Calcul de Descente de Charge

Comprendre le Calcul de Descente de Charge

Vous êtes ingénieur structure et devez calculer la charge totale supportée par une fondation sous un poteau central d'un bâtiment de bureaux de 4 étages (R+3) plus une toiture-terrasse. Le bâtiment a une structure poteaux-poutres en béton armé avec des planchers en dalles pleines.

Données

Géométrie et Structure :
- Nombre d'étages courants : 3 (Niveaux 1, 2, 3)
- Rez-de-chaussée (Niveau 0)
- Toiture-terrasse (Niveau 4)
- Hauteur d'étage (\(H_{etage}\)) : 3.0 \(\text{m}\)
- Dimensions du poteau central étudié (section carrée, \(b_p \times h_p\)) : 40 \(\text{cm}\) x 40 \(\text{cm}\)
- Surface d'influence du poteau (aire tributaire, \(A_{inf}\)) : 6 \(\text{m}\) x 5 \(\text{m}\) = 30 \(\text{m}^2\)
Charges Permanentes (G) :
- Plancher dalle pleine (y compris revêtement, faux-plafond, cloisons légères) : 6.5 \(\text{kN/m}^2\)
- Toiture-terrasse (y compris étanchéité, isolation, protection) : 7.0 \(\text{kN/m}^2\)
- Poids propre des poutres (estimé et ramené au m²) : 1.0 \(\text{kN/m}^2\)
- Poids volumique du béton armé (\(\gamma_{béton}\)) : 25 \(\text{kN/m}^3\)
Charges d'Exploitation (Q) :
- Bureaux (étages courants et RDC) : 2.5 \(\text{kN/m}^2\)
- Toiture-terrasse (inaccessible sauf entretien) : 1.0 \(\text{kN/m}^2\)
Coefficients Eurocode (ELU) :
- \(\gamma_G = 1.35\)
- \(\gamma_Q = 1.5\)

Schéma Simplifié du Bâtiment et Surface d'Influence

Questions

Calculer les charges permanentes (\(G\)) et d'exploitation (\(Q\)) par mètre carré pour chaque type de niveau (Toiture, Étage courant).
Calculer la charge totale (\(G+Q\)) transmise par chaque niveau à la structure porteuse (par m²).
Calculer la charge cumulative (permanente et exploitation) transmise par le poteau étudié au niveau de la base du RDC (juste au-dessus de la fondation), en considérant le poids propre du poteau.
Calculer la charge totale ultime (\(N_{Ed}\)) transmise par le poteau à la fondation.

Correction : Calcul de Descente de Charge

Question 1 : Charges par mètre carré (\(G\) et \(Q\)) par niveau

Niveau Toiture-Terrasse (N4) :

On additionne les charges surfaciques permanentes (dalle + poutres + étanchéité/isolation) et on note la charge d'exploitation.

Dalle + Revêtements/Etanchéité : 7.0 \(\text{kN/m}^2\)
Poutres (ramené au m²) : 1.0 \(\text{kN/m}^2\)
Exploitation (terrasse inaccessible) : 1.0 \(\text{kN/m}^2\)

G_{toiture} = 7.0 + 1.0 \] \[ G_{toiture} = 8.0 \, \text{kN/m}^2

Q_{toiture} = 1.0 \, \text{kN/m}^2

Niveau Étage Courant (N1, N2, N3) et RDC (N0) :

On additionne les charges surfaciques permanentes (dalle + revêtement/cloisons + poutres) et on note la charge d'exploitation des bureaux.

Plancher (dalle + revêtement/cloisons) : 6.5 \(\text{kN/m}^2\)
Poutres (ramené au m²) : 1.0 \(\text{kN/m}^2\)
Exploitation (bureaux) : 2.5 \(\text{kN/m}^2\)

G_{etage} = 6.5 + 1.0 \] \[ G_{etage} = 7.5 \, \text{kN/m}^2

Q_{etage} = 2.5 \, \text{kN/m}^2

Résultat Question 1 : Les charges surfaciques par niveau sont :

Toiture : \(G = 8.0 \, \text{kN/m}^2\), \(Q = 1.0 \, \text{kN/m}^2\)
Étage courant / RDC : \(G = 7.5 \, \text{kN/m}^2\), \(Q = 2.5 \, \text{kN/m}^2\)

Question 2 : Charge totale (\(G+Q\)) par niveau

Niveau Toiture-Terrasse :

(G+Q)_{toiture} = 8.0 \, \text{kN/m}^2 + 1.0 \, \text{kN/m}^2 \] \[ = 9.0 \, \text{kN/m}^2

Niveau Étage Courant / RDC :

(G+Q)_{etage} = 7.5 \, \text{kN/m}^2 + 2.5 \, \text{kN/m}^2 \] \[ = 10.0 \, \text{kN/m}^2

Résultat Question 2 : Les charges totales surfaciques (non pondérées) sont :

Toiture : \(9.0 \, \text{kN/m}^2\)
Étage courant / RDC : \(10.0 \, \text{kN/m}^2\)

Question 3 : Charge cumulative sur poteau (base RDC)

Charges des planchers reprises par le poteau :

Chaque niveau charge le poteau avec la charge surfacique multipliée par la surface d'influence (\(A_{inf}\)).

Surface d'influence \(A_{inf} = 30 \, \text{m}^2\)
Charge Toiture (N4) : \[G_{toit} = 8.0 \, \text{kN/m}^2 \times 30 \, \text{m}^2 \] \[G_{toit} = 240 \, \text{kN}\] \[Q_{toit} = 1.0 \, \text{kN/m}^2 \times 30 \, \text{m}^2 \] \[Q_{toit} = 30 \, \text{kN}\]
Charge Étage Courant (N1, N2, N3) : \[G_{et} = 7.5 \, \text{kN/m}^2 \times 30 \, \text{m}^2 \] \[G_{et} = 225 \, \text{kN}\] \[Q_{et} = 2.5 \, \text{kN/m}^2 \times 30 \, \text{m}^2 \] \[Q_{et} = 75 \, \text{kN}\]
Charge RDC (N0) : Identique à étage courant.

Poids propre du poteau :

Le poteau supporte son propre poids sur toute sa hauteur, depuis la toiture jusqu'à la base du RDC.

Nombre de niveaux supportés : 4 (N0 à N3) + Toiture
Hauteur totale du poteau considéré : \(H_{poteau} = 4 \times 3.0 \, \text{m} = 12.0 \, \text{m}\) (On suppose que le poteau s'arrête au niveau supérieur du plancher N3)
Poids propre linéique : \( \gamma_{béton} \times b_p \times h_p \) \( = 25 \, \text{kN/m}^3 \times 0.4 \, \text{m} \times 0.4 \, \text{m} \) \( = 4 \, \text{kN/m} \)

G_{poteau} = (4 \, \text{kN/m}) \times 12.0 \, \text{m} \] \[ G_{poteau} = 48 \, \text{kN}

Charges cumulées à la base du RDC (Niveau 0) :

On additionne les charges permanentes et d'exploitation de tous les niveaux supérieurs, plus le poids propre du poteau.

G_{total, N0} = G_{toit} + 3 \times G_{et} + G_{poteau}

G_{total, N0} = 240 + 3 \times 225 + 48 \] \[ G_{total, N0} = 240 + 675 + 48 \] \[ G_{total, N0} = 963 \, \text{kN}

Q_{total, N0} = Q_{toit} + 3 \times Q_{et}

Q_{total, N0} = 30 + 3 \times 75 \] \[ Q_{total, N0} = 30 + 225 \] \[ Q_{total, N0} = 255 \, \text{kN}

Résultat Question 3 : Les charges cumulées (non pondérées) transmises par le poteau à sa base (niveau 0) sont :

Charge permanente cumulée : \(G_{total, N0} = 963 \, \text{kN}\)
Charge d'exploitation cumulée : \(Q_{total, N0} = 255 \, \text{kN}\)

Question 4 : Charge totale ultime (\(N_{Ed}\)) sur la fondation

Formule ELU :

On applique les coefficients de sécurité \(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\) aux charges cumulées calculées à l'étape précédente pour obtenir la charge de calcul ultime que la fondation devra supporter.

N_{Ed} = \gamma_G G_{total, N0} + \gamma_Q Q_{total, N0}

Données :

\(G_{total, N0} = 963 \, \text{kN}\)
\(Q_{total, N0} = 255 \, \text{kN}\)
\(\gamma_G = 1.35\)
\(\gamma_Q = 1.5\)

Calcul de la Charge Ultime :

\begin{aligned} N_{Ed} &= (1.35 \times 963 \, \text{kN}) + (1.5 \times 255 \, \text{kN}) \\ &= 1300.05 \, \text{kN} + 382.5 \, \text{kN} \\ &= 1682.55 \, \text{kN} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La charge totale ultime transmise par le poteau central à sa fondation est \(N_{Ed} \approx 1683 \, \text{kN}\). C'est cette charge qui sera utilisée pour dimensionner la fondation elle-même.