Calcul de la profondeur d'ancrage

Comprendre le Calcul de la profondeur d’ancrage

Vous êtes un ingénieur géotechnique chargé de déterminer la profondeur d’ancrage appropriée pour les fondations d’un nouveau bâtiment.

Le site de construction se trouve sur un sol composé d’argile et de sable. Les données suivantes ont été collectées :

Données Fournies

Charge du bâtiment (Poids total, \(W\)) : 5000 \(\text{kN}\)
Dimensions de la fondation (semelle rectangulaire) :
- Longueur (\(L\)) : 20 \(\text{m}\)
- Largeur (\(B\)) : 10 \(\text{m}\)
Caractéristiques du sol :
- Couche supérieure : Argile, épaisseur \(H_{argile} = 3 \, \text{m}\), angle de frottement interne \(\phi'_{argile} = 0^\circ\), cohésion non drainée \(c_u = 25 \, \text{kPa}\)
- Couche inférieure : Sable, angle de frottement interne \(\phi'_{sable} = 30^\circ\), cohésion \(c'_{sable} = 0 \, \text{kPa}\)
Données non fournies, nécessaires pour le calcul :
- Poids volumiques des sols (\(\gamma_{argile}\), \(\gamma_{sable}\))
- Facteur de sécurité requis (\(FS\))
- Profondeur hors-gel (si applicable)

Schéma du Profil de Sol

Question

Calculer la profondeur minimale d’ancrage (\(D\)) requise pour assurer la stabilité de la fondation.

Correction : Calcul de la profondeur d’ancrage

Étape 1 : Définition des Hypothèses et de la Méthodologie

Objectif :

Déterminer la profondeur minimale \(D\) à laquelle la base de la fondation doit être placée pour assurer sa stabilité. La "stabilité" ici est interprétée comme le respect d'un critère de capacité portante suffisant.

Hypothèses Manquantes :

L'énoncé ne fournit pas toutes les données nécessaires. Nous devons faire des hypothèses raisonnables :

Poids volumique de l'argile : \(\gamma_{argile} = 18 \, \text{kN/m}^3\)
Poids volumique du sable : \(\gamma_{sable} = 19 \, \text{kN/m}^3\)
Facteur de Sécurité requis (\(FS\)) : \(FS = 3.0\) (valeur courante pour la capacité portante sous charges statiques)
Méthode de calcul de la capacité portante : Méthode de Terzaghi (classique, bien que d'autres existent comme Meyerhof ou Hansen).
Influence de la nappe phréatique : On suppose qu'elle est suffisamment profonde pour ne pas influencer significativement la capacité portante au niveau de la fondation (ou on utilise les poids volumiques déjaugés si elle est haute, mais ce n'est pas spécifié).
Profondeur hors-gel : Non considérée ici faute de données locales précises, mais devrait être vérifiée en pratique (souvent entre 0.5m et 1m en France métropolitaine).

Méthodologie :

La présence d'une couche d'argile molle (\(c_u=25\,\text{kPa}\)) sur 3m suggère qu'il est préférable de fonder dans la couche de sable sous-jacente, plus résistante (\(\phi'=30^\circ\)). Nous allons calculer la capacité portante ultime (\(q_{ult}\)) de la fondation en fonction de sa profondeur d'ancrage \(D\) (supposée dans le sable, donc \(D > 3 \, \text{m}\)) et déterminer la profondeur \(D\) minimale pour laquelle la capacité portante admissible (\(q_{adm} = q_{ult} / FS\)) est supérieure ou égale à la contrainte appliquée par le bâtiment (\(q_{app}\)).

Étape 2 : Calcul de la Contrainte Appliquée (\(q_{app}\))

Objectif :

Calculer la pression moyenne exercée par le bâtiment sur le sol au niveau de la base de la fondation.

Formule :

q_{app} = \frac{W}{A} = \frac{W}{L \times B}

Données :

Poids total du bâtiment \(W = 5000 \, \text{kN}\)
Longueur de la fondation \(L = 20 \, \text{m}\)
Largeur de la fondation \(B = 10 \, \text{m}\)

Calcul de la Contrainte Appliquée :

A = 20 \, \text{m} \times 10 \, \text{m} \] \[ A = 200 \, \text{m}^2 \] \[ q_{app} = \frac{5000 \, \text{kN}}{200 \, \text{m}^2} \] \[ q_{app} = 25 \, \text{kN/m}^2 = 25 \, \text{kPa}

Résultat Étape 2 :

La contrainte moyenne appliquée par la fondation sur le sol est \(q_{app} = 25 \, \text{kPa}\).

Étape 3 : Calcul de la Capacité Portante Ultime (\(q_{ult}\)) en fonction de D

Objectif :

Calculer la pression maximale que le sol peut supporter à une profondeur \(D\) (dans le sable, \(D > 3 \, \text{m}\)) avant de rompre, en utilisant la formule de Terzaghi pour une fondation rectangulaire.

Formule de Terzaghi (Rectangulaire, \(c'=0\)) :

Pour un sol sans cohésion (\(c'=0\)), la formule se simplifie. Les termes \(N_q\) et \(N_\gamma\) représentent l'influence de la surcharge (\(q\)) et du poids du sol sous la fondation, respectivement. Les facteurs \(s_q\) et \(s_\gamma\) corrigent pour la forme rectangulaire.

q_{ult} = q N_q s_q + 0.5 \gamma_{sable} B N_\gamma s_\gamma

Calcul des Facteurs de Capacité Portante (\(\phi'_{sable} = 30^\circ\)) :

Ces facteurs dépendent uniquement de l'angle de frottement du sol (\(\phi'\)). Les valeurs varient légèrement selon les abaques ou formules utilisées.

\(N_q \approx 18.4\)
\(N_\gamma \approx 22.4\)

Calcul des Facteurs de Forme :

Ces facteurs dépendent du rapport Largeur/Longueur (B/L) et de \(\phi'\).

\(B = 10 \, \text{m}\)
\(L = 20 \, \text{m}\)
\(\phi'_{sable} = 30^\circ\)

s_q = 1 + \left(\frac{B}{L}\right) \tan \phi' \] \[ s_q = 1 + \left(\frac{10}{20}\right) \tan 30^\circ \] \[ s_q \approx 1 + 0.5 \times 0.577 \] \[ s_q = 1.289 \] \[ s_\gamma = 1 - 0.4 \left(\frac{B}{L}\right) \] \[ s_\gamma = 1 - 0.4 \left(\frac{10}{20}\right) \] \[ s_\gamma = 1 - 0.2 = 0.8

Calcul de la Surcharge Effective (\(q\)) à la profondeur \(D\) (\(D > 3 \, \text{m}\)) :

C'est le poids des terres situées au-dessus du niveau de la base de la fondation.

\(H_{argile} = 3 \, \text{m}\)
\(\gamma_{argile} = 18 \, \text{kN/m}^3\) (Hypothèse)
\(\gamma_{sable} = 19 \, \text{kN/m}^3\) (Hypothèse)

q = \gamma_{argile} \times H_{argile} + \gamma_{sable} \times (D - H_{argile}) \] \[ q = (18 \, \text{kN/m}^3 \times 3 \, \text{m}) + (19 \, \text{kN/m}^3 \times (D - 3 \, \text{m})) \] \[ q = 54 + 19(D - 3) \] \[ q = 54 + 19D - 57 \] \[ q = 19D - 3 \quad (\text{en } \text{kPa}, \text{ si } D \text{ en } \text{m})

Expression de \(q_{ult}\) en fonction de \(D\) :

q_{ult} = (19D - 3) \times N_q \times s_q + 0.5 \times \gamma_{sable} \times B \times N_\gamma \times s_\gamma \] \[ q_{ult} = (19D - 3) \times 18.4 \times 1.289 + 0.5 \times 19 \times 10 \times 22.4 \times 0.8 \] \[ q_{ult} \approx (19D - 3) \times 23.7 + 1702.4 \] \[ q_{ult} \approx 450.3 D - 71.1 + 1702.4 \] \[ q_{ult} \approx 450.3 D + 1631.3 \quad (\text{en } \text{kPa})

Résultat Étape 3 :

La capacité portante ultime du sol sableux à une profondeur \(D > 3 \, \text{m}\) est approximativement \(q_{ult} \approx 450.3 D + 1631.3 \, \text{kPa}\).

Étape 4 : Détermination de la Profondeur d'Ancrage Minimale (\(D_{min}\))

Objectif :

Trouver la profondeur \(D\) minimale pour laquelle la capacité portante admissible (\(q_{adm}\)) est égale ou supérieure à la contrainte appliquée (\(q_{app}\)).

Condition de Stabilité :

q_{adm} = \frac{q_{ult}}{FS} \ge q_{app}

Ce qui équivaut à :

q_{ult} \ge FS \times q_{app}

Données :

\(q_{ult} \approx 450.3 D + 1631.3 \, \text{kPa}\) (pour \(D > 3 \, \text{m}\))
\(FS = 3.0\) (Hypothèse)
\(q_{app} = 25 \, \text{kPa}\)

Calcul de la Profondeur Minimale (\(D\)) :

450.3 D + 1631.3 \ge 3.0 \times 25 \] \[ 450.3 D + 1631.3 \ge 75 \] \[ 450.3 D \ge 75 - 1631.3 \] \[ 450.3 D \ge -1556.3

Ce résultat (\(D \ge \text{valeur négative}\)) signifie que même pour une profondeur très faible dans le sable (par exemple, juste en dessous de 3m), la capacité portante du sable est déjà bien supérieure à la charge requise (\(75 \, \text{kPa}\)).

Vérifions la capacité portante juste à la base de l'argile (\(D=3\,\text{m}\)), mais en utilisant les propriétés du sable (ce qui est une approximation car la rupture se développerait en partie dans l'argile près de la surface) :

q_{ult}(D=3) \approx 450.3 \times 3 + 1631.3 \] \[ q_{ult}(D=3) = 1350.9 + 1631.3 \] \[ q_{ult}(D=3) = 2982.2 \, \text{kPa} \] \[ q_{adm}(D=3) = 2982.2 / 3 \approx 994 \, \text{kPa}

Comme \(q_{adm}(D=3) = 994 \, \text{kPa} \gg q_{app} = 25 \, \text{kPa}\), la capacité portante n'est pas le facteur limitant pour la profondeur.

Conclusion sur la Profondeur Minimale :

Le calcul de la capacité portante montre que le sol sableux est très résistant par rapport à la charge appliquée. La profondeur minimale n'est donc pas dictée par un risque de rupture du sol sous la charge.

Dans ce cas, la profondeur minimale d'ancrage (\(D_{min}\)) est déterminée par d'autres critères :

Nécessité de traverser la couche d'argile : Il est impératif de fonder dans la couche de sable compétente. Donc, \(D\) doit être supérieur à 3 m.
Profondeur hors-gel : En France métropolitaine, selon la région et l'altitude, cette profondeur varie (souvent 0.5m à 1m). La fondation doit être sous cette profondeur.
Considérations pratiques et constructives : Une certaine profondeur d'encastrement dans le sable peut être souhaitable pour assurer une bonne assise.

En l'absence de données sur le hors-gel, le critère principal est de dépasser la couche d'argile.

Résultat Final :

Basé sur les calculs de capacité portante, une profondeur très faible dans le sable serait suffisante (\(FS \gg 3\)). Cependant, pour des raisons géotechniques fondamentales, la fondation doit être ancrée dans la couche de sable sous-jacente. La profondeur minimale requise est donc \(D_{min} > 3.0 \, \text{m}\).
En pratique, on choisirait une profondeur d'ancrage raisonnable dans le sable (par exemple, \(D = 3.5 \, \text{m}\) ou \(D = 4.0 \, \text{m}\)), en s'assurant également de respecter la profondeur hors-gel locale.