Ferraillage transversal d’une poutre

Comprendre le Ferraillage transversal d’une poutre

Vous êtes chargé de concevoir le ferraillage transversal d’une poutre simplement appuyée qui supporte des charges uniformément réparties. La poutre a une portée de 8 m et doit supporter une charge permanente (G) de 25 kN/m (y compris son propre poids) et une charge variable (Q) de 35 kN/m.

Pour comprendre le Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre, cliquez sur le lien.

Les caractéristiques du matériau sont les suivantes :

Béton C30/37
Acier d’armature de classe B500B

Les dimensions de la section transversale de la poutre sont :

Largeur b = 300 mm
Hauteur totale h = 600 mm
Enrobage des armatures c = 30 mm

Autres données:

\( \rho_l \) est de 1%
Diamètre d’étrier: 8 mm

Questions :

1. Détermination des actions et des combinaisons d’actions : Calculer les charges de calcul pour les combinaisons de charges ultimes selon l’Eurocode 0 (EN 1990).

2. Calcul des efforts internes : Calculer le moment fléchissant maximal (Md) et l’effort tranchant maximal (Vd) dans la poutre en utilisant la théorie des poutres.

3. Calcul de la capacité de cisaillement sans armatures transversales (Vc) : Utiliser l’Eurocode 2 pour déterminer la capacité de cisaillement du béton sans armatures de cisaillement.

4. Détermination du ferraillage transversal nécessaire (Vs) : Calculer l’armature de cisaillement requise pour résister à l’effort tranchant excédent (Vd – Vc).

5. Choix des étriers et espacement

Choisir le type et le diamètre des étriers.
Déterminer l’espacement maximal et minimal des étriers selon l’Eurocode 2.

6. Vérification de la capacité de cisaillement avec armatures transversales : Vérifier que l’armature proposée est adéquate pour les efforts de cisaillement calculés.

Correction : Ferraillage transversal d’une poutre

1. Détermination des actions et des combinaisons d’actions

Calcul des charges de calcul (combinaisons ultimes):

Selon l’Eurocode 0 (EN 1990), pour l’ultime, on utilise des coefficients partiels. Typiquement :

Coefficient pour les charges permanentes : \(\gamma_G = 1.35\)
Coefficient pour les charges variables : \(\gamma_Q = 1.5\)

La charge uniformément répartie design est donc :

\[ w_d = \gamma_G \cdot G + \gamma_Q \cdot Q. \]

En substituant les valeurs :

\[ w_d = 1.35 \times 25\,\text{kN/m} + 1.5 \times 35\,\text{kN/m} \] \[ w_d = 33.75\,\text{kN/m} + 52.5\,\text{kN/m} \] \[ w_d = 86.25\,\text{kN/m}. \]

2. Calcul des efforts internes dans la poutre

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie \( w_d \), on a :

2.1. Moment fléchissant maximal:

\[ M_d = \frac{w_d\,L^2}{8}. \]

Substitution :

\[ M_d = \frac{86.25\,\text{kN/m} \times (8\,\text{m})^2}{8} \] \[ M_d = \frac{86.25 \times 64}{8} \] \[ M_d = 86.25 \times 8 \] \[ M_d = 690\,\text{kN}\cdot\text{m}. \]

2.2. Effort tranchant maximal:

\[ V_d = \frac{w_d\,L}{2}. \]

Substitution :

\[ V_d = \frac{86.25\,\text{kN/m} \times 8\,\text{m}}{2} \] \[ V_d = \frac{690\,\text{kN}}{2} \] \[ V_d = 345\,\text{kN}. \]

3. Capacité de cisaillement du béton sans armatures transversales (\(V_c\))

L’Eurocode 2 donne la formule (pour une poutre sans précontrainte) :

\[ V_{Rd,c} = \Bigl[C_{Rd,c}\,k\,(100\,\rho_l\,f_{ck})^{1/3}\Bigr]\,b_w\,d \]

avec :

\( C_{Rd,c} = \frac{0.18}{\gamma_c} \) et \(\gamma_c = 1.5\) \(\Rightarrow C_{Rd,c} = \frac{0.18}{1.5} = 0.12\).
\( k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} \) (avec une valeur maximale de 2).
\( f_{ck} = 30\,\text{MPa} \) pour le béton C30/37.
\( \rho_l = 1\% = 0.01 \).
\( b_w = 300\,\text{mm} \) (largeur utile de la poutre).

Détermination de la hauteur utile \( d \):

La hauteur utile \( d \) se calcule en déduisant de la hauteur totale \( h \) l’enrobage et la moitié du diamètre de l’armature (pour l’étrier de cisaillement, on prend souvent)

\[ d = h – c – \frac{\phi}{2}. \]

Ainsi,

\[ d = 600\,\text{mm} – 30\,\text{mm} – \frac{8\,\text{mm}}{2} \] \[ d = 600 – 30 – 4 \] \[ d = 566\,\text{mm}. \]

Calcul de \( k \):

\[ k = 1 + \sqrt{\frac{200}{566}} \] Avec \[ \sqrt{\frac{200}{566}} \approx \sqrt{0.353} \approx 0.594. \]

Donc,

\[ k \approx 1 + 0.594 = 1.594. \]

Calcul de \((100\,\rho_l\,f_{ck})^{1/3}\):

\[ 100\,\rho_l\,f_{ck} = 100 \times 0.01 \times 30 = 30, \] \[ 30^{1/3} \approx 3.107. \]

Calcul final de \( V_{Rd,c} \):

\[ V_{Rd,c} = 0.12 \times 1.594 \times 3.107 \times (300\,\text{mm}) \times (566\,\text{mm}). \] \[ V_{Rd,c} \approx 0.594 \times 169\,800 \] \[ V_{Rd,c} \approx 100\,921\,\text{N} \] \[ V_{Rd,c} \approx 101\,\text{kN}. \]

Conclusion : La capacité au cisaillement du béton seul est \( V_c \approx 101\,\text{kN} \).

4. Détermination du ferraillage transversal nécessaire

Le béton sans étriers peut résister à \(101\,\text{kN}\) alors que l’effort tranchant maximal est \(345\,\text{kN}\). L’armature transversale doit donc reprendre :

\[ V_s = V_d – V_{Rd,c} \] \[ V_s = 345\,\text{kN} – 101\,\text{kN} \] \[ V_s = 244\,\text{kN}. \]

Formule pour l’armature de cisaillement:

L’Eurocode 2 propose pour l’armature transversale :

\[ V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s}\,z\,f_{ywd}\,\cot\theta, \]

où :

\( A_{sw} \) est l’aire d’armature d’un étrier (pour 2 branches dans un étrier fermé).
\( s \) est l’espacement des étriers (en mm).
\( z \) est le bras effectif, approximé par \( z \approx 0.9\,d \).
\( f_{ywd} \) est la résistance d’élasticité de l’acier designée, obtenue par \( f_{ywd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} \) avec \( \gamma_s = 1.15 \).
\( \theta \) est l’angle d’inclinaison des faisceaux d’armatures ; pour simplifier, on prend souvent \( \theta=45^\circ \) ce qui donne \( \cot\theta =1 \).

La contribution de l’armature par unité de longueur doit satisfaire :

\[ \frac{A_{sw}}{s} \geq \frac{V_s}{z\,f_{ywd}}. \]

Calcul des paramètres:

Calcul du bras effectif :

\[ z = 0.9 \times 566\,\text{mm} \approx 509\,\text{mm}. \]

Calcul de la résistance design de l’acier :

\[ f_{ywd} = \frac{500\,\text{MPa}}{1.15} \approx 435\,\text{MPa}. \]

Le rapport nécessaire est donc :

\[ \frac{A_{sw}}{s} = \frac{244\,000\,\text{N}}{509\,\text{mm} \times 435\,\text{MPa}}. \]

Note : \(1\,\text{MPa} = 1\,\text{N/mm}^2\), donc :

\[ \frac{A_{sw}}{s} = \frac{244\,000\,\text{N}}{509\,\text{mm} \times 435\,\text{N/mm}^2} = \frac{244\,000}{221\,715} \approx 1.10\,\text{mm}^2/\text{mm}. \]

4.1. Vérification avec des étriers de 8 mm de diamètre

Un étrier de 8 mm de diamètre a pour aire d’une branche :

\[ A_{bar} = \frac{\pi\,\phi^2}{4} \] \[ A_{bar} = \frac{\pi \times 8^2}{4} \] \[ A_{bar} = \frac{\pi \times 64}{4} \] \[ A_{bar} = 16\pi \] \[ A_{bar} \approx 50.27\,\text{mm}^2. \]

Pour un étrier fermé (2 branches), on a :

\[ A_{sw} = 2 \times 50.27 \approx 100.53\,\text{mm}^2. \]

L’espacement maximal \( s_{max} \) est alors :

\[ s_{max} = \frac{A_{sw}}{\frac{A_{sw}}{s}} \] \[ s_{max} = \frac{100.53\,\text{mm}^2}{1.10\,\text{mm}^2/\text{mm}} \] \[ s_{max} \approx 91.4\,\text{mm}. \]

5. Choix des étriers et détermination de l’espacement

5.1. Choix du diamètre:

Nous avons choisi des étriers de diamètre \(8\,\text{mm}\) dont l’aire totale (2 branches) est \(A_{sw} \approx 100.53\,\text{mm}^2\).

5.2. Espacement:

Le calcul précédent montre que, pour résister à \( V_s = 244\,\text{kN} \), l’espacement maximal est :

\[ s_{max} \approx 91\,\text{mm}. \]

Dans la pratique, il faut également respecter les limites imposées par l’Eurocode 2 (par exemple \( s \leq 0.75\,d \) et \( s \leq 600\,\text{mm} \)). Ici :

\(0.75\,d = 0.75 \times 566 \approx 424.5\,\text{mm},\) ce qui est largement supérieur à 91 mm. Ainsi, la vérification principale est celle de la résistance, imposant \( s \leq 91\,\text{mm} \).

Choix pratique : On peut opter pour un espacement de 80 mm entre étriers pour tenir compte des tolérances de mise en œuvre.

6. Vérification de la capacité de cisaillement avec armatures

Avec un espacement choisi de \( s = 80\,\text{mm} \), la contribution fournie par l’armature par unité de longueur est :

\[ \frac{A_{sw}}{s} = \frac{100.53\,\text{mm}^2}{80\,\text{mm}} \approx 1.2566\,\text{mm}^2/\text{mm}. \]

La résistance au cisaillement apportée par les étriers est :

\[ V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s}\,z\,f_{ywd}\,\cot\theta \] \[ V_{Rd,s} = 1.2566\,\text{mm}^2/\text{mm} \times 509\,\text{mm} \times 435\,\text{N/mm}^2 \times 1. \] \[ V_{Rd,s} \approx 278\,400\,\text{N} \] soit environ \(278.4\,\text{kN}\).

Ce résultat est supérieur à l’effort tranchant excédentaire à reprendre (\(244\,\text{kN}\)), ce qui signifie que la solution proposée est adéquate.

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