Calcul de la force de précontrainte
Comprendre le Calcul de la force de précontrainte
Un pont en béton précontraint doit être conçu pour supporter des charges de trafic importantes. L’objectif principal de cet exercice est de calculer la force de précontrainte requise pour que le tablier du pont résiste aux charges sans subir de fissures ni de déformations inacceptables.
Comprendre le Calcul des charges de trafic et le calcul d’une Poutre en Béton Précontraint
Données:
- Longueur du tablier du pont: \(L = 50\,m\)
- Largeur du tablier du pont: \(w = 10\,m\)
- Épaisseur du tablier du pont: \(t = 0.25\,m\)
- Densité du béton: \(\rho = 2500\,kg/m^3\)
- Contrainte admissible du béton: \(\sigma_{adm} = 10\,MPa\)
- Module d’élasticité du béton: \(E_b = 30\,GPa\)
- Coefficient de sécurité: \(\gamma = 1.5\)
- Charges dues au trafic (réparties uniformément): \(q = 10\,kN/m^2\)
Question:
1. Calcul de la charge permanente: Calculez la charge permanente agissant sur le tablier due au poids propre du béton.
2. Calcul de la charge totale: Déterminez la charge totale sur le tablier en ajoutant les charges dues au trafic à la charge permanente.
3. Calcul de la contrainte initiale: Calculez la contrainte initiale dans le béton due à la précontrainte nécessaire pour que la contrainte totale dans le béton sous charge totale ne dépasse pas la contrainte admissible.
4. Calcul de la force de précontrainte: Déterminez la force de précontrainte nécessaire en utilisant les contraintes initiales calculées et en tenant compte du coefficient de sécurité.
Correction : Calcul de la force de précontrainte
1. Calcul de la charge permanente
La charge permanente est la charge due au poids propre du béton qui constitue le tablier.
Formule
La masse de béton est :
\[ m = \rho \times V \quad \text{où} \quad V = L \times w \times t \]
La charge (poids) est :
\[ P_{\text{permanent}} = m \times g \] \[ P_{\text{permanent}} = \rho \times V \times g \]
Données
- \( L = 50\, \text{m} \)
- \( w = 10\, \text{m} \)
- \( t = 0.25\, \text{m} \)
- \( \rho = 2500\, \text{kg/m}^3 \)
- \( g = 9.81\, \text{m/s}^2 \)
Calcul
1. Calcul du volume du tablier :
\[ V = 50\ \text{m} \times 10\ \text{m} \times 0.25\ \text{m} \] \[ V= 125\ \text{m}^3\]
2. Calcul de la masse :
\[ m = 2500\ \text{kg/m}^3 \times 125\ \text{m}^3 \] \[ m = 312\,500\ \text{kg} \]
3. Calcul de la charge permanente :
\[ P_{\text{permanent}} = 312\,500\ \text{kg} \times 9.81\ \text{m/s}^2 \] \[ P_{\text{permanent}} = 3\,065\,625\ \text{N} \]
Soit environ :
\[ P_{\text{permanent}} \approx 3.07\ \text{MN} \]
2. Calcul de la charge totale
La charge totale sur le tablier est la somme de la charge permanente et de la charge de trafic répartie sur toute la surface.
Formule
\[ P_{\text{total}} = P_{\text{permanent}} + P_{\text{trafic}} \]
avec :
\[ P_{\text{trafic}} = q \times A_{\text{tablier}} \quad \text{et} \quad A_{\text{tablier}} = L \times w \]
Données
- \( q = 10\,000\ \text{N/m}^2 \)
- \( L = 50\, \text{m} \)
- \( w = 10\, \text{m} \)
- \( P_{\text{permanent}} \approx 3\,065\,625\ \text{N} \)
Calcul
1. Calcul de l’aire du tablier :
\[ A_{\text{tablier}} = 50\ \text{m} \times 10\ \text{m} \] \[ A_{\text{tablier}} = 500\ \text{m}^2 \]
2. Calcul de la charge de trafic :
\[ P_{\text{trafic}} = 10\,000\ \text{N/m}^2 \times 500\ \text{m}^2 \] \[ P_{\text{trafic}} = 5\,000\,000\ \text{N} \]
3. Charge totale :
\[ P_{\text{total}} = 3\,065\,625\ \text{N} + 5\,000\,000\ \text{N} \] \[ P_{\text{total}} = 8\,065\,625\ \text{N} \]
Soit environ :
\[ P_{\text{total}} \approx 8.07\ \text{MN} \]
3. Calcul de la contrainte initiale dans le béton due à la précontrainte
La précontrainte initiale est déterminée de façon à ce que, sous l’action de la charge totale, la contrainte maximale dans le béton ne dépasse pas la contrainte admissible \( \sigma_{\text{adm}} \).
Pour un tablier soumis à une charge uniformément répartie, on peut approximer la contrainte additionnelle due à la charge totale par une répartition uniforme sur la section. La section considérée est la section transversale du tablier.
La contrainte due à la charge totale (charge/section) est :
\[ \sigma_{\text{charge}} = \frac{P_{\text{total}}}{A_{\text{section}}} \]
avec :
\[ A_{\text{section}} = w \times t \]
La précontrainte initiale \( \sigma_{\text{pi}} \) doit être telle que :
\[ \sigma_{\text{pi}} + \sigma_{\text{charge}} \leq \sigma_{\text{adm}} \]
Pour exploiter pleinement la capacité admissible, nous posons l’égalité :
\[ \sigma_{\text{pi}} = \sigma_{\text{adm}} – \sigma_{\text{charge}} \]
Données
- \( P_{\text{total}} \approx 8\,065\,625\ \text{N} \)
- \( w = 10\, \text{m} \)
- \( t = 0.25\, \text{m} \)
- \( \sigma_{\text{adm}} = 10 \times 10^6\ \text{N/m}^2 \)
Calcul
1. Calcul de l’aire de la section du tablier :
\[ A_{\text{section}} = 10\ \text{m} \times 0.25\ \text{m} \] \[ A_{\text{section}} = 2.5\ \text{m}^2 \]
2. Calcul de la contrainte due à la charge totale :
\[ \sigma_{\text{charge}} = \frac{8\,065\,625\ \text{N}}{2.5\ \text{m}^2} \] \[ \sigma_{\text{charge}} = 3\,226\,250\ \text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{charge}} \approx 3.23\ \text{MPa} \]
3. Détermination de la contrainte initiale requise :
\[ \sigma_{\text{pi}} = 10\,000\,000\ \text{N/m}^2 – 3\,226\,250\ \text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{pi}} = 6\,773\,750\ \text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{pi}} \approx 6.77\ \text{MPa} \]
4. Calcul de la force de précontrainte
La force de précontrainte \( F_{\text{pre}} \) à appliquer est obtenue en multipliant la contrainte initiale \( \sigma_{\text{pi}} \) par la section effective du tablier sur laquelle cette contrainte s’exerce. Ensuite, on applique le coefficient de sécurité pour tenir compte des incertitudes.
Formule
\[ F_{\text{pre}} = \sigma_{\text{pi}} \times A_{\text{section}} \]
Puis, en tenant compte du coefficient de sécurité :
\[ F_{\text{pre, sécurisé}} = \gamma \times F_{\text{pre}} \]
Données
- \( \sigma_{\text{pi}} \approx 6.77\ \text{MPa} = 6.77 \times 10^6\ \text{N/m}^2 \)
- \( A_{\text{section}} = 2.5\ \text{m}^2 \)
- \( \gamma = 1.5 \)
Calcul
1. Calcul de la force de précontrainte sans coefficient de sécurité :
\[ F_{\text{pre}} = 6.77 \times 10^6\ \text{N/m}^2 \times 2.5\ \text{m}^2 \] \[ F_{\text{pre}} = 16.925 \times 10^6\ \text{N} \]
Soit :
\[ F_{\text{pre}} \approx 16.93\ \text{MN} \]
2. Application du coefficient de sécurité :
\[ F_{\text{pre, sécurisé}} = 1.5 \times 16.93\ \text{MN} \] \[ F_{\text{pre, sécurisé}} = 25.395\ \text{MN} \]
Arrondi :
\[ F_{\text{pre, sécurisé}} \approx 25.40\ \text{MN} \]
Calcul de la force de précontrainte
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