des câbles, dimensionnement de la section, etc.) pour assurer la sécurité et la durabilité de la structure.

Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte

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