Calcul des Zones de Poinçonnement

Comprendre le Calcul des Zones de Poinçonnement

Un bâtiment résidentiel de plusieurs étages est en cours de conception. Pour l’un des poteaux de structure situés au rez-de-chaussée, il est nécessaire de vérifier la résistance au poinçonnement de la dalle de fondation en béton armé. Ce poteau soutient plusieurs étages et transmet une charge importante à la dalle.

Données Nécessaires

Dalle : Épaisseur \(h = 250 \, \text{mm}\)
Poteau : Section carrée \(c_1 = c_2 = 400 \, \text{mm}\)
Charges sur le poteau (non pondérées) :
- Permanente \(G = 1200 \, \text{kN}\)
- Variable \(Q = 800 \, \text{kN}\)
Matériaux :
- Béton : Classe C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\))
- Acier : Classe B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
Coefficients de sécurité (Eurocode) :
- Charges permanentes \(\gamma_G = 1.35\)
- Charges variables \(\gamma_Q = 1.5\)
- Béton \(\gamma_c = 1.5\)
- Acier \(\gamma_s = 1.15\)
- Coefficient \(\alpha_{cc}\) pour résistance béton = 1.0 (pour calculs de résistance en compression/cisaillement)
Donnée non fournie, nécessaire pour le calcul de \(v_{Rd,c}\) :
- Ratio d'armature longitudinale de flexion (\(\rho_l\)) : Nous supposerons une valeur raisonnable si nécessaire.
Données non fournies, nécessaires pour calcul hauteur utile \(d\) :
- Enrobage des armatures (\(c\))
- Diamètre des armatures (\(\phi\))

Note : Le coefficient \(\psi = 0.7\) mentionné n'est généralement pas utilisé pour le calcul direct de la charge ELU, mais pour des combinaisons spécifiques (ex: quasi-permanente). Nous utiliserons les facteurs \(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\) pour l'ELU.

Question

Calculer la capacité de résistance au poinçonnement de la dalle autour du poteau et vérifier si elle est adéquate pour supporter les charges appliquées à l'État Limite Ultime (ELU).

Correction : Calcul des Zones de Poinçonnement

Étape 1 : Calcul de l'Effort Tranchant de Calcul (\(V_{Ed}\))

Objectif :

Déterminer la charge verticale totale que le poteau transmet à la dalle, en appliquant les facteurs de sécurité pour l'État Limite Ultime (ELU). C'est cette charge qui tente de "poinçonner" la dalle.

Formule :

On pondère les charges permanentes (\(G\)) et variables (\(Q\)) par leurs coefficients respectifs \(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\).

V_{Ed} = \gamma_G \times G + \gamma_Q \times Q

Données :

\(G = 1200 \, \text{kN}\)
\(Q = 800 \, \text{kN}\)
\(\gamma_G = 1.35\)
\(\gamma_Q = 1.5\)

Calcul de l'Effort Tranchant Pondéré (\(V_{Ed}\)) :

V_{Ed} = (1.35 \times 1200 \, \text{kN}) + (1.5 \times 800 \, \text{kN}) \] \[ V_{Ed} = 1620 \, \text{kN} + 1200 \, \text{kN} \] \[ V_{Ed} = 2820 \, \text{kN}

Résultat Étape 1 :

L'effort tranchant de calcul agissant sur la dalle au droit du poteau est \(V_{Ed} = 2820 \, \text{kN}\).

Étape 2 : Calcul de la Hauteur Utile (\(d\))

Objectif :

Déterminer la hauteur "efficace" de la dalle pour résister au poinçonnement. C'est la distance entre la face supérieure comprimée et le centre de gravité moyen des armatures inférieures (qui travaillent en traction).

Hypothèses :

Comme l'enrobage et le diamètre des barres ne sont pas donnés, nous devons faire des hypothèses réalistes pour une dalle de fondation.

Enrobage nominal (\(c_{nom}\)) : 35 \(\text{mm}\) (courant pour fondations, classe d'exposition XC2 par ex.)
Diamètre des armatures (\(\phi\)) : 16 \(\text{mm}\) (hypothèse raisonnable pour une fondation sous poteau chargé)

Formule :

La hauteur utile est la hauteur totale moins l'enrobage et la moitié du diamètre de la barre. Pour le poinçonnement, on utilise la moyenne des hauteurs utiles dans les deux directions (\(d_x\) et \(d_y\)). On suppose ici qu'elles sont identiques car les diamètres de barres sont souvent les mêmes dans les deux nappes inférieures.

d = h - c_{nom} - \frac{\phi}{2}

Schéma : Hauteur Utile

Données :

\(h = 250 \, \text{mm}\)
\(c_{nom} = 35 \, \text{mm}\) (Hypothèse)
\(\phi = 16 \, \text{mm}\) (Hypothèse)

Calcul de la Hauteur Utile (\(d\)) :

d = 250 \, \text{mm} - 35 \, \text{mm} - \frac{16 \, \text{mm}}{2} \] \[ d = 250 - 35 - 8 \] \[ d = 207 \, \text{mm}

Résultat Étape 2 :

La hauteur utile moyenne de la dalle est \(d = 207 \, \text{mm}\).

Étape 3 : Calcul du Périmètre de Contrôle (\(u_1\))

Objectif :

Définir la longueur du contour autour du poteau sur lequel on va vérifier la contrainte de cisaillement. Selon l'Eurocode 2, le périmètre de contrôle de base (\(u_1\)) est situé à une distance de \(2d\) des faces du poteau.

Formule (poteau rectangulaire intérieur) :

Le périmètre est formé par les 4 côtés du rectangle élargi de \(2d\) de chaque côté, et par les 4 quarts de cercle aux angles, de rayon \(2d\).

u_1 = 2(c_1 + c_2) + 2\pi (2d)

Schéma : Périmètre de Contrôle \(u_1\)

Données :

\(c_1 = 400 \, \text{mm}\)
\(c_2 = 400 \, \text{mm}\)
\(d = 207 \, \text{mm}\)

Calcul du Périmètre de Contrôle (\(u_1\)) :

2d = 2 \times 207 \, \text{mm} = 414 \, \text{mm} \] \[ u_1 = 2 \times (400 \, \text{mm} + 400 \, \text{mm}) + 2\pi \times (414 \, \text{mm}) \] \[ u_1 = 2 \times 800 + 2599 \] \[ u_1 = 1600 + 2599 = 4199 \, \text{mm}

Résultat Étape 3 :

Le périmètre de contrôle de base est \(u_1 = 4199 \, \text{mm}\) (ou \(4.199 \, \text{m}\)).

Étape 4 : Calcul de la Contrainte Tangente de Calcul (\(v_{Ed}\))

Objectif :

Calculer la contrainte de cisaillement moyenne agissant sur le périmètre de contrôle \(u_1\). Cette contrainte est obtenue en divisant l'effort tranchant \(V_{Ed}\) par l'aire résistante (\(u_1 \times d\)). On applique un coefficient \(\beta\) pour tenir compte des éventuelles excentricités de la charge (non uniformité de la contrainte).

Formule :

v_{Ed} = \beta \frac{V_{Ed}}{u_1 d}

Pour un poteau intérieur sans moment significatif transmis à la dalle, on prend souvent \(\beta = 1.15\).

Données :

\(V_{Ed} = 2820 \, \text{kN} = 2820 \times 10^3 \, \text{N}\)
\(u_1 = 4199 \, \text{mm}\)
\(d = 207 \, \text{mm}\)
\(\beta = 1.15\) (Hypothèse poteau intérieur)

Calcul de la Contrainte Tangente Appliquée (\(v_{Ed}\)) :

v_{Ed} = 1.15 \times \frac{2820 \times 10^3 \, \text{N}}{4199 \, \text{mm} \times 207 \, \text{mm}} \] \[ v_{Ed} = 1.15 \times \frac{2820000}{869193} \, \text{N/mm}^2 \] \[ v_{Ed} \approx 1.15 \times 3.244 \, \text{MPa} \] \[ v_{Ed} \approx 3.73 \, \text{MPa}

Résultat Étape 4 :

La contrainte tangente de calcul est \(v_{Ed} \approx 3.73 \, \text{MPa}\).

Étape 5 : Calcul de la Résistance au Poinçonnement (\(v_{Rd,c}\))

Objectif :

Calculer la contrainte de cisaillement que le béton peut reprendre sans armatures de poinçonnement spécifiques. Cette résistance dépend principalement de la qualité du béton (\(f_{ck}\)), de la hauteur utile (\(d\)) et du pourcentage d'armatures longitudinales (\(\rho_l\)) présentes pour la flexion.

Formule (Eurocode 2, simplifiée sans \(\sigma_{cp}\)) :

v_{Rd,c} = C_{Rd,c} k (100 \rho_l f_{ck})^{1/3} \ge v_{min}

Avec :

\(C_{Rd,c} = 0.18 / \gamma_c\)
\(k = 1 + \sqrt{200/d} \le 2.0\) (avec \(d\) en mm)
\(\rho_l = \sqrt{\rho_{lx} \rho_{ly}} \le 0.02\) (Ratio moyen d'armatures de flexion)
\(v_{min} = 0.035 k^{3/2} f_{ck}^{1/2}\)

Hypothèse sur \(\rho_l\) :

Le ratio d'armature de flexion n'est pas calculé ici (il dépendrait du moment fléchissant dans la dalle de fondation elle-même, ce qui n'est pas l'objet principal). Pour évaluer la résistance au poinçonnement, on doit faire une hypothèse. Prenons un ratio courant pour une fondation, par exemple 0.5% dans chaque direction.

Hypothèse : \(\rho_{lx} = \rho_{ly} = 0.005\) (0.5%)
Donc \(\rho_l = \sqrt{0.005 \times 0.005} = 0.005\)

Note : Cette hypothèse est cruciale. Si le ratio réel est plus faible, \(v_{Rd,c}\) sera plus faible.

Calcul des termes intermédiaires :

\(\gamma_c = 1.5\)
\(d = 207 \, \text{mm}\)
\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
\(\rho_l = 0.005\)

C_{Rd,c} = 0.18 / 1.5 = 0.12 \] \[ k = 1 + \sqrt{200 / 207} \approx 1 + \sqrt{0.966} \approx 1 + 0.983 = 1.983 \] \[ k = 1.983 \quad (\text{car } \le 2.0) \] \[ (100 \rho_l f_{ck})^{1/3} = (100 \times 0.005 \times 25)^{1/3} = (12.5)^{1/3} \approx 2.32 \] \[ v_{min} = 0.035 \times (1.983)^{3/2} \times (25)^{1/2} \] \[ v_{min} \approx 0.035 \times 2.79 \times 5 \approx 0.488 \, \text{MPa}

Calcul de la Résistance (\(v_{Rd,c}\)) :

v_{Rd,c} = 0.12 \times 1.983 \times (12.5)^{1/3} \] \[ v_{Rd,c} \approx 0.12 \times 1.983 \times 2.32 \approx 0.552 \, \text{MPa}

Vérifions par rapport à \(v_{min}\) :

v_{Rd,c} = 0.552 \, \text{MPa} \ge v_{min} = 0.488 \, \text{MPa} \quad (\text{OK})

Résultat Étape 5 :

La résistance au poinçonnement du béton sans armatures spécifiques est \(v_{Rd,c} \approx 0.55 \, \text{MPa}\) (en supposant \(\rho_l = 0.5\%\)).

Étape 6 : Vérification de la Sécurité au Poinçonnement

Objectif :

Comparer la contrainte de cisaillement appliquée (\(v_{Ed}\)) à la contrainte résistante du béton (\(v_{Rd,c}\)). Si \(v_{Ed} \le v_{Rd,c}\), la dalle résiste sans armatures de poinçonnement. Sinon, il faut soit augmenter l'épaisseur de la dalle, soit ajouter des armatures de poinçonnement.

Comparaison (\(v_{Ed}\) vs \(v_{Rd,c}\)) :

Contrainte appliquée : \(v_{Ed} \approx 3.73 \, \text{MPa}\)
Résistance du béton : \(v_{Rd,c} \approx 0.55 \, \text{MPa}\)

v_{Ed} = 3.73 \, \text{MPa} > v_{Rd,c} = 0.55 \, \text{MPa}

Conclusion (Résistance béton seul) :

La contrainte appliquée est largement supérieure à la résistance du béton seul. La dalle, telle que définie, ne résiste pas au poinçonnement sans armatures spécifiques.

Vérification de la résistance maximale (\(v_{Rd,max}\)) :

Il faut aussi vérifier que la contrainte appliquée n'écrase pas les bielles de béton, même avec des armatures. La résistance maximale est vérifiée sur le périmètre \(u_0\) (pourtour du poteau).

f_{cd} = \alpha_{cc} \frac{f_{ck}}{\gamma_c} = 1.0 \times \frac{25 \, \text{MPa}}{1.5} \approx 16.67 \, \text{MPa} \] \[ v_{Rd,max} = 0.4 \times \nu \times f_{cd} \] \[ \nu = 0.6 \times (1 - f_{ck}/250) \] \[ u_0 = 2(c_1 + c_2) = 2(400+400) = 1600 \, \text{mm} \] \[ v_{Ed,u0} = \beta \frac{V_{Ed}}{u_0 d} \quad (\text{Contrainte sur } u_0)

\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
\(f_{cd} \approx 16.67 \, \text{MPa}\) (avec \(\alpha_{cc}=1.0\))
\(V_{Ed} = 2820 \times 10^3 \, \text{N}\)
\(u_0 = 1600 \, \text{mm}\)
\(d = 207 \, \text{mm}\)
\(\beta = 1.15\)

Calculs (\(v_{Rd,max}\) et \(v_{Ed,u0}\)) :

\nu = 0.6 \times (1 - 25/250) = 0.6 \times (1 - 0.1) = 0.6 \times 0.9 = 0.54 \] \[ v_{Rd,max} = 0.4 \times 0.54 \times 16.67 \, \text{MPa} \approx 3.60 \, \text{MPa} \] \[ v_{Ed,u0} = 1.15 \times \frac{2820 \times 10^3 \, \text{N}}{1600 \, \text{mm} \times 207 \, \text{mm}} \] \[ v_{Ed,u0} = 1.15 \times \frac{2820000}{331200} \approx 1.15 \times 8.51 \, \text{MPa} \approx 9.79 \, \text{MPa}

Comparaison (\(v_{Ed,u0}\) vs \(v_{Rd,max}\)) :

v_{Ed,u0} = 9.79 \, \text{MPa} > v_{Rd,max} = 3.60 \, \text{MPa}

Cette vérification montre que même avec des armatures de poinçonnement, la section de béton est insuffisante pour éviter l'écrasement des bielles. Il faut impérativement augmenter l'épaisseur de la dalle ou les dimensions du poteau.

Résultat Final :

La dalle de 250 mm d'épaisseur n'est pas adéquate pour résister au poinçonnement sous la charge de calcul \(V_{Ed} = 2820 \, \text{kN}\). Non seulement \(v_{Ed} > v_{Rd,c}\), mais aussi \(v_{Ed,u0} > v_{Rd,max}\), indiquant un risque d'écrasement du béton. Des modifications de conception (augmentation de \(h\), de la section du poteau, ou utilisation d'un béton plus résistant) sont nécessaires.