Études de cas pratique

EGC

Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

Calcul du Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

Comprendre le Calcul du Module d’Young à partir d’un Essai de Traction

Le module d'Young (ou module d'élasticité longitudinale, noté \(E\)) est une propriété mécanique fondamentale des matériaux qui caractérise leur rigidité, c'est-à-dire leur capacité à résister à la déformation élastique sous l'effet d'une contrainte. Il est défini comme le rapport entre la contrainte (\(\sigma\)) et la déformation (\(\epsilon\)) dans le domaine élastique linéaire du matériau : \(E = \sigma / \epsilon\). L'essai de traction est une méthode standard pour déterminer expérimentalement cette valeur.

Données de l'étude

Un essai de traction a été réalisé sur une éprouvette cylindrique en acier.

Caractéristiques de l'éprouvette :

  • Diamètre initial (\(D_0\)) : \(10.00 \, \text{mm}\)
  • Longueur initiale entre repères (\(L_0\)) : \(50.00 \, \text{mm}\)

Résultats de l'essai (dans le domaine élastique) :

Point de mesure Force Appliquée \(F\) (kN) Allongement \(\Delta L\) (mm)
1 5.0 0.012
2 10.0 0.024
3 15.0 0.036
4 20.0 0.048

Hypothèse : L'essai est réalisé dans le domaine élastique linéaire du matériau.

Schéma : Essai de Traction et Courbe Contrainte-Déformation
Éprouvette F F L₀ Courbe σ - ε ε σ Pente = E

Schéma d'une éprouvette de traction et allure de la courbe contrainte-déformation dans le domaine élastique.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section initiale (\(A_0\)) de l'éprouvette.
  2. Pour chaque point de mesure, calculer la contrainte normale (\(\sigma = F/A_0\)) et la déformation longitudinale (\(\epsilon = \Delta L / L_0\)). Présenter les résultats dans un tableau.
  3. Tracer (ou esquisser) la courbe contrainte-déformation (\(\sigma\) en fonction de \(\epsilon\)) à partir des points calculés.
  4. Déterminer le module d'Young (\(E\)) de l'acier à partir de la pente de la partie linéaire de cette courbe.

Correction : Calcul du Module d’Young

Question 1 : Aire de la Section Initiale (\(A_0\))

Principe :

L'aire d'une section circulaire est donnée par \(\pi D_0^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_0 = \frac{\pi D_0^2}{4}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre initial (\(D_0\)) : \(10.00 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_0 &= \frac{\pi \times (10.00 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 100}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 25\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 78.54 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section initiale est \(A_0 \approx 78.54 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Calcul des Contraintes (\(\sigma\)) et Déformations (\(\epsilon\))

Principe :

La contrainte normale est la force divisée par l'aire initiale. La déformation longitudinale est l'allongement divisé par la longueur initiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{F}{A_0}\] \[\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}\]

Attention aux unités : F en N, \(A_0\) en mm², \(\sigma\) en MPa (N/mm²). \(\Delta L\) et \(L_0\) dans la même unité (mm), \(\epsilon\) est sans dimension.

Données spécifiques :
  • \(A_0 \approx 78.54 \, \text{mm}^2\)
  • \(L_0 = 50.00 \, \text{mm}\)
  • Forces F : 5.0, 10.0, 15.0, 20.0 kN
  • Allongements \(\Delta L\) : 0.012, 0.024, 0.036, 0.048 mm
Calcul :

Point 1 : F = 5.0 kN = 5000 N, \(\Delta L\) = 0.012 mm

\[ \begin{aligned} \sigma_1 &= \frac{5000 \, \text{N}}{78.54 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 63.66 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \epsilon_1 &= \frac{0.012 \, \text{mm}}{50.00 \, \text{mm}} \\ &= 0.00024 \end{aligned} \]

Point 2 : F = 10.0 kN = 10000 N, \(\Delta L\) = 0.024 mm

\[ \begin{aligned} \sigma_2 &= \frac{10000 \, \text{N}}{78.54 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 127.32 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \epsilon_2 &= \frac{0.024 \, \text{mm}}{50.00 \, \text{mm}} \\ &= 0.00048 \end{aligned} \]

Point 3 : F = 15.0 kN = 15000 N, \(\Delta L\) = 0.036 mm

\[ \begin{aligned} \sigma_3 &= \frac{15000 \, \text{N}}{78.54 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 190.99 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \epsilon_3 &= \frac{0.036 \, \text{mm}}{50.00 \, \text{mm}} \\ &= 0.00072 \end{aligned} \]

Point 4 : F = 20.0 kN = 20000 N, \(\Delta L\) = 0.048 mm

\[ \begin{aligned} \sigma_4 &= \frac{20000 \, \text{N}}{78.54 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 254.65 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \epsilon_4 &= \frac{0.048 \, \text{mm}}{50.00 \, \text{mm}} \\ &= 0.00096 \end{aligned} \]

Tableau récapitulatif :

PointF (kN)\(\Delta L\) (mm)\(\sigma\) (MPa)\(\epsilon\)
15.00.01263.660.00024
210.00.024127.320.00048
315.00.036190.990.00072
420.00.048254.650.00096
Résultat Question 2 : Les valeurs de contrainte et de déformation sont calculées et présentées dans le tableau ci-dessus.

Question 3 : Tracé de la Courbe Contrainte-Déformation

Principe :

On représente graphiquement les points (\(\epsilon, \sigma\)) calculés. Dans le domaine élastique, ces points devraient s'aligner sur une droite passant par l'origine.

Schéma (Conceptuel) :

Le schéma de l'énoncé illustre l'allure attendue. Un tracé précis nécessiterait un outil graphique.

ε σ Pente = E
Résultat Question 3 : La courbe (non tracée ici) montrerait une relation linéaire entre \(\sigma\) et \(\epsilon\).

Question 4 : Détermination du Module d'Young (\(E\))

Principe :

Le module d'Young est la pente de la droite dans la partie linéaire de la courbe contrainte-déformation. \(E = \Delta\sigma / \Delta\epsilon\). On peut utiliser deux points quelconques de la zone linéaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E = \frac{\sigma_j - \sigma_i}{\epsilon_j - \epsilon_i}\]
Données spécifiques :

Utilisons les points 1 et 4 :

  • Point 1 : \(\sigma_1 \approx 63.66 \, \text{MPa}\), \(\epsilon_1 = 0.00024\)
  • Point 4 : \(\sigma_4 \approx 254.65 \, \text{MPa}\), \(\epsilon_4 = 0.00096\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E &= \frac{254.65 - 63.66}{0.00096 - 0.00024} \, \text{MPa} \\ &= \frac{190.99}{0.00072} \, \text{MPa} \\ &\approx 265264 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Conversion en GPa : \(E \approx 265 \, \text{GPa}\).

Note : La valeur typique pour l'acier est d'environ 200-210 GPa. La différence peut provenir des arrondis ou de la nature de l'acier. Si l'on prend les valeurs exactes avant arrondi pour sigma :

\[ \begin{aligned} E &= \frac{(20000/A_0) - (5000/A_0)}{(0.048/L_0) - (0.012/L_0)} \\ &= \frac{15000/A_0}{0.036/L_0} = \frac{15000 \times L_0}{0.036 \times A_0} \\ &= \frac{15000 \times 50}{0.036 \times 78.5398} \\ &= \frac{750000}{2.8274} \\ &\approx 265165 \, \text{MPa} \approx 265 \, \text{GPa} \end{aligned} \]

Si l'on s'attend à E = 200 GPa, il y a une incohérence. Vérifions les données. Si E = 200000 MPa, alors \(\Delta L\) pour F=5kN serait \(\epsilon L_0 = (\sigma/E)L_0 = (63.66/200000)*50 = 0.0159 mm\). Les allongements donnés sont plus faibles, suggérant un matériau plus rigide ou une erreur dans les données/attentes.

Pour les besoins de l'exercice, nous utilisons les données fournies.

Résultat Question 4 : Le module d'Young calculé à partir des données est \(E \approx 265 \, \text{GPa}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Qu'est-ce que le module d'Young ?

2. Dans un essai de traction, la contrainte (\(\sigma\)) est calculée comme :

3. La déformation (\(\epsilon\)) est une grandeur :

Glossaire

Module d'Young (E)
Aussi appelé module d'élasticité longitudinale. C'est une mesure de la rigidité d'un matériau solide. Il est défini comme le rapport de la contrainte à la déformation dans le domaine élastique linéaire : \(E = \sigma / \epsilon\).
Essai de Traction
Test mécanique normalisé consistant à appliquer une force de traction croissante à une éprouvette d'un matériau jusqu'à sa rupture, afin de déterminer ses propriétés mécaniques (limite d'élasticité, résistance à la rupture, module d'Young, allongement à la rupture...).
Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface dans un matériau. En traction, \(\sigma = F/A_0\), où F est la force appliquée et \(A_0\) l'aire de la section initiale. Unité : Pascal (Pa) ou ses multiples (MPa, GPa).
Déformation (\(\epsilon\))
Mesure du changement relatif de dimension d'un matériau sous l'effet d'une contrainte. En traction, \(\epsilon = \Delta L / L_0\), où \(\Delta L\) est l'allongement et \(L_0\) la longueur initiale. C'est une grandeur sans dimension (ou exprimée en % ou µdef).
Domaine Élastique
Région du comportement d'un matériau où la déformation est réversible (le matériau reprend sa forme initiale après suppression de la charge) et généralement proportionnelle à la contrainte (loi de Hooke).
Loi de Hooke
Relation linéaire entre la contrainte et la déformation dans le domaine élastique : \(\sigma = E \epsilon\).
Éprouvette
Échantillon de matériau de forme et dimensions normalisées, utilisé pour réaliser des essais mécaniques.
Calcul du Module d’Young - Exercice d'Application

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