Études de cas pratique

EGC

Calcul des Combinaisons de Charges

Calcul des combinaisons de charges

Calcul des combinaisons de charges

Comprendre les Combinaisons de Charges

En calcul de structure, les éléments en béton armé sont soumis à différentes actions (charges permanentes, charges d'exploitation, vent, neige, etc.). Pour assurer la sécurité et la fonctionnalité de l'ouvrage, on étudie son comportement sous des combinaisons de charges défavorables, définies par les normes (Eurocodes).

On distingue principalement :

  • L'État Limite Ultime (ELU) : Correspond à la résistance de la structure. On vérifie que la structure ne s'effondre pas. Les charges sont majorées par des coefficients de sécurité.
  • L'État Limite de Service (ELS) : Correspond au bon fonctionnement et au confort des usagers (déformations, vibrations, fissuration). Les charges ne sont généralement pas majorées, mais des coefficients de combinaison (\(\psi\)) sont appliqués pour tenir compte de la probabilité de présence simultanée des charges variables.

Données

On considère une poutre d'un plancher de bureaux.

Charges Caractéristiques :

  • Charges permanentes (incluant le poids propre de la poutre) : \(G_k = 20 \, \text{kN/m}\)
  • Charges d'exploitation (plancher de bureaux, Catégorie B) : \(Q_k = 3.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • Largeur de la bande de chargement reprise par la poutre : \(L_{bande} = 4.0 \, \text{m}\)
  • Portée de la poutre : \(L_{portee} = 6.0 \, \text{m}\)

Coefficients (Eurocode 0 et Eurocode 2) :

  • Coefficient partiel pour les charges permanentes (ELU) : \(\gamma_G = 1.35\)
  • Coefficient partiel pour les charges d'exploitation (ELU) : \(\gamma_Q = 1.5\)
  • Coefficients \(\psi\) pour les charges d'exploitation (Catégorie B : Bureaux - EC0, Tableau A1.1) :
    • \(\psi_0 = 0.7\) (facteur pour la valeur de combinaison)
    • \(\psi_1 = 0.5\) (facteur pour la valeur fréquente)
    • \(\psi_2 = 0.3\) (facteur pour la valeur quasi-permanente)
Schéma : Poutre et Zone d'Influence
Poutre (L_portee = 6m) Bande de chargement (L_bande = 4m) Gk, Qk (kN/m²)

Questions

  1. Calculer la charge d'exploitation linéique caractéristique (\(q_k\)) appliquée à la poutre.
  2. Déterminer la charge totale de calcul à l'ELU (\(p_{Ed}\)) sur la poutre, en utilisant la combinaison fondamentale.
  3. Calculer la charge totale à l'ELS pour la combinaison caractéristique (\(p_{ser,car}\)).
  4. Calculer la charge totale à l'ELS pour la combinaison fréquente (\(p_{ser,freq}\)).
  5. Calculer la charge totale à l'ELS pour la combinaison quasi-permanente (\(p_{ser,qp}\)).
  6. En considérant la portée \(L_{portee} = 6.0 \, \text{m}\), calculer le moment fléchissant maximal à l'ELU (\(M_{Ed}\)) et le moment fléchissant maximal sous la combinaison caractéristique ELS (\(M_{ser,car}\)).

Correction : Calcul des Combinaisons de Charges

Question 1 : Calcul de la Charge d'Exploitation Linéique (\(q_k\))

Principe :

La charge d'exploitation surfacique \(Q_k\) est convertie en charge linéique \(q_k\) en la multipliant par la largeur de la bande de chargement reprise par la poutre.

Formule :
\[q_k = Q_k \times L_{bande}\]
Données :
  • \(Q_k = 3.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(L_{bande} = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[q_k = 3.0 \, \text{kN/m}^2 \times 4.0 \, \text{m} \] \[q_k = 12.0 \, \text{kN/m}\]
Résultat Question 1 : La charge d'exploitation linéique caractéristique sur la poutre est \(q_k = 12.0 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Charge Totale de Calcul à l'ELU (\(p_{Ed}\))

Principe (EC0 - Éq. 6.10 ou 6.10a et 6.10b) :

La combinaison fondamentale à l'ELU est généralement la plus défavorable pour les structures soumises à des charges permanentes et une seule charge d'exploitation variable.

Formule (Combinaison fondamentale) :
\[p_{Ed} = \gamma_G G_k + \gamma_Q Q_{k,1}\]

(Où \(Q_{k,1}\) est la charge d'exploitation principale, ici \(q_k\))

Données :
  • \(G_k = 20 \, \text{kN/m}\) (charge permanente linéique)
  • \(q_k = 12.0 \, \text{kN/m}\) (charge d'exploitation linéique)
  • \(\gamma_G = 1.35\)
  • \(\gamma_Q = 1.5\)
Calcul :
\[p_{Ed} = (1.35 \times 20 \, \text{kN/m}) + (1.5 \times 12.0 \, \text{kN/m})\] \[p_{Ed} = 27 \, \text{kN/m} + 18 \, \text{kN/m} \] \[p_{Ed} = 45 \, \text{kN/m}\]
Résultat Question 2 : La charge totale de calcul à l'ELU sur la poutre est \(p_{Ed} = 45 \, \text{kN/m}\).

Question 3 : Charge Totale ELS - Combinaison Caractéristique (\(p_{ser,car}\))

Principe (EC0 - Éq. 6.14b) :

La combinaison caractéristique est souvent utilisée pour la vérification des flèches à court terme et l'aspect.

Formule :
\[p_{ser,car} = \sum G_{k,j} + Q_{k,1} + \sum \psi_{0,i} Q_{k,i} \quad (i>1)\]

Avec une seule charge d'exploitation variable, la formule se simplifie :

\[p_{ser,car} = G_k + q_k\]
Données :
  • \(G_k = 20 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_k = 12.0 \, \text{kN/m}\)
Calcul :
\[p_{ser,car} = 20 \, \text{kN/m} + 12.0 \, \text{kN/m} \] \[p_{ser,car} = 32 \, \text{kN/m}\]
Résultat Question 3 : La charge totale à l'ELS pour la combinaison caractéristique est \(p_{ser,car} = 32 \, \text{kN/m}\).

Question 4 : Charge Totale ELS - Combinaison Fréquente (\(p_{ser,freq}\))

Principe (EC0 - Éq. 6.15b) :

La combinaison fréquente est utilisée pour certaines vérifications de fissuration ou de confort (vibrations).

Formule :
\[p_{ser,freq} = \sum G_{k,j} + \psi_{1,1} Q_{k,1} + \sum \psi_{2,i} Q_{k,i} \quad (i>1)\]

Avec une seule charge d'exploitation variable :

\[p_{ser,freq} = G_k + \psi_1 q_k\]
Données :
  • \(G_k = 20 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_k = 12.0 \, \text{kN/m}\)
  • \(\psi_1 = 0.5\) (pour Catégorie B)
Calcul :
\[p_{ser,freq} = 20 \, \text{kN/m} + (0.5 \times 12.0 \, \text{kN/m})\] \[p_{ser,freq} = 20 \, \text{kN/m} + 6.0 \, \text{kN/m} \] \[p_{ser,freq} = 26 \, \text{kN/m}\]
Résultat Question 4 : La charge totale à l'ELS pour la combinaison fréquente est \(p_{ser,freq} = 26 \, \text{kN/m}\).

Question 5 : Charge Totale ELS - Combinaison Quasi-Permanente (\(p_{ser,qp}\))

Principe (EC0 - Éq. 6.16b) :

La combinaison quasi-permanente est utilisée pour la vérification des flèches à long terme (fluage) et certaines vérifications de fissuration liées à la durabilité.

Formule :
\[p_{ser,qp} = \sum G_{k,j} + \sum \psi_{2,i} Q_{k,i}\]

Avec une seule charge d'exploitation variable :

\[p_{ser,qp} = G_k + \psi_2 q_k\]
Données :
  • \(G_k = 20 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_k = 12.0 \, \text{kN/m}\)
  • \(\psi_2 = 0.3\) (pour Catégorie B)
Calcul :
\[p_{ser,qp} = 20 \, \text{kN/m} + (0.3 \times 12.0 \, \text{kN/m})\] \[p_{ser,qp} = 20 \, \text{kN/m} + 3.6 \, \text{kN/m} \] \[p_{ser,qp} = 23.6 \, \text{kN/m}\]
Résultat Question 5 : La charge totale à l'ELS pour la combinaison quasi-permanente est \(p_{ser,qp} = 23.6 \, \text{kN/m}\).

Question 6 : Moments Fléchissants Maxima (\(M_{Ed}\) et \(M_{ser,car}\))

Principe :

Pour une poutre sur deux appuis de portée \(L_{portee}\) soumise à une charge uniformément répartie \(p\), le moment fléchissant maximal se produit à mi-portée.

Formule :
\[M_{max} = \frac{p L_{portee}^2}{8}\]
Données :
  • \(p_{Ed} = 45 \, \text{kN/m}\)
  • \(p_{ser,car} = 32 \, \text{kN/m}\)
  • \(L_{portee} = 6.0 \, \text{m}\)
Calcul du Moment ELU (\(M_{Ed}\)) :
\[M_{Ed} = \frac{45 \, \text{kN/m} \times (6.0 \, \text{m})^2}{8} \] \[M_{Ed} = \frac{45 \times 36}{8} = 202.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}\]
Calcul du Moment ELS Caractéristique (\(M_{ser,car}\)) :
\[M_{ser,car} = \frac{32 \, \text{kN/m} \times (6.0 \, \text{m})^2}{8} \] \[M_{ser,car} = \frac{32 \times 36}{8} = 144 \, \text{kN} \cdot \text{m}\]
Résultat Question 6 :
  • Moment fléchissant maximal à l'ELU : \(M_{Ed} = 202.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Moment fléchissant maximal à l'ELS (caractéristique) : \(M_{ser,car} = 144 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Calcul des combinaisons de charges

D’autres exercices de béton armé:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *