Études de cas pratique

EGC

Contrainte maximale dans le béton

Calcul de la Contrainte Maximale dans le Béton

Comprendre le Calcul de la Contrainte Maximale dans le Béton

La vérification des contraintes dans le béton à l'État Limite de Service (ELS) est essentielle pour s'assurer que le matériau ne subit pas de dommages excessifs (comme une compression trop importante pouvant mener à des micro-fissurations ou un comportement non linéaire) et pour contrôler la fissuration en zone tendue. Cet exercice se concentre sur le calcul de la contrainte maximale de compression dans une poutre en béton armé soumise à la flexion simple, en utilisant la méthode de la section homogénéisée.

Données de l'étude

On étudie une section rectangulaire d'une poutre en béton armé soumise à un moment fléchissant de service.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la poutre (\(b\)) : \(30 \, \text{cm}\)
  • Hauteur totale de la poutre (\(h\)) : \(55 \, \text{cm}\)
  • Hauteur utile (\(d\)) : \(50 \, \text{cm}\)
  • Section d'aciers tendus (\(A_s\)) : 4 HA 20 (calculer la section)
  • Béton : C30/37 (\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Module d'Young de l'acier (\(E_s\)) : \(200 \, \text{GPa}\)
  • Module d'Young sécant moyen du béton (\(E_{cm}\)) pour C30/37 : \(33 \, \text{GPa}\)

Sollicitations (ELS) :

  • Moment fléchissant de service (combinaison caractéristique) : \(M_{ser} = 180 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

Hypothèse : On néglige les aciers comprimés. On considère la section fissurée (le béton tendu ne résiste pas à la traction). On utilise la méthode de la section homogénéisée. La contrainte admissible en compression du béton à l'ELS est \(\sigma_{bc,adm} = 0.6 f_{ck}\).

Schéma : Section et Diagrammes Contraintes/Déformations (ELS)
Section As (4HA20) y b=30cm h=55cm d=50cm Contraintes ELS σbc σs y

Section de poutre et diagramme triangulaire des contraintes à l'ELS (béton tendu négligé).

Questions à traiter

  1. Calculer la section d'acier tendu \(A_s\) pour 4 HA 20.
  2. Calculer le coefficient d'équivalence acier-béton à court terme (\(n_{ct}\)).
  3. Déterminer la position de l'axe neutre (\(y\)) par rapport à la fibre la plus comprimée.
  4. Calculer le moment d'inertie (\(I_{hom}\)) de la section homogénéisée fissurée par rapport à son axe neutre.
  5. Calculer la contrainte maximale dans le béton comprimé (\(\sigma_{bc}\)) à l'ELS.
  6. Vérifier si la contrainte maximale dans le béton (\(\sigma_{bc}\)) est inférieure à la contrainte admissible (\(\sigma_{bc,adm} = 0.6 f_{ck}\)).

Correction : Calcul de la Contrainte Maximale dans le Béton

Question 1 : Section d'Acier Tendu (\(A_s\))

Principe :

La section totale d'acier est la somme des sections des barres individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :

Section d'une barre HA 20 (\(\phi=20\) mm) :

\[A_{\phi 20} = \frac{\pi \phi^2}{4} = \frac{\pi (20 \, \text{mm})^2}{4}\]

Section totale d'acier (\(A_s\)) :

\[A_s = \text{Nombre de barres} \times A_{\phi 20}\]
Données spécifiques :
  • Armatures : 4 HA 20
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\phi 20} &= \frac{\pi \times (20)^2}{4} \\ &\approx 314.16 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_s &= 4 \times 314.16 \, \text{mm}^2 \\ &= 1256.64 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion en cm² : \(A_s \approx 12.57 \, \text{cm}^2\)

Résultat Question 1 : La section d'acier tendu est \(A_s \approx 1256.64 \, \text{mm}^2\) (ou 12.57 cm²).

Question 2 : Coefficient d'Équivalence à Court Terme (\(n_{ct}\))

Principe :

Le coefficient d'équivalence à court terme est le rapport entre le module d'Young de l'acier et le module d'Young sécant moyen du béton.

Formule(s) utilisée(s) :
\[n_{ct} = \frac{E_s}{E_{cm}}\]
Données spécifiques :
  • \(E_s = 200000 \, \text{MPa}\)
  • \(E_{cm} = 33000 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n_{ct} &= \frac{200000}{33000} \\ &\approx 6.06 \end{aligned} \]

Pour les calculs ELS, une valeur forfaitaire de \(n=15\) est souvent utilisée pour tenir compte des effets différés (fluage). Cependant, si l'on s'intéresse aux contraintes sous charges de courte durée ou si l'on veut une analyse plus précise sans fluage, on utilise le rapport direct des modules. Pour cet exercice, nous allons utiliser la valeur calculée \(n \approx 6.06\), car l'énoncé ne spécifie pas d'utiliser n=15.

Résultat Question 2 : Le coefficient d'équivalence à court terme est \(n_{ct} \approx 6.06\).

Question 3 : Position de l'Axe Neutre (\(y\))

Principe :

La position de l'axe neutre est déterminée en égalant les moments statiques de la section de béton comprimé et de la section d'acier tendu homogénéisée (\(n A_s\)) par rapport à cet axe neutre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[b \frac{y^2}{2} = n A_s (d-y)\]

Ceci est une équation du second degré en \(y\): \(\frac{b}{2} y^2 + n A_s y - n A_s d = 0\)

Données spécifiques (unités mm) :
  • \(b = 300 \, \text{mm}\)
  • \(n \approx 6.06\)
  • \(A_s \approx 1256.64 \, \text{mm}^2\)
  • \(d = 500 \, \text{mm}\)
Calcul :

Termes de l'équation :

\[ \frac{b}{2} = \frac{300}{2} = 150 \, \text{mm} \]
\[ n A_s \approx 6.06 \times 1256.64 \approx 7614.3 \, \text{mm}^2 \]
\[ n A_s d \approx 7614.3 \times 500 \approx 3807150 \, \text{mm}^3 \]

Équation : \(150 y^2 + 7614.3 y - 3807150 = 0\)

Résolution (forme \(ay^2+by+c=0\)) : \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

\[ \Delta = (7614.3)^2 - 4 \times 150 \times (-3807150) \]
\[ \begin{aligned} \Delta &\approx 57977564 + 2284290000 \\ &= 2342267564 \end{aligned} \]
\[ \sqrt{\Delta} \approx 48397 \]
\[ y = \frac{-7614.3 \pm 48397}{2 \times 150} = \frac{-7614.3 \pm 48397}{300} \]

On retient la solution positive :

\[ \begin{aligned} y &= \frac{-7614.3 + 48397}{300} \\ &= \frac{40782.7}{300} \\ &\approx 135.94 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La position de l'axe neutre est \(y \approx 135.94 \, \text{mm}\) (ou 13.59 cm).

Question 4 : Moment d'Inertie Homogénéisée (\(I_{hom}\))

Principe :

Le moment d'inertie de la section homogénéisée fissurée est calculé par rapport à l'axe neutre trouvé.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{hom} = \frac{b y^3}{3} + n A_s (d-y)^2\]
Données spécifiques (unités mm) :
  • \(b = 300 \, \text{mm}\)
  • \(y \approx 135.94 \, \text{mm}\)
  • \(n \approx 6.06\)
  • \(A_s \approx 1256.64 \, \text{mm}^2\)
  • \(d = 500 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d-y &\approx 500 - 135.94 \\ &= 364.06 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{hom} &\approx \frac{300 \times (135.94)^3}{3} + 6.06 \times 1256.64 \times (364.06)^2 \\ &\approx \frac{300 \times 2512345}{3} + 7614.3 \times 132539.5 \\ &\approx 251.23 \times 10^6 + 1009.6 \times 10^6 \\ &\approx 1260.83 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Conversion en cm⁴ : \(I_{hom} \approx 126083 \, \text{cm}^4\)

Résultat Question 4 : Le moment d'inertie de la section homogénéisée fissurée est \(I_{hom} \approx 1.261 \times 10^9 \, \text{mm}^4\).

Question 5 : Contrainte Maximale dans le Béton (\(\sigma_{bc}\))

Principe :

La contrainte maximale de compression dans le béton se produit à la fibre supérieure (\(distance = y\)) et est calculée avec la formule de la flexion élastique.

Convention : Compression = négative.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{bc} = \frac{M_{ser}}{I_{hom}} y\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{ser} = 180 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 180 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(I_{hom} \approx 1.261 \times 10^9 \, \text{mm}^4\)
  • \(y \approx 135.94 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{bc} &= \frac{180 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{1.261 \times 10^9 \, \text{mm}^4} \times 135.94 \, \text{mm} \\ &\approx 0.1427 \times 135.94 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 19.40 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

La contrainte étant de compression, on note \(\sigma_{bc} \approx -19.40 \, \text{MPa}\).

Résultat Question 5 : La contrainte maximale de compression dans le béton est \(\sigma_{bc} \approx -19.40 \, \text{MPa}\).

Question 6 : Vérification de la Contrainte Admissible

Principe :

On vérifie que la contrainte de compression calculée dans le béton ne dépasse pas la limite admissible à l'ELS (généralement \(0.6 f_{ck}\) pour la combinaison caractéristique).

Formule(s) utilisée(s) :
\[|\sigma_{bc}| \leq \sigma_{bc,adm} = 0.6 f_{ck}\]
Données spécifiques :
  • \(|\sigma_{bc}| \approx 19.40 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\) (pour C30/37)
Calcul de la limite admissible :
\[ \begin{aligned} \sigma_{bc,adm} &= 0.6 \times 30 \, \text{MPa} \\ &= 18.0 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Comparaison :
\[ |\sigma_{bc}| \approx 19.40 \, \text{MPa} > \sigma_{bc,adm} = 18.0 \, \text{MPa} \]

La contrainte calculée dépasse légèrement la limite admissible. Cela pourrait indiquer la nécessité d'augmenter les dimensions de la section, d'utiliser un béton de plus haute résistance, ou d'ajouter des aciers comprimés (non considérés ici).

Résultat Question 6 : La contrainte maximale de compression dans le béton (\(\approx 19.40 \, \text{MPa}\)) dépasse la contrainte admissible (\(18.0 \, \text{MPa}\)). La section n'est pas vérifiée sous cette hypothèse.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. À l'ELS, dans une section fléchie en béton armé, quelle partie est généralement négligée dans le calcul des contraintes (hypothèse de la section fissurée) ?

2. Que représente le coefficient d'équivalence \(n\) ?

3. Si la contrainte calculée \(\sigma_{bc}\) dépasse la contrainte admissible \(\sigma_{bc,adm}\) à l'ELS, que cela implique-t-il ?

Glossaire

Flexion Simple
Sollicitation d'une poutre par un moment fléchissant, sans effort normal significatif.
État Limite de Service (ELS)
État limite relatif aux conditions normales d'utilisation (fissuration, déformations, contraintes admissibles).
Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface (MPa). Positive en traction, négative en compression.
Contrainte Admissible (\(\sigma_{adm}\))
Valeur maximale de contrainte qu'un matériau peut supporter en service sans dommage ou perte de fonctionnalité, typiquement \(0.6 f_{ck}\) pour le béton en compression à l'ELS.
Axe Neutre
Ligne dans la section où la contrainte normale due à la flexion est nulle.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des armatures tendues.
Coefficient d'Équivalence (n)
Rapport des modules d'Young (\(E_s/E_c\)) utilisé pour transformer la section d'acier en une section équivalente de béton dans les calculs élastiques.
Section Homogénéisée
Section fictive constituée uniquement de béton, où l'acier est remplacé par \(n\) fois sa section, utilisée pour les calculs élastiques.
Section Fissurée
Hypothèse de calcul à l'ELS où l'on considère que le béton tendu n'offre aucune résistance à la traction.
Moment d'Inertie Homogénéisée (\(I_{hom}\))
Moment d'inertie de la section homogénéisée fissurée par rapport à son axe neutre.
Module d'Young (E)
Module d'élasticité longitudinale d'un matériau, reliant la contrainte à la déformation en comportement élastique (\(\sigma = E \epsilon\)).
Comportement en Flexion d’une Poutre - Exercice d'Application

D’autres exercices de béton armé:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *