Études de cas pratique

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Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre

Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre

Comprendre le Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre

Vous travaillez pour une entreprise de construction qui doit concevoir une poutre en béton armé pour un bâtiment résidentiel. La poutre doit supporter des charges variables et fixes. Vous devez déterminer l’armature transversale nécessaire pour assurer que la poutre résiste aux efforts de cisaillement et de torsion, conformément aux exigences de l’Eurocode 2.

Pour comprendre le Ferraillage transversal d’une poutre, cliquez sur le lien.

Données:

  1. Dimensions de la poutre:
    • Largeur = 300 mm
    • Hauteur = 600 mm
    • Hauteur effective = 560 mm (d)
  2. Charges appliquées:
    • Charge permanente (incluant poids propre) = 15 kN/m
    • Charge variable (dûe à l’utilisation) = 10 kN/m
    • Longueur de la poutre = 5 m
  3. Matériaux:
    • Béton C30/37
    • Acier d’armature B500B
  4. Cisaillement de base:
    • Cisaillement de conception \(V_{Ed}\) = 150 kN
    • Résistance au cisaillement du béton sans armature transversale \((V_c)\) = 70 kN
  5. Le diamètre des étriers est de 8 mm.
  6. La contrainte caractéristique de l’acier B500B est de 500 MPa.
  7. Le maximum d’espacement autorisé des étriers est de 300 mm
Calcul de l'Espacement des Étriers d'une Poutre

Questions:

1. Détermination de l’effort de cisaillement à concevoir:

  • Calculez \(V_s\) à partir de \(V_{Ed}\) et \(V_c\).

2. Détermination de l’espacement des étriers:

  • Calculez l’espacement \(s\) en utilisant \(V_s\), le diamètre des étriers, la contrainte caractéristique de l’acier, et la hauteur effective \(d\).

3. Vérification de l’espacement:

  • Vérifiez si l’espacement calculé respecte la limite maximale autorisée de 300 mm. Si ce n’est pas le cas, ajustez l’espacement en conséquence.

Correction : Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre

1. Calcul de l’effort de cisaillement à concevoir (\(V_s\))

Données:
  • Cisaillement de conception total : \( V_{Ed} = 150 \, \text{kN} \)
  • Résistance au cisaillement du béton (sans étriers) : \( V_{c} = 70 \, \text{kN} \)
Formule:

Pour déterminer l’effort à compenser par l’armature transversale (étriers), on calcule la différence entre le cisaillement de conception et la capacité du béton :

\[ V_{s} = V_{Ed} – V_{c} \]

Cela représente la portion de cisaillement qui doit être assurée par l’armature.

Calcul:

\[ V_{s} = 150 \, \text{kN} – 70 \, \text{kN} \] \[ V_{s} = 80 \, \text{kN} \]

Remarque : \(80 \, \text{kN}\) doit être converti en Newtons pour la suite des calculs, sachant que \(1 \, \text{kN} = 1\,000 \, \text{N}\) :

\[ 80 \, \text{kN} = 80\,000 \, \text{N} \]

2. Détermination de l’espacement des étriers

Données:
  • Diamètre des étriers : \(\emptyset = 8\,\text{mm}\)
  • Hauteur effective : \( d = 560 \, \text{mm}\)
  • Contrainte caractéristique de l’acier : \( f_{yk} = 500 \, \text{MPa} \) (où \( 1 \, \text{MPa} = 1 \, \text{N/mm}^2 \))
  • Effort à compenser par les étriers : \( V_{s} = 80\,000 \, \text{N}\)
Calcul de la section d’un barreau et de l’armature totale fournie par un étrier

Pour un barreau circulaire de diamètre \(\emptyset\), l’aire est donnée par :

\[ A = \frac{\pi}{4} \, \emptyset^2 \]

En substituant la valeur :

\[ A = \frac{\pi}{4} \times (8 \, \text{mm})^2 \] \[ A = \frac{\pi}{4} \times 64 \, \text{mm}^2 \] \[ A \approx 50,27 \, \text{mm}^2 \]

Dans une configuration classique, un étrier comporte \textbf{deux branches} (deux barreaux). Ainsi, l’aire totale d’armature transversale fournie par un étrier est :

\[ A_{sw} = 2 \times 50,27 \, \text{mm}^2 \] \[ A_{sw} \approx 100,53 \, \text{mm}^2 \]

Formule:

Selon l’Eurocode 2, pour une hypothèse simplifiée (angle de la diagonale de compression \(\theta = 45^\circ\) tel que \(\cot 45^\circ = 1\)), la résistance au cisaillement fournie par les étriers est donnée par :

\[ V_{Rd,s} = \frac{A_{sw} \cdot f_{yk} \cdot d}{s} \]

Pour assurer la sécurité, il faut que :

\[ V_{Rd,s} \geq V_{s} \]

Nous mettons donc en égalité pour déterminer l’espacement maximum admissible \( s \) :

\[ \frac{A_{sw} \cdot f_{yk} \cdot d}{s} = V_{s} \]

D’où, en isolant \( s \) :

\[ s = \frac{A_{sw} \cdot f_{yk} \cdot d}{V_{s}} \]

Substitution des valeurs et Calcul:

Remplaçons par les valeurs numériques :

  • \( A_{sw} = 100,53 \, \text{mm}^2 \)
  • \( f_{yk} = 500 \, \text{N/mm}^2 \)
  • \( d = 560 \, \text{mm} \)
  • \( V_{s} = 80\,000 \, \text{N} \)

Le calcul est le suivant :

\[ s = \frac{100,53 \, \text{mm}^2 \times 500 \, \text{N/mm}^2 \times 560 \, \text{mm}}{80\,000 \, \text{N}} \] \[ s = \frac{28\,148\,400 \, \text{N}\cdot\text{mm}}{80\,000 \, \text{N}} \] \[ s \approx 351,855 \, \text{mm} \]

On arrondit :

\[ s \approx 352 \, \text{mm} \]

3. Vérification de l’espacement par rapport à la limite maximale autorisée

Donnée supplémentaire:
  • Espacement maximum autorisé} : \( s_{max} = 300 \, \text{mm} \)
Analyse et Conclusion:

Le calcul théorique donne :

\[ s \approx 352 \, \text{mm} \]

Mais comme \( 352 \, \text{mm} > 300 \, \text{mm} \), l’espacement maximum imposé par le code (ou par les prescriptions du projet) est dépassé.
Par conséquent, il faut adopter l’espacement maximum autorisé :

\[ s = 300 \, \text{mm} \]

Conclusion :
Pour assurer la résistance au cisaillement conformément aux exigences (Eurocode 2) et respecter la limite d’espacement maximum, l’espacement des étriers sera fixé à 300 mm.

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