Comportement en Flexion d’une Poutre en Béton Armé
Comprendre le comportement en flexion d’une poutre
Vous êtes ingénieur en génie civil et vous devez concevoir une poutre en béton armé pour un petit pont routier. La poutre doit supporter une charge uniformément répartie et des charges concentrées dues au trafic routier.
Pour comprendre le Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant, cliquez sur le lien.
Données :
- Longueur de la poutre : 10 m.
- Largeur de la poutre : 300 mm.
- Hauteur de la poutre : 500 mm.
- Béton : C25/30 (résistance caractéristique à la compression de 25 MPa et résistance moyenne à la traction de 30 MPa).
- Acier : B500B (limite d’élasticité de 500 MPa).
- Charge permanente (G) : 25 kN/m (incluant le poids de la poutre).
- Charge variable (Q) : 45 kN/m (charge de trafic).
- Coefficients de sécurité selon Eurocode : γG = 1.35 pour les charges permanentes et γQ = 1.5 pour les charges variables.
Questions :
1. Calculez les combinaisons de charges à prendre en compte selon l’Eurocode.
2. Déterminez le moment fléchissant maximal (Mmax) que la poutre devra supporter.
3. Calculez la hauteur utile (d) de la section en béton armé (prenez en compte l’enrobage de 25 mm et diamètre de barre d’armature de 16 mm.).
4. Déterminez la section d’acier nécessaire à l’armature tendue pour résister au moment fléchissant maximal. Utilisez la méthode de dimensionnement simplifiée basée sur les diagrammes de moment – courbure.
5. Vérifiez la contrainte dans le béton et l’acier sous le moment fléchissant maximal.
6. Dessinez la section de la poutre avec les armatures nécessaires en respectant les normes de couverture du béton.
Concluez sur la faisabilité de votre conception en termes de sécurité et de respect des normes Eurocode.
Correction : comportement en flexion d’une poutre
1. Calcul des combinaisons de charges selon l’Eurocode
Données :
- Charge permanente \( G = 25\,\text{kN/m} \)
- Charge variable \( Q = 45\,\text{kN/m} \)
- Facteur partiel pour \( G \) : \(\gamma_G = 1.35\)
- Facteur partiel pour \( Q \) : \(\gamma_Q = 1.5\)
Calcul :
La combinaison ultime est donnée par :
\[ w_u = \gamma_G \cdot G + \gamma_Q \cdot Q \]
En substituant :
\[ w_u = 1.35 \times 25 + 1.5 \times 45 \] \[ w_u = 33.75 + 67.5 \] \[ w_u = 101.25\,\text{kN/m} \]
2. Détermination du moment fléchissant maximal
La poutre est supposée simplement appuyée. Pour une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se trouve au centre de la travée et est donné par :
\[ M_{\max} = \frac{w_u \cdot L^2}{8} \]
où
- \( L = 10\,\text{m} \)
Calcul :
Substitution :
\[ M_{\max} = \frac{101.25\,\text{kN/m} \times (10\,\text{m})^2}{8} \] \[ M_{\max} = \frac{101.25 \times 100}{8} \] \[ M_{\max} = \frac{10125}{8} = 1265.625\,\text{kNm} \]
Soit, en arrondissant :
\[ M_{\max} \approx 1.27\,\text{MNm} \]
Remarque : 1.27 MNm correspond à 1 270 000 N·m ou \(1.27 \times 10^9\,\text{N·mm}\).
3. Calcul de la hauteur utile de la section en béton armé
Données géométriques de la poutre :
- Hauteur totale \( h = 500\,\text{mm} \)
- Enrobage de 25 mm
- Diamètre de barre de 16 mm (donc rayon \(= 8\,\text{mm}\))
Calcul :
La hauteur utile \( d \) est la distance entre l’extrémité comprimée et le centre de la barre tendue :
\[ d = h – (\text{enrobage} + \frac{\phi}{2}) \] \[ d = 500 – \big(25 + 8\big) \] \[ d = 500 – 33 \] \[ d = 467\,\text{mm} \]
4. Dimensionnement de l’armature tendue nécessaire
Approche simplifiée par la méthode du moment-fléchissant
On considère l’équation de la flexion en prenant pour hypothèse que l’armature est en régime de rendement. La résistance en flexion \( M_R \) est donnée par :
\[ M_R = A_s \cdot f_y \cdot z \]
où
- \( A_s \) : aire totale d’armature (en mm\(^2\))
- \( f_y = 500\,\text{MPa} \) (limite d’élasticité de l’acier B500B)
- \( z \) : bras de levier effectif
Première approche – approximation par un bras de levier moyen :
On peut, de façon approximative, prendre :
\[ z \approx 0.9\,d \] \[ z = 0.9 \times 467 \] \[ z = 420.3\,\text{mm} \]
Pour résister au moment \( M_{\max} \), il faut :
\[ A_s = \frac{M_{\max}}{f_y \cdot z} \]
Conversion des unités :
- \( M_{\max} = 1.27 \times 10^9\,\text{N·mm} \)
Calcul :
\[ A_s = \frac{1.27 \times 10^9}{500 \times 420.3} \] \[ A_s = \frac{1.27 \times 10^9}{210150} \] \[ A_s \approx 6039\,\text{mm}^2 \]
Remarque : Cette valeur obtenue est basée sur l’hypothèse d’un bras de levier égal à 0.9 d.
Vérification par l’équilibre des efforts (approche plus rigoureuse)
Pour une section rectangulaire, on applique l’équilibre des forces :
- Force en traction dans l’acier :
\[ T = A_s \cdot f_y \]
- Force en compression dans le béton :
\[ C = 0.85 \,f_{ck}\,b\,x \]
avec
- \( f_{ck} = 25\,\text{MPa} \)
- \( b = 300\,\text{mm} \)
- \( x \) : hauteur de la zone de compression
Équilibre des forces :
\[ A_s \cdot f_y = 0.85 \,f_{ck}\,b\,x \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{A_s \cdot f_y}{0.85\,f_{ck}\,b} \]
En substituant \( A_s \approx 6039\,\text{mm}^2 \) :
\[ x = \frac{6039 \times 500}{0.85 \times 25 \times 300} \] \[ x = \frac{6039 \times 500}{6375} \] \[ x = \frac{3\,019\,500}{6375} \] \[ x \approx 473.6\,\text{mm} \]
Calcul du bras de levier effectif :
\[ z = d – 0.4\,x \] \[ z = 467 – 0.4 \times 473.6 = 467 – 189.44 \] \[ z = 277.56\,\text{mm} \]
Capacité réelle en flexion calculée avec cet effet :
\[ M_R = A_s \cdot f_y \cdot z \] \[ M_R = 6039 \times 500 \times 277.56 \] \[ M_R \approx 6039 \times 138780 \] \[ M_R \approx 838 \times 10^6\,\text{N·mm} \]
Soit :
\[ M_R \approx 838\,\text{MNm (en N·mm : }8.38 \times 10^8\text{)} \]
Constat
- Exigence : \( M_{\max} \approx 1.27 \times 10^9\,\text{N·mm} \)
- Capacité obtenue avec \( A_s \approx 6040\,\text{mm}^2 \) :} \( M_R \approx 8.38 \times 10^8\,\text{N·mm} \)
La capacité calculée est inférieure au moment fléchissant maximal requis.
Conclusion pour la question 4 :
Pour atteindre \( M_{\max} \) avec le bras de levier effectif réel, la section d’armature nécessaire serait supérieure à celle obtenue par l’approximation simple. La résolution rigoureuse conduit à une équation quadratique dont le discriminant se révèle négatif, ce qui signifie qu’avec la géométrie proposée (hauteur de poutre de 500 mm et enrobage de 25 mm), il n’existe aucune solution réalisable par apport unique en armature tendue pour satisfaire la demande de moment.
5. Vérification des contraintes dans le béton et l’acier
Pour le béton :
On utilise le bloc de compression simplifié :
\[ \sigma_c = 0.85\,f_{ck} \] \[ \sigma_c = 0.85 \times 25 \] \[ \sigma_c = 21.25\,\text{MPa} \]
Cette valeur est typiquement utilisée pour déterminer la force compressive :
\[ C = 0.85\,f_{ck}\,b\,x \]
Pour l’acier :
La contrainte dans l’acier est supposée atteindre \( f_y = 500\,\text{MPa} \) si l’armature se met en rendement.
Vérification par équilibre :
D’après l’équilibre :
\[ A_s \cdot f_y = 0.85\,f_{ck}\,b\,x \]
avec le \( A_s \) « nécessaire » (tel que calculé initialement) conduirait à un \( x \) qui, lorsqu’utilisé pour le calcul du bras de levier (\( z = d – 0.4x \)), fournit une capacité en moment \( M_R \) inférieure à \( M_{\max} \).
Conclusion de la vérification :
Même en supposant que l’acier se mette en rendement et que le béton puisse développer une contrainte de \( 21.25\,\text{MPa} \) sur la zone compressive, la section proposée (et même en augmentant l’armature) ne permet pas d’atteindre le moment fléchissant requis sans sortir du domaine de validité du dimensionnement classique.
6. Représentation schématique de la section de la poutre
Dessin schématique (à réaliser en vue de plan) :
- Dimensions de la section :
– Largeur : \( b = 300\,\text{mm} \)
– Hauteur totale : \( h = 500\,\text{mm} \)
- Enrobage : 25 mm autour de la section.
- Disposition de l’armature :
- Armature tendue en bas (disposée sur 2 ou 3 rangées selon le nombre de barres nécessaires).
- Armature comprimée en haut (si exigée par les vérifications de service, ici le problème se concentre sur la flexion).
Remarque : Le schéma doit respecter les règles de couverture minimale (25 mm ici) et la répartition homogène de l’armature tendue dans la zone inférieure de la poutre.
Comportement en flexion d’une poutre
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