Études de cas pratique

EGC

Calcul de la force de renversement d’un mur

Calcul de la Force de Renversement d’un Mur de Soutènement

Comprendre le Renversement des Murs de Soutènement

Les murs de soutènement sont des structures conçues pour retenir des masses de terre et prévenir les glissements de terrain. L'une des vérifications de stabilité essentielles pour ces ouvrages est la sécurité au renversement. Le renversement se produit lorsque le moment des forces qui tendent à faire basculer le mur autour de son pied (moment de renversement) devient supérieur au moment des forces qui tendent à le stabiliser (moment stabilisateur). Les forces de renversement sont principalement dues à la poussée des terres retenues et aux éventuelles surcharges appliquées sur le remblai. La force stabilisatrice principale est le poids propre du mur. Un facteur de sécurité adéquat doit être assuré pour garantir la stabilité à long terme de l'ouvrage.

Données de l'étude

Un mur de soutènement poids en béton retient un remblai horizontal.

Caractéristiques du mur, du sol et des charges :

  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(3.0 \, \text{m}\) (depuis la base de la semelle jusqu'au sommet du remblai)
  • Dimensions de la section du mur poids (par mètre linéaire de mur) :
    • Largeur de la base (semelle) (\(B\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
    • Largeur au sommet (\(b\)) : \(0.3 \, \text{m}\)
    • Fruit du parement amont (côté terre) : vertical
    • Fruit du parement aval : incliné (la section est trapézoïdale)
  • Poids volumique du béton du mur (\(\gamma_c\)) : \(24 \, \text{kN/m}^3\)
  • Caractéristiques du sol retenu (remblai) :
    • Poids volumique (\(\gamma_s\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
    • Angle de frottement interne (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
    • Cohésion (\(c'\)) : \(0 \, \text{kPa}\) (sol pulvérulent)
  • Surcharge uniformément répartie sur le remblai (\(q_s\)) : \(10 \, \text{kPa}\) (\(10 \, \text{kN/m}^2\))
  • Point de pivot pour le calcul des moments : Le bout du pied du mur (côté aval).
  • Facteur de sécurité au renversement requis (\(FS_o\)) : \(2.0\)

Hypothèse : On utilise la théorie de Rankine pour la poussée des terres. On considère un mètre linéaire de mur pour les calculs.

Schéma d'un Mur de Soutènement et des Forces
Stabilité au Renversement du Mur Mur W Sol Retenu Surcharge qs Pa H/3 Ps H/2 O H = 3.0m B = 1.5m b = 0.3m

Schéma d'un mur de soutènement poids avec les forces agissantes et le point de pivot pour l'analyse au renversement.

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de poussée active des terres (\(K_a\)) selon Rankine.
  2. Calculer la force de poussée active des terres (\(P_a\)) par mètre linéaire de mur et son point d'application.
  3. Calculer la force due à la surcharge (\(P_s\)) par mètre linéaire de mur et son point d'application.
  4. Calculer le moment de renversement total (\(M_o\)) par rapport au pied du mur (point O).
  5. Calculer l'aire de la section du mur (\(A_{\text{mur}}\)) et son poids par mètre linéaire (\(W_{\text{mur}}\)).
  6. Déterminer la position du centre de gravité (\(x_G\)) de la section trapézoïdale du mur par rapport au pied O.
  7. Calculer le moment stabilisateur (\(M_s\)) dû au poids du mur par rapport au pied O.
  8. Calculer le facteur de sécurité au renversement (\(FS_o\)) et conclure sur la stabilité du mur.

Correction : Calcul de la Force de Renversement d’un Mur

Question 1 : Coefficient de poussée active des terres (\(K_a\))

Principe :

Le coefficient de poussée active (\(K_a\)) représente le rapport entre la contrainte horizontale effective exercée par le sol et la contrainte verticale effective. Pour un sol pulvérulent (sans cohésion, \(c'=0\)) et un remblai horizontal, la théorie de Rankine donne une formule simple basée sur l'angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[K_a = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')} = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right)\]
Données spécifiques :
  • Angle de frottement interne (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
Calcul :

\(\sin(30^\circ) = 0.5\)

\[ \begin{aligned} K_a &= \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} = \frac{0.5}{1.5} \\ &\approx 0.333 \end{aligned} \]

Ou avec l'autre formule : \(45^\circ - \frac{30^\circ}{2} = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ\). \(\tan(30^\circ) \approx 0.577\). \(\tan^2(30^\circ) \approx (0.577)^2 \approx 0.333\).

Résultat Question 1 : Le coefficient de poussée active des terres est \(K_a \approx 0.333\).

Question 2 : Force de poussée active des terres (\(P_a\)) et point d'application

Principe :

La poussée des terres (\(P_a\)) est la force résultante de la pression exercée par le sol sur le mur. Pour un sol pulvérulent avec une surface de remblai horizontale et sans nappe phréatique, la distribution de la pression active est triangulaire, nulle en surface et maximale à la base du mur. La force résultante \(P_a\) est l'aire de ce triangle de pression, et elle s'applique au tiers de la hauteur (\(H/3\)) depuis la base du mur. Pression à la base : \(p_a = K_a \gamma_s H\). Force \(P_a = \frac{1}{2} p_a H = \frac{1}{2} K_a \gamma_s H^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma_s H^2\]

Point d'application à \(y_a = H/3\) depuis la base.

Données spécifiques :
  • \(K_a \approx 0.333\) (de Q1)
  • \(\gamma_s = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(H = 3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \times 0.333 \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times (3.0 \, \text{m})^2 \\ &= 0.5 \times 0.333 \times 18 \times 9 \, \text{kN/m} \\ &\approx 26.973 \, \text{kN/m} \\ y_a &= \frac{3.0 \, \text{m}}{3} = 1.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La force de poussée active des terres est \(P_a \approx 27.0 \, \text{kN/m}\), appliquée à \(1.0 \, \text{m}\) de la base du mur.

Question 3 : Force due à la surcharge (\(P_s\)) et point d'application

Principe :

Une surcharge uniformément répartie (\(q_s\)) sur la surface du remblai crée une pression horizontale supplémentaire constante sur toute la hauteur du mur. Pression due à la surcharge : \(p_s = K_a q_s\). Force résultante \(P_s = p_s \times H = K_a q_s H\). Cette force s'applique au milieu de la hauteur du mur (\(H/2\)) depuis la base.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_s = K_a q_s H\]

Point d'application à \(y_s = H/2\) depuis la base.

Données spécifiques :
  • \(K_a \approx 0.333\)
  • \(q_s = 10 \, \text{kPa} = 10 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(H = 3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_s &= 0.333 \times 10 \, \text{kN/m}^2 \times 3.0 \, \text{m} \\ &\approx 9.99 \, \text{kN/m} \\ y_s &= \frac{3.0 \, \text{m}}{2} = 1.5 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La force due à la surcharge est \(P_s \approx 10.0 \, \text{kN/m}\), appliquée à \(1.5 \, \text{m}\) de la base du mur.

Question 4 : Moment de renversement total (\(M_o\))

Principe :

Le moment de renversement total par rapport au pied du mur (point O, côté aval) est la somme des moments créés par la poussée des terres (\(P_a\)) et la force due à la surcharge (\(P_s\)). Moment = Force \(\times\) Bras de levier.

Formule(s) :
\[M_o = (P_a \times y_a) + (P_s \times y_s)\]
Données :
  • \(P_a \approx 27.0 \, \text{kN/m}\), \(y_a = 1.0 \, \text{m}\)
  • \(P_s \approx 10.0 \, \text{kN/m}\), \(y_s = 1.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_o &= (27.0 \, \text{kN/m} \times 1.0 \, \text{m}) + (10.0 \, \text{kN/m} \times 1.5 \, \text{m}) \\ &= 27.0 \, \text{kNm/m} + 15.0 \, \text{kNm/m} \\ &= 42.0 \, \text{kNm/m} \end{aligned} \]
Moment de renversement total : \(M_o = 42.0 \, \text{kNm/m}\).

Question 5 : Aire et poids du mur (\(A_{\text{mur}}\), \(W_{\text{mur}}\))

Principe :

La section du mur est un trapèze. Aire d'un trapèze = \(\frac{(\text{Grande base} + \text{Petite base}) \times \text{Hauteur}}{2}\). Ici, la "hauteur" du trapèze est la hauteur du mur \(H\), la grande base est \(B\) et la petite base est \(b\). Le poids du mur par mètre linéaire est l'aire de sa section multipliée par le poids volumique du béton.

Formule(s) :
\[A_{\text{mur}} = \frac{(B+b)}{2} \times H_{\text{mur\_effective}}\]

Note: La hauteur effective du mur pour le calcul du volume est \(H\), car le remblai va jusqu'au sommet du mur.

\[W_{\text{mur}} = A_{\text{mur}} \times \gamma_c \times 1 \, \text{m (pour poids par ml)}\]
Données :
  • Grande base (\(B\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Petite base (\(b\)) : \(0.3 \, \text{m}\)
  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • \(\gamma_c = 24 \, \text{kN/m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\text{mur}} &= \frac{(1.5 \, \text{m} + 0.3 \, \text{m})}{2} \times 3.0 \, \text{m} \\ &= \frac{1.8 \, \text{m}}{2} \times 3.0 \, \text{m} = 0.9 \, \text{m} \times 3.0 \, \text{m} = 2.7 \, \text{m}^2 \\ W_{\text{mur}} &= 2.7 \, \text{m}^2 \times 24 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 64.8 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Aire de la section du mur : \(A_{\text{mur}} = 2.7 \, \text{m}^2\).
Poids du mur par mètre linéaire : \(W_{\text{mur}} = 64.8 \, \text{kN/m}\).

Question 6 : Position du centre de gravité (\(x_G\)) du mur

Principe :

Pour un trapèze, la position du centre de gravité (\(x_G\)) par rapport au côté le plus large (le pied du mur, ici le point O) peut être calculée en décomposant le trapèze en un rectangle et un triangle, ou en utilisant la formule directe pour un trapèze. Formule pour \(x_G\) d'un trapèze (avec B la grande base au pied, b la petite base au sommet, H la hauteur) par rapport au côté de la grande base (pied O) : \(x_G = \frac{H}{3} \frac{(B+2b)}{(B+b)}\) si le fruit est sur un seul côté. Pour notre mur-poids avec un parement amont vertical et un parement aval incliné, il est plus simple de décomposer en un rectangle (partie verticale) et un triangle (partie inclinée). Rectangle : base \(b=0.3\text{m}\), hauteur \(H=3\text{m}\). \(A_1 = 0.3 \times 3 = 0.9 \text{m}^2\). \(x_{G1} = B - b/2 = 1.5 - 0.3/2 = 1.35\text{m}\) depuis O (incorrect, le rectangle est contre le remblai). Si le parement amont est vertical : le rectangle a une largeur \(b=0.3\text{m}\) et est situé du côté amont. Le triangle a une base \((B-b) = 1.5-0.3 = 1.2\text{m}\) et est du côté aval. Rectangle (partie 1) : \(A_1 = b \times H = 0.3 \times 3 = 0.9 \, \text{m}^2\). Son \(x_{G1}\) depuis O (pied aval) est \( (B-b) + b/2 = 1.2 + 0.15 = 1.35 \, \text{m}\). Triangle (partie 2) : \(A_2 = \frac{1}{2} (B-b) H = 0.5 \times 1.2 \times 3 = 1.8 \, \text{m}^2\). Son \(x_{G2}\) depuis O est \((B-b)/3 = 1.2/3 = 0.4 \, \text{m}\). \(A_{\text{total}} = A_1 + A_2 = 0.9 + 1.8 = 2.7 \, \text{m}^2\) (ce qui correspond à Q5).

Formule(s) :
\[x_G = \frac{A_1 x_{G1} + A_2 x_{G2}}{A_1 + A_2}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} x_G &= \frac{(0.9 \, \text{m}^2 \times 1.35 \, \text{m}) + (1.8 \, \text{m}^2 \times 0.4 \, \text{m})}{2.7 \, \text{m}^2} \\ &= \frac{1.215 + 0.72}{2.7} = \frac{1.935}{2.7} \\ &\approx 0.7167 \, \text{m} \end{aligned} \]

Cette distance est mesurée depuis le pied aval O du mur.

Position du centre de gravité du mur \(x_G \approx 0.717 \, \text{m}\) depuis le pied O.

Question 7 : Moment stabilisateur (\(M_s\))

Principe :

Le moment stabilisateur est créé par le poids du mur (\(W_{\text{mur}}\)) agissant à son centre de gravité (\(x_G\)) par rapport au point de pivot O.

Formule(s) :
\[M_s = W_{\text{mur}} \times x_G\]
Données :
  • \(W_{\text{mur}} = 64.8 \, \text{kN/m}\) (de Q5)
  • \(x_G \approx 0.7167 \, \text{m}\) (de Q6)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_s &= 64.8 \, \text{kN/m} \times 0.7167 \, \text{m} \\ &\approx 46.442 \, \text{kNm/m} \end{aligned} \]
Moment stabilisateur : \(M_s \approx 46.44 \, \text{kNm/m}\).

Question 8 : Facteur de sécurité au renversement (\(FS_o\)) et conclusion

Principe :

Le facteur de sécurité au renversement est le rapport du moment stabilisateur sur le moment de renversement. Il doit être supérieur au facteur de sécurité requis.

Formule(s) :
\[FS_o = \frac{M_s}{M_o}\]
Données :
  • \(M_s \approx 46.44 \, \text{kNm/m}\) (de Q7)
  • \(M_o = 42.0 \, \text{kNm/m}\) (de Q4)
  • \(FS_{\text{requis}} = 2.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} FS_o &= \frac{46.44 \, \text{kNm/m}}{42.0 \, \text{kNm/m}} \\ &\approx 1.105 \end{aligned} \]

Comparaison : \(FS_o \approx 1.105\) et \(FS_{\text{requis}} = 2.0\).
Puisque \(1.105 < 2.0\), le facteur de sécurité calculé est inférieur au minimum requis.

Facteur de sécurité au renversement : \(FS_o \approx 1.11\).
Conclusion : Le mur n'est PAS stable au renversement car \(FS_o < 2.0\). Il faudrait redimensionner le mur (augmenter sa base B ou son poids).

Quiz Intermédiaire (Fin) : Si \(M_s = 100 \, \text{kNm/m}\) et \(M_o = 40 \, \text{kNm/m}\), le \(FS_o\) est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le coefficient de poussée active \(K_a\) pour un sol pulvérulent :

2. Le moment de renversement d'un mur de soutènement est principalement causé par :

3. Un facteur de sécurité au renversement de 1.0 signifie que :

Glossaire

Mur de Soutènement
Ouvrage destiné à retenir une masse de terre ou d'autres matériaux et à prévenir son glissement ou son éboulement.
Poussée des Terres
Force exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement. On distingue la poussée active (le mur s'éloigne du sol), la poussée passive (le mur est poussé contre le sol) et la poussée au repos.
Coefficient de Poussée Active (\(K_a\))
Rapport entre la contrainte horizontale effective et la contrainte verticale effective dans un sol lorsque le mur se déplace légèrement en s'éloignant du sol.
Théorie de Rankine
Méthode de calcul de la poussée des terres pour des sols pulvérulents, supposant un mur vertical avec un remblai horizontal et un frottement nul entre le mur et le sol.
Surcharge
Charge supplémentaire appliquée sur la surface du remblai derrière un mur de soutènement (ex: trafic, stockage de matériaux).
Moment de Renversement (\(M_o\))
Somme des moments des forces qui tendent à faire basculer le mur autour de son pied (généralement le point le plus à l'aval de la base).
Moment Stabilisateur (\(M_s\))
Somme des moments des forces qui s'opposent au basculement du mur (principalement le moment dû au poids propre du mur).
Facteur de Sécurité au Renversement (\(FS_o\))
Rapport entre le moment stabilisateur et le moment de renversement (\(FS_o = M_s / M_o\)). Il doit être supérieur à une valeur minimale requise par les normes (souvent 1.5 à 2.0 ou plus).
Mur Poids
Type de mur de soutènement qui assure sa stabilité principalement grâce à son propre poids et à la largeur de sa base.
Calcul de la Force de Renversement d’un Mur - Exercice d'Application

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