Études de cas pratique

EGC

Vérification de la Section de Précontrainte

Vérification de la Section de Précontrainte d'une Poutre

Introduction

Le dimensionnement en flexion d'une section en béton précontraint à l'État Limite Ultime (ELU) consiste à déterminer la quantité d'acier de précontrainte (et éventuellement d'acier passif) nécessaire pour équilibrer le moment fléchissant de calcul (\(M_{Ed}\)). Ce calcul se base sur l'équilibre des forces et des moments dans la section, en considérant les résistances de calcul des matériaux.

Données de l'étude

On souhaite déterminer la section d'acier de précontrainte (\(A_p\)) nécessaire pour une poutre rectangulaire en béton soumise à un moment fléchissant important à l'ELU.

Caractéristiques géométriques et sollicitations :

  • Largeur de la poutre (\(b\)) : \(50 \, \text{cm}\)
  • Hauteur totale de la poutre (\(h\)) : \(100 \, \text{cm}\)
  • Moment fléchissant de calcul à l'ELU (\(M_{Ed}\)) : \(1200 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Position des aciers de précontrainte (hauteur utile, \(d_p\)) : \(d_p = 90 \, \text{cm}\) (distance de la fibre comprimée au centre de gravité des aciers de précontrainte)

Matériaux :

  • Béton : C40/50 (\(f_{ck} = 40 \, \text{MPa}\))
  • Acier de précontrainte : Torons TBP (Très Basse Relaxation) \(f_{pk} = 1860 \, \text{MPa}\) (résistance caractéristique à la rupture), \(f_{p0,1k} = 1670 \, \text{MPa}\) (limite d'élasticité caractéristique à 0.1%)
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\) (pour la précontrainte)
  • Coefficient \(\alpha_{cc}\) : \(0.85\)

Hypothèse : On néglige les armatures passives dans ce calcul. On utilise le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton comprimé.

Schéma : Section de Poutre et Diagramme ELU
Section Ap y b=50cm h=100cm dp=90cm Contraintes ELU \(f_{cd}\) \(0.8y\) \(f_{pd}\) z

Section de poutre et diagramme simplifié des contraintes/déformations à l'ELU.

Questions à traiter

  1. Calculer les résistances de calcul des matériaux : \(f_{cd}\) pour le béton et \(f_{pd}\) pour l'acier de précontrainte. On prendra \(f_{pd} = f_{p0,1k} / \gamma_s\).
  2. Calculer le moment réduit (\(\mu_{cu}\)) : \(\mu_{cu} = \frac{M_{Ed}}{b d_p^2 f_{cd}}\).
  3. Calculer la position relative de l'axe neutre (\(\alpha_u\)) à partir de \(\mu_{cu}\) : \(\alpha_u = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{cu}})\). Vérifier si le béton est suffisamment sollicité (\(\mu_{cu}\) inférieur à la limite pour éviter la rupture fragile du béton).
  4. Calculer le bras de levier (\(z\)) : \(z = d_p (1 - 0.4 \alpha_u)\).
  5. Calculer la section d'acier de précontrainte requise (\(A_p\)) : \(A_p = \frac{M_{Ed}}{z f_{pd}}\).

Correction : Vérification de la Section de Précontrainte

Question 1 : Résistances de Calcul (\(f_{cd}, f_{pd}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients partiels de sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\] \[f_{pd} = \frac{f_{p0,1k}}{\gamma_s}\]

\(f_{pd}\) est la limite d'élasticité de calcul de l'acier de précontrainte.

Données spécifiques :
  • Béton C40/50 : \(f_{ck} = 40 \, \text{MPa}\)
  • Acier TBP : \(f_{p0,1k} = 1670 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 40 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= \frac{34}{1.5} \, \text{MPa} \\ &\approx 22.67 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{pd} &= \frac{1670 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 1452.17 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} \approx 22.67 \, \text{MPa}\) et \(f_{pd} \approx 1452.17 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Moment Réduit (\(\mu_{cu}\))

Principe :

Le moment réduit compare le moment appliqué à la capacité de résistance en compression du béton seul, en utilisant la hauteur utile \(d_p\) des aciers de précontrainte.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\mu_{cu} = \frac{M_{Ed}}{b d_p^2 f_{cd}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed} = 1200 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 1200 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Largeur poutre (\(b\)) : \(50 \, \text{cm} = 500 \, \text{mm}\)
  • Hauteur utile précontrainte (\(d_p\)) : \(90 \, \text{cm} = 900 \, \text{mm}\)
  • \(f_{cd} \approx 22.67 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \mu_{cu} &= \frac{1200 \times 10^6}{500 \times (900)^2 \times 22.67} \\ &= \frac{1200 \times 10^6}{500 \times 810000 \times 22.67} \\ &= \frac{1200 \times 10^6}{9.18 \times 10^9} \\ &\approx 0.1307 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le moment réduit est \(\mu_{cu} \approx 0.131\).

Question 3 : Position Relative de l'Axe Neutre (\(\alpha_u\))

Principe :

\(\alpha_u = y/d_p\) caractérise la position de l'axe neutre par rapport à la hauteur utile de la précontrainte. On vérifie qu'elle est inférieure à la limite \(\alpha_{lim}\) (environ 0.617 pour un diagramme rectangulaire et acier de classe B ou S).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\alpha_u = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{cu}})\]
Données spécifiques :
  • \(\mu_{cu} \approx 0.131\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \alpha_u &= 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 2 \times 0.131}) \\ &= 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 0.262}) \\ &= 1.25 \times (1 - \sqrt{0.738}) \\ &\approx 1.25 \times (1 - 0.859) \\ &= 1.25 \times 0.141 \\ &\approx 0.176 \end{aligned} \]

Vérification : \(\alpha_u \approx 0.176 < 0.617\). La condition est vérifiée, la section est en sous-équilibre ou équilibre limite, pas d'écrasement prématuré du béton.

Résultat Question 3 : La position relative de l'axe neutre est \(\alpha_u \approx 0.176\).

Question 4 : Calcul du Bras de Levier (\(z\))

Principe :

Le bras de levier \(z\) est la distance entre le centre de gravité des contraintes de compression dans le béton et le centre de gravité des aciers de précontrainte tendus.

Formule(s) utilisée(s) (Diagramme rectangulaire) :
\[z = d_p (1 - 0.4 \alpha_u)\]
Données spécifiques :
  • \(d_p = 900 \, \text{mm}\)
  • \(\alpha_u \approx 0.176\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} z &= 900 \times (1 - 0.4 \times 0.176) \\ &= 900 \times (1 - 0.0704) \\ &= 900 \times 0.9296 \\ &\approx 836.6 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le bras de levier est \(z \approx 836.6 \, \text{mm}\).

Question 5 : Section d'Acier de Précontrainte Requise (\(A_p\))

Principe :

La section d'acier de précontrainte est déterminée par l'équilibre des moments : \(M_{Ed} = A_p f_{pd} z\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_p = \frac{M_{Ed}}{z f_{pd}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed} = 1200 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(z \approx 836.6 \, \text{mm}\)
  • \(f_{pd} \approx 1452.17 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_p &= \frac{1200 \times 10^6}{836.6 \times 1452.17} \\ &\approx \frac{1200 \times 10^6}{1214935} \\ &\approx 987.7 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion en cm² : \(A_p \approx 9.88 \, \text{cm}^2\)

Résultat Question 5 : La section d'acier de précontrainte requise est \(A_p \approx 9.88 \, \text{cm}^2\). Il faudra ensuite choisir un câblage commercial (nombre de torons) fournissant une section au moins égale.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Que représente \(f_{p0,1k}\) pour un acier de précontrainte ?

2. Dans le calcul en flexion à l'ELU d'une section précontrainte, \(f_{pd}\) représente :

3. Si le moment réduit \(\mu_{cu}\) est très faible, cela signifie que :

Glossaire

Béton Précontraint
Béton dans lequel des contraintes internes (généralement de compression) sont introduites avant l'application des charges de service.
Précontrainte
Technique consistant à tendre des aciers à haute résistance (tendons) pour comprimer le béton.
Acier de Précontrainte (\(A_p\))
Armatures à haute résistance (fils, torons, barres) utilisées pour la précontrainte.
Résistance Caractéristique de l'Acier de Précontrainte (\(f_{pk}\))
Résistance à la rupture garantie avec une faible probabilité de non-atteinte.
Limite d'Élasticité Caractéristique (\(f_{p0,1k}\))
Contrainte correspondant à un allongement plastique rémanent de 0.1% pour l'acier de précontrainte.
Résistance de Calcul de l'Acier de Précontrainte (\(f_{pd}\))
Résistance utilisée pour les calculs à l'ELU, généralement basée sur \(f_{p0,1k}\) divisée par \(\gamma_s\).
Hauteur Utile (\(d_p\))
Distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des aciers de précontrainte.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment sollicitant la section, calculé à l'ELU.
Moment Réduit (\(\mu_{cu}\))
Moment de calcul normalisé par rapport à la capacité de compression du béton.
Axe Neutre
Ligne de contrainte nulle séparant la zone comprimée de la zone tendue dans une section fléchie.
Bras de Levier (z)
Distance entre la résultante des forces de compression et la résultante des forces de traction.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité et à la résistance maximale.
Vérification de la Section de Précontrainte - Exercice d'Application

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